第八章 课时作业6 双曲线的方程与性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦双曲线方程与性质，通过基础概念到综合应用的层级化题型设计，系统覆盖渐近线、离心率等核心考点，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2题|定义辨析与条件判断|从双曲线方程定义出发，建立方程与曲线特征的关联| |性质应用|单选3-5/填空10-11/多选7-8|几何量计算与位置关系|围绕渐近线、焦点、离心率展开，强化性质推导与应用| |综合计算|单选6/解答13-14|交汇问题与面积求解|结合圆、抛物线等知识，体现知识迁移与综合运用|

课时6 双曲线的方程与性质 一、单选题 1．（2026·八省联考）双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 2． “”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3.已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO＝PF，则△PFO的面积为(　 　) A． B． C．2 D．3 4．（2026·湖南长沙市长郡中学模拟）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉市华中师大一附中期末）已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若OP＝OF，则△OPF的面积为(　 ) A． B． C． D． 6．（2026·天津高考）双曲线的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率　　 A．2 B．5 C． D． 二．多选题 7、关于双曲线，下列结论正确的有（     ） A．焦点在轴上 B．焦距为3 C．离心率为 D．渐近线为 8、（2026·江西赣州市安远县第一中学月考）已知双曲线C：4x2－y2＝1，直线l：y＝kx＋1(k＞0)，则下列说法正确的有(　 　) A．若k＝2，则l与C仅有一个公共点 B．若k＝2，则l与C仅有一个公共点 C．若l与C有两个公共点，则2＜k＜2 D．若l与C没有公共点，则k＞2 9．（2026·新高考Ⅱ卷）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则有（ ） A. B. C. C离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三．填空题 10、已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ． 11、(2026·河北唐山市模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为 ． 12．（2026春·上海高考）已知双曲线的左、右焦点分别为、．过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至点，使得．若△的面积为，则的值为 　 　． 四．解答题 13．(2026·重庆沙坪坝一中期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，焦点为F1，F2，其中一条渐近线的倾斜角为30°，点M在双曲线上，且|MF1－|MF2|＝2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l：y＝x＋m交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，求正实数m的值． 14．如图，已知双曲线的中心在坐标原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点(4，－)． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积． 课时6 双曲线的方程与性质参考答案 1．C【解析】因为双曲线方程为，所以，，所以，， 所以渐近线方程为．故选． 2．A【解析】因为方程表示双曲线，故，故， 而为的真子集，故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选A. 3.A【解析】由a＝2，b＝，得c＝＝．因为PO＝PF，所以xP＝．又P在C的一条渐近线上，不妨取y＝x，则yP＝，所以S△PFO＝|OF|·|yP|＝××＝．故选A. 4．B【解析】圆：，圆心，半径 ，圆：，圆心，半径 ，设动圆圆心，半径为.由动圆与圆，都外切， 得，则，因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，即，半焦距，虚半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程是.故选B. 5．B【解析】由F是双曲线－＝1的一个焦点，知OF＝3，所以OP＝OF＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝OF·y0＝×3×＝.故选B. 6．A【解析】如图，抛物线的准线为，为过作准线的垂线，与准线的交点，过作轴的垂线，交点为.由题意，，，解得，，，，，，可得，化简可得，所以．故选． 7、AC【解析】因为双曲线，所以的标准方程为，故焦点在轴上，，故焦距为，离心率为，渐近线为，故A，C正确，B，D错误.故选AC. 8、ABD【解析】因为双曲线的方程为4x2－y2＝1，其渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x．当k＝2时，l与渐近线平行，则直线l与双曲线C有且只有一个交点，故A正确. 联立消去y得(4－k2)x2－2kx－2＝0，当直线l与双曲线C相切时，方程只有一个实数根，Δ＝(2k)2＋8(4－k2)＝0，且4－k2≠0，解得k＝±2，所以当k＝2时，直线l与双曲线C有且只有一个交点，故B正确. 若l与C有两个公共点，则又k＞0，解得0＜k＜2或2＜k＜2，故C错误. 若l与C没有公共点，则解得k＞2，故D正确．故选ABD. 9．ACD【解析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限.对于选项A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确； 对于选项B，在中，由余弦定理知， ，即，则，则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于选项C，因为，故，由B可知，故 即，故离心率，故C正确； 对于选项D，当时，由C可知，故，故，故四边形为，故D正确.故选ACD. 10、(3，0)；【解析】由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝. 11、－＝1【解析】由题意可得＝tan＝，所以a＝b．又双曲线的焦点到渐近线x±y＝0的距离为b＝2，所以a＝2，所以C的方程为－＝1． 12．【解析】已知，则，解得.又，则，，设，，又△的面积为，则，解得.由题意，可得直线的斜率， 则方程为，将代入上式，则，解得.由题意可得，易知． 13．【解】 (1)由条件知，2a＝2，＝tan 30°＝，故a＝，b＝1.即双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直线l的距离为h，联立得2x2＋6mx＋3m2＋ 3＝0.由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，又m>0，故m>，而又由x1＋ x2＝－3m，x1x2＝，故弦长AB＝＝，h＝. 又S△AOB＝AB·h＝·＝，解得m4－2m2－8＝0，m2＝4，又m>， 故m＝2. 14．(1)【解】设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝2a，即c＝a，所以b2＝c2－a2＝a2，所以双曲线方程为x2－y2＝a2.将(4，－)代入，得a2＝16－10＝6，所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)【证明】由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，因为M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，所以M在以F1F2为直径的圆上． (3)【解】由(2)知，点M坐标为(3，)或(3，－).因为点M在第一象限，所以M的坐标为(3，)，直线MF2的方程为y－＝(x－3)＝－(2＋)(x－3)，即y＝(－2－)x＋6＋4，代入双曲线方程整理可得(6－4)y2－4(2－)y＋6＝0，易知Δ>0，则yM ·yN＝.因为M的纵坐标为，所以N的纵坐标为＝＝－(＋2)， 所以△F1MN的面积为S＝F1F2·(＋＋2)＝2×(2＋2)＝12＋4. . 学科网（北京）股份有限公司 $