课时分层检测(72)圆锥曲线中的探索性与综合性问题&课时分层检测(73)随机抽样、统计图表-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

2,(1)解因为渐近线方程为y 3, 所以可设双曲线C的方程为 9 =入1 3 (入≠0)， 将点P(3,)代入得9 =入，解得 9-3 背以风曲线C的方程为号-子-1 (2)证明显然直线BQ的斜率不为零， 设直线BQ的方程为x=my十1，B(工)， D(x2),A(x1,-y),联立}3 -3y2=1, (x=my+1, 消x整理得(m2-3)y2+2y-2=0. 依题意得m2一3≠0且△=4m2+8(n2一3)！ >0, 即n2>2且n2≠3， 2 2 y1十y2= n3y为=一m2—3 直线AD的方程为y十1一十”（红一， ②一 令y=0,得x= 》+n-十》 32+y1 2+y1 =my1+1)y2+(m2+1) y2+y1 =2my12+(y1+2) y2十y1 -2 2m 一6n ·m二3m2-3-m23-3. 2n· -2m -2n n2-3 m2-3 所以直线AD过x轴上的定点(3,0) 3.解(1)由题知n=一分×8=-4. 设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2, 2),显然x1≠x2, 所以kN=为一业=」 x1-x2y1+y2 2 又y十%=2n=-8,所以kMN=-2= 8 一=之，解得=2， 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明当直线m的斜率存在时，由题意： 知直线n的斜率不为0，设直线n:y= k(x-8)-4(k≠0)，A(x39),B(x4y4). 联立2=4x, 1y=k(x-8)-4, 整理得ky2-4y-32k-16=0,4>0, 为十4=有为4=一32-名： 4 16 所以6十=当+y+8+16=坠+4+16， 2 4-)2-64k+16+61. 16 令Q(4,4),则QA·QB=(-4)(x4-4)+ (yg-4)·(y4-4) =r3x4-4(x3+x4)+16+y3y4-4(y3+ y4)+16 6+6-(装+16）+16+ (-32-)9+16-0… 所以QA⊥QB,故以弦AB为直径的圆恒过： 点(4,4). 当直线n的斜率不存在时，直线m:x=8, 此时直线加与抛物线的两个交点分别为 (8,4√2)，(8，-4√2)， 不妨令A(8,4√2)，B(8,一4√2)， 此时QA=(4,42-4),QB=(4,-4V2-4), 则QA·QB=16-(4√2+4)(4√2-4)=0， 所以QA⊥QB,故以弦AB为直径的圆过，点！ (4,4). 综上所述，以弦AB为直径的圆恒过点(4,4). 4.(1)证明设P(x0,yo), 9+4 =1, 可得喝=9-9 4 yo yo 又kpA=十2，km-0-2' y 9、9 则kpa·kpB名46-4 4 9 因为BG∥PA, 所以F·k=kPM·长B=一马 (2)解当直线GF的斜率存在时，设GF的！ 方程为y=k(x一t)(k≠0)， 联立{=(x-), {3.x2+4y2=12, 消去y得(4k2+3).x2 -8k2tx+4k22-12=0. 则△=64k42-16(4k2+3)(k22一3)=48 (4k2+3-k2t2)>0, 设G(x1y1),F(x2,y2), 则x1十x2= 62+3=4h2-12 8k21 4k2+3 由kF·kG y1 2 x1-2x2-2 k2[x1x2-t(x1十x2)十t2] 、9 x1x2-2(x1+x2)+4 k2-16k21+16=-1, 得 3k2t2-12k2 9 约去k2并化简得2-31十2=0， 解得1=1(1=2不符合题意，合去)，此时直 线GF过定点(1,0)； 当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程1 为x=m,其中m≠2， .汇=2， 联立x2, y2 {行+=1… 解得y=±√12-3m 则Fm,√，r).G(m,-2, 2 2 12-3n2 所以kBF·kBG= 4 (n-2)2 解得m=1. 综上，直线GF过定，点(1,0) (3)证明设PA的方程为y=k1(x十2)· (k1>0), 联立y=k1(x十2)， {3x2+4y2=12, /6-8k号12k1 解得E点的坐标为(h十3'4+3 南1)知Pw6-9-9要， 由k1= yo x0十2 则E点的坐标为 4(1-x0)-2y0 x0-4'x0-4 同理，记PB的斜率为k2,则F点的坐标为 /8k号-6-12k2、 4k号+3'4k号十3 由k如一r。-2 则F点的坐标为 /4(x0+1)2yo 236 +26 则EF的斜率kF= 0十4T0-4 4+D+40-D xo+4 x0-4 To M 2(6-4) 522 所以直线EF的方程为 4(xo-1)1 x0-4 令y=0,得0=4， 4=4 又xp=xo,故xprQ=0‘ 课时分层检测（七十二） 解(1)第1步：用c表示a和b 为-后-号所以a=20-V7 3c, 第2步：写出点A,B,C的坐标 由题知A(-a,0),B0,-b),C0,-合) 第3步：用c表示出S△ABC,并求出c 所以5A-号·BC·QA1-号·台 第4步：求出a和b,并写出椭圆方程 所以a=2√3，b=3. 故椭圆的方程为2十号 (2)第1步：设点的坐标，并讨论直线PQ斜 率不存在的情况 设P(1y1),Q(x22),T(0,）. 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0, 3),Q(0,-3),则TP·TQ=(0,3-t)·(0, -3一t)=t2-90,解得-3≤t≤3. 第2步：讨论直线PQ斜率存在的情况，设 出直线方程 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y kr-2. 第3步：联立方程，消去y,判断判别式符 号，写出根与系数的关系 r立可得(3+42)r-12虹 3 由 =1 27=0,所以△=144k2+4×27(3+4k2)> 12k 27 0+-3十4农12=一3千4状 第4步：表示出TP·TQ,代入根与系数的 关系并化简 因为TP·TQ=(,为-t)·(2,次-t)= 十(1-)(-)=x1x2+（km-2 ）(x2-号-）=1+) ++)+（是+） 27(1+k2) 3+4k 3+4k2 -27-27k2-18-1221+22+02+9+9+4状2+12W7 3+4 4k212-36k2+32+91-1<0 3+4k2 第5步：求出t的范围 所以4h22-36A2+32十91-81≤0对k∈ 4 R恒成立， 14r2-36≤0 3 第6步：得出结论 综上可得，一3≤1≤3，即点T的纵坐标的 2 取值范因定[-3，号] 2.解(1)|OF|=c(O为坐标原点)，|FB| -a,oB-1.sm∠AFB-|P0- 所以|NQ1-|MP|=|PQ|-1= 3 占比最多的为[50,55]万元，其次是[55,60] 4k2+1? 万元，所以平均年收入也明显提高，B正确： √3k 对于C,减免前年收入在[25,30]万元的占 O到l距离d= T=(NQ-|MP|)·1 sin 62 √k2+1 比为0.055，而减免后年收入最少的[25， 9k2 9k2 30]万元没有了，变成[35,40]万元，减免前 “a=2,因此椭圆下的标准方程为 (4k2+1)(k2+1)4k4+5k2+1 [65,70]万元的占比为0.055，而减免后年 收入最多的[65,70]万元的占比为0.040 2=1. 9 9 1 即减少了，所以年收入更加均衡，C正确； (2)直线BC与AD的交，点在椭圆T上 42+京+52A2× 对于D,从图上知年收入有所变化，如收入 由已知得A(-a,0),B(0,-1),C(a,2), 在[65,70]万元的减少了，而收入在[25,30] D(a,1), 当且仅当4k2= 3 ，即k=士 时等号 万元的减免后没有了，所以收入提高了，D ax-1, 2 ∴.直线BC的方程为y= 错误. 成立 9.40[根据题意，设今年计划招聘的硕士生 直线AD的方程为y=2ax十2： 验证可知k=士号满足题意」 为x人，博士生为y人，又由现有研究员 300人，其中本科生有300×20%=60（人）， x-1, （x= 3a 项士生有300×40%=120（人），则有 5 联立 解得 直线 ② 因为k>0,所以k= 1 4 60 y=5 课时分层检测（七十三） 300+x+y-0.15, 120+x 解得{正=40， 300+x+-0.4, (y=60. BC与AD的交点为（积，号） 4 ,此时！1.B[(1)中收入差距较大，采用分层随机抽 样法较合适：(2)中总体容量较小，采用简单！10.23[重复的号码只能算作一个，抽取样本 随机抽样法较合适.] 号码是24,36,38,07,35,23,18,05,20,15 4 =1,即交点坐标满足椭！2.A[样本容量是200，抽取的200名居民的 所以抽取样本的第6个号码为23.门 圆方程，因此该交点在椭圆下上。 阅读时间是一个样本，每个居民的阅读时间！11.14[假设从1月开始每月抽查1人，编号 就是一个个体，5000名居民的阅读时间的 依次为1,2,3,4，…， 3,解(1)设过点F且倾斜角为于的直线方 全体是总体， 第一个月1号第一次抽查，第二个月1号 3.D[由题图得，成绩在区间[70,80)内的频 第二次抽查，2号第一次抽查，第三个月2 程为y=x一 台，代入y2-2pc(p>0 率为0.035×10=0.35， 号第二次抽查，3号第一次抽查，…，第十 所以成绩在区间[70,80)内应抽取的人数为 四个月14号第一次抽查，13号第二次抽 得2-3+片=0 0.35×100=35.] 查，2号第三次抽查，1号第四次抽查各 4.B[由题意得，样本量为(18500+7500十 若M(x1,y1),W(x22),则c1+x2=3p, 4000)×0.05=1500, 所以|MN|=x1十x2十p=4p=8,则p=2, 抽取的高中生近视人数为4000×0.05× 即抛物线E的方程为y2=4x. 12.解析(1)因为该地社会固定资产总投资 0.5=100.] 约为3730亿元，所以地（市）属项目投资 (2)设A(x。,%),则过A作抛物线E的切！5.D[由折线图可知月跑步平均里程比6月 额为3730-(200+530十670+1500) 线为y-为=（红一0），即x=”+0, 份高的只有9,10,11，共3个月，比6月份低 的有1,2,3,4,5,7,8，共7个月，故6月份对 830(亿元). (2)由条形图可以看出县（市）属项目部分 代入y2=4x,整理得ky2-4y十4%-k呢=0，！ 应里程数不是中位数，因此A不正确；月跑 因为此直线与抛物线相切， 步平均里程在1月到2月，6月到7月，7月 总投资为670亿元，所以县（市）属项目部 所以△=4(4-4k%+k2y号)=0，即(ky0一 到8月，10月到11月都是减少的，故不是 分所占百分比为m%=70×100%≈ 2)2=0, 逐月增加，因此B不正确；月跑步平均里程 高峰期大致在9,10,11三个月，8月份是相 18%,即m=18, 解得-2 对较低的，因此C不正确；从折线图来看，1 对应的圆心角3≈360×0.18≈65（度）. yo 月至5月的月跑步平均里程相对于6月至 答案(1)830(2)1865 所以过A的切线为y一y。= (x-x) 11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D :13.解(1)估计该城市50~60岁签约的居民 yo 正确。 有1000×0.015×10×55.7%=83.55（万 令y=0得x=一x0,即B(一x0,0), 6.D[设《毛诗》有x册，《春秋》有y册，《周 人)： 所以|BF|=AF|=AC, 易》有之册，学生人数为n, 60一70岁签约的居民有1000×0.010× 文AC∥BF,所以四边形ACBF有一组对边 平行且相等，且邻边也相等，所以四边形 x+y十2=94， m=120. 10×61.7%=61.7(万人)： 则m-3x, x=40, 70~80岁签约的居民有1000×0.004× ACBF为菱形， 解得 10×70.0%=28(万人)； 4.解(1)由题意知，GF1|十GF2|=4,又4 n=4y, y=30, n=5x, =24， 80岁以上签约的居民有1000×0.003× >2√3，所以动点G的轨迹是椭圆。 因此，用按比例分配的分层随机抽样的方 10×75.8%=22.74(万人). 由椭圆的定义可知，c=√3，a=2,又因为a2 法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的 故估计该城市50岁以上且已签约家庭医 -b2=c2,所以2=1， 册数为47×号-20.] 生的居民有83.55+61.7+28+22.74= 故G的轨道方程为号+少-1. 195.99(万人). 7.ABD[用按比例分配的分层随机抽样的 (2)由题意可估计该城市年龄在10一20岁 (2)由题设可知，M,N一个在椭圆外，一个 方法抽取物化生组合的学生为25× 的居民有1000×0.005×10=50（万人）： 在椭圆内：P,Q一个在⊙F内，一个在⊙F 600 年龄在20一30岁的居民有1000×0.018 外，在直线l上的四点满足：|NQ|一|MP 600+400+250=12(人)，故A正确： ×10=180(万人). =(|NQ|+INP|)-(|MP|+|NP|)= 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政 所以估计该城市居民年龄在18~30岁的 PQ-MN=PQ-1, 史地组合的学生为25×600+400+250 250 人数大于180万，小于230万，签约率 由片+-1清去y得1十)2 5(人)，故B正确： 为30.3%： 估计该城市居民年龄在30一50岁的有 根据按比例分配的分层随机抽样的特征 (y=k(x-√3) 知，每位同学被选中的概率相等，均为 1000×0.037×10=370(万人)，签约率 8√5·k2x+12k2-4=0,△>0恒成立. 25 为37.1%： 设P(x1y1),Q(x2y2), 600+400+250-50,故C错误； 估计该城市居民年龄在50岁以上的有 83k2 1000×0.032×10=320(万人)，签约率超 由根与系数的关系，得工十工2=1十4k2' 由C知，每位同学被选中的概率均为 50 故 过55%，上升空间不大. D正确.门 故由以上数据可知这个城市居民年龄在 12k2-4 x12=1十4k2 8.BC「对于A,年收入在[65,70]万元的，减 3050岁这个年龄段的人数约为370万， 免前的频率为0.011×5=0.055，减免后的 与其他年龄段相比人数是最多的，且签约 |PQ|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 频率为0.008×5=0.040，A错误： 率与55%相比较低，所以为把该城市满18 4k2+4 对于B,减免前占比最多的年收入为 周岁居民的签约率提高到55%以上，应着 4k2+11 [45,50]万元，其次是[40,45]万元，减免后 重提高30一50岁这个年龄段的签约率. 523 14.解(1)依题可知，患病者该指标的频率分：故A正确：因为众数的估计值是频率分布： [(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+ 布直方图中第一个小矩形的面积为5× 直方图中最高矩形底边的中点的横坐标， (75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90 0.002=0.01=1%>0.5%,所以95< 从图中可看出众数的估计值为75分，故B! -85)2+(85-85)2]=41. c<100, 正确：因为(0.005十0.020十0.010)×10= (2)由(1)知x甲=x元昂<昆， 所以(c-95)×0.002=0.5%,解得c 0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+ 甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适 97.5, 0.030)×10=0.65>0.5,所以中位数位于14.解(1)由题图可知，区间[80,90)的频率 q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002= [70,80)内，设中位数为x,则0.35+0.03(x 最大， 0.035=3.5%. 70)=0.5,解得x=75,所以中位数的估计值 所以众数为85. (2)当c∈[95,100]时， 为75分，故C正确：样本平均数的估计值为 设中位数为x,则0.025+0.1十(x一80)× f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)X0.002+ 45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+ 0.04=0.5,可得x=89.375. (100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+ 65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+ 平均数为x=(65×0.0025+75×0.01十 0.820.02: 85×(10×0.025)+95×(10×0.010)= 85×0.04+95×0.035+105×0.01+115× 当c∈(100,105]时， 73(分)，故D错误.] 0.0025)×10=89.75. f(c)=p(c)+g(c)=5×0.002+(c :8.AC[选项A,根据极差的定义，原数据的 (2)日销售量在区间[60,100)的频率为 100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c 极差为xg一x1,去掉x后的极差为xg 0.875<0.9, 0.98>0.02, 1,即极差不变，故A正确； 日销售量在区间[60,110)的频率为0.975>0.9， (-0.008c+0.82,95c100, 故fc)-{0.01c-0.98,100<c≤105： 选项B,原数据的第25百分位数为x3,去掉： 故所求的量位于区间[100,110)内. 由0.9-0.025-0.1-0.4-0.35=0.025， 所以f(c)在区间[95,105]的最小值为 西后的第25百分位教为分（十西）< 0.02. ,即第25百分位数变小，故B错误： 得100+025-102.5（千克）. 0.01 课时分层检测（七十四） 选项C,原数据的平均数为工=x5,去掉 故每天应该进102.5千克苹果. 1.D「由样本的数字特征与总体的数字特征 5后的平均教为7=合（十…十十 课时分层检测（七十五） 的关系，可知全市居民用户日用电量的平 ·1.D[根据观测值求解公式及a十b十c十d= 均数约为5.5kW·h.] x6十…十xg)=8 ×8十=6=， 2 15可得，当n相等时，ad一bc|越小，说明X 2.B[数据92出现了3次，出现的次数最多，· 即平均数不变，故C正确： 与Y之间的关系越弱；|ad-bc|越大，说明 所以众数是92： 这组数据已经按照由小到大的顺序排列，· 接项D,原数据的方差为2-号[（工- X与Y之间的关系越强，经过逐一验证，可 知选D.] 计算10×25%=2.5，取第三个数，所以第 25百分位数是88.] )2十(x2-x)2十…十（工g一x)2门，去掉2.A[因为样本点在直线y=-立x十1上， 3.C[由图知，中位数x在[4,8)内， 西后的方差为”-吉[一P+(n- 呈现完全负相关，样本相关系数为一1.] 所以0.06×4十0.1×(x一4)=0.5，解得 x=6.6,A错误； )2+…十(x4-x)2+(-x5)2+…+3.D[由X2=2.974<3.841=x.0时，可知x, 由图知，众数在「4,8)内，故众数为6，B! (x4-x)2],故2<2，即方差变大，故D y独立，这个结论犯错误的概率不超 过0.05.] 错误； 错误，] 平均数为4×(2×0.06+6×0.1+10×：9.8.6，[由30×60%-18，设第19个数据为4.A[由题意知X-110X40X3020×20)2 60×50×60×50 0.07+14×0.015+18×0.005)=6.88, x,则乙.8十工=8.2，解得x=8.6,即第19个 ≈7.822，因为7.822<10.828，所以根据小概 2 C正确： 率值a=0.001的独立性检验，我们认为爱 由图知，该校读书不低于8本的频率之和为· 数据是8.6.] 好跳绳与性别无关，且这个结论犯错误的概 1-0.16×4=0.36, 10.6[因为样本数据x1,x2,…,x10的标准 率超过0.001，故A正确，B错误；又因为 所以该校读书不低于8本的人数约为 差为3， 7.822>6.635,所以根据小概率值a=0.01 0.36×12000=4320,D错误.] 故样本数据x1,,,工10的方差为9， 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有 4.A[该地区中学生每天睡眠时间的平均数· 则数据2x1一1,2x2一1，…，2x10一1的方 关，或在犯错误的概率不超过0.01的前提 800 1200 差为22×9=36， 为1200+800 ×9+1200+800 ×8= 下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故C和 故数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标D错误.] 8.4(小时)， 准差为6.] :5.B[残差在统计中是指实际观测值与预测 该地区中学生每天睡眠时间的方差为 :11.7.8[依题意，这组数据一共有5个数，中 值（拟合值）之间的差，由题意得到样本中心 800 X[1+(9-84)2]+1200+800 1200 位数为8，则从小到大排列，8的前面有21 点的坐标为(26,19)，代入经验回归方程得 1200+80 个数，后面也有2个数，又唯一的众数为 到a -1.8,y=0.8x-1.8,将x=32代 [0.5+(8-8.4)2]=0.94.] 9,则有两个9，其余数字均只出现一次，则 入，求解得到对应的预测值为23.8，所以所 5.C[由题意得=十mmx+mv)=n十m+ 最大数字为9，又极差为3，所以最小数字 求残差为24.55一23.8=0.75，故选B.] 为6，所以这组数据为6,7,8,9,9，所以平6.B[因为非线性经验回归方程为y (1-十n)小ia-升n:0<a<号 7 2 均数为6+7十8+9+9=7,8.] =2+a, 则有log2y=b.x十a, .0<n十m :12.①③[由统计知识，①甲地：5个数据的 ,又，n∈N"，.2<n 令log2y=u,即u=bx十a, 中位数为24，众数为22，可知①符合题意； 列出相关变量x,y,v关系如表： m,n<m.故选C.] ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值 6.A[A选项，若5次结果中有6，因为平均 为24，当5个数据为19,20,27,27,27，可 3 5 数为2，则方差2>号×(2-6)2=3.2，因 知其不满足连续5天的日平均温度不低于 8 16 22℃，所以不符合题意：③丙地：5个数据 为3.2>2.4，则当平均数为2，方差为 中有一个数据是32，总体均值为26，总体 0 1 3 2.4时，一定不会出现，点数6，故A正确； 方差为10.8.若某一天的气温低于22℃， B选项，若5个点数为3,3,3,5,6，则此时满 此时可取21℃，总体方差就大于10.8.所 所以2x,=0十2+9+12+20=43， 足中位数为3，平均数为4，则方差2= 以满足题意.门 1+2+3+4+5-3,w=0+1+3+3+4 号×[8-402×3+(5-4)2+(6-402]-13.解(10z-g×(82+81+79+78+ 11 1.6,故B错误； 5 C选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位 95+88+93+84)=85,z2-言×(92+ 2.x号-1+4+9+16+25=55， 数为3，众数为2，故C错误： 95+80+75+83+80+90+85)=85, D选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位 数为2，平均数为3，故D错误，] 品=gX[(82-85)2+(81-85)2+(79- xw-5列8-5X3× 所以b= =1, 55-5×9 7.ABC[分数在[60,70)内的频率为1-10×！ 85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+1 2x2-5x (0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)= 0.10,所以第三组的频数为100×0.10=10， 9g-85r+(81-85y]-355元-言× 所以a=0一b=号-3=-， 524课时分层检测（七十二） 圆锥曲线中的探索性与综合性问题 …0知识过关 0 …0能力拓展。… 1(2024·天津卷)已知椭圆之干1(>b>0 3.(2024·唐山模拟)已知抛物线E:y2=2px(p> O)的焦点为F,过点F且倾斜角为工的直线交抛 椭圆的离心率e=,左顶点为A,下顶点为B,0 物线于M,N两点，|MN|=8. 为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC= (1)求抛物线E的方程； 3 (2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A,过 2 A作抛物线E的切线交x轴于点B,点A在直线 (1)求椭圆的方程. x=一1上的射影为点C,试判断四边形ACBF (2)过点(0，一)的动直线与椭圆有两个交点 的形状，并说明理由. P,Q,在y轴上是否存在点T使得TP.TQ≤0？ 若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，： 请说明理由。 4.(2025·武汉调研)在平面直角坐标系中，O为坐 标原点，动点G到F1(一3,0)，F2(3,0)两点的 距离之和为4. (2025·福州质检)在椭圆卫：+y=1(Q>1D (1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨 迹方程C; 中，A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点，F为右 焦点，C,D两点均在直线x=a上，且C在第一象 (2)已知直线1：y=k(x-√3)(k>0)与圆F:(x-√5)2 限。 十，2=交于M,N两点，与曲线C交于P,Q两 (1)若∠AFB=,求椭圆r的标准方程： 点，其中M,P在第一象限.d为原点O到直线I的 (2)若C,D两点的纵坐标分别为2和1，判断：直 距离，是否存在实数，使得T=(|VQ|一|MP|) ·d2取得最大值？若存在，求出k;若不存在，说 线BC与AD的交点是否在椭圆T上，并说明： 理由. 明理由. 350 课时分层检测（七十三） 随机抽样、统计图表 一、单项选择题 A.750,100 B.1500,100 1.(2025·聊城模拟)要完成下列两项调查：(1)某 C.1500,120 D.750,120 社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，5.(2025·大庆调研)某网站为了了解某“跑团”每 90户低收入家庭，从中抽取100户调查购买力的： 月跑步的平均里程，收集并整理了2023年1月 某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特 至2023年11月期间该“跑团”每月跑步的平均 长生中抽取3人调查学习负担情况.应采取的抽 里程（单位：公里）的数据，绘制了如图所示的折 样方法是 ( ) 线图.根据折线图，下列结论正确的是 ( A.(1)(2)都用简单随机抽样法 B.(1)用分层随机抽样法，(2)用简单随机抽样法 月跑步平均里程公里 30 C.(1)用简单随机抽样法，(2)用分层随机抽样法 25 D.(1)(2)都用分层随机抽样法 20 15 2.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居： 10 民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅 04 读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居 1234567891011月份 民的阅读时间的全体是 ( A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里 A.总体 程数 B.个体 B.月跑步平均里程逐月增加 C.样本容量 C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月份 D.从总体中抽取的一个样本 D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至 3.(2025·潍坊调研)将某市高中数学建模竞赛的 11月波动性更小，变化比较平稳 成绩分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，80,6.中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载： 90),[90,100],并整理得到频率分布直方图（如： 图所示).现按成绩运用分层随机抽样的方法抽 毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三 取100位同学进行学习方法的问卷调查，则成绩： 人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为 在区间[70,80)内应抽取的人数为 ( 现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人 频率 读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3 组距 人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共 0.035 0.030 读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用按比例 分配的分层随机抽样的方法从中抽取47册，则 0.015 要从《毛诗》中抽取的册数为 () 0.010 A.12 B.14 C.18 D.20 0 5060708090100成绩1分 二、多项选择题 A.10 B.20 C.30 D.35 :7.某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科 4.(2025·浙江名校联考)某市中小学生人数和近 组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物 视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中 化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生 小学生近视形成的原因，现用分层随机抽样的方 有250人，其他组合均无人选.现从高一学生中 法抽取5%的学生进行调查，则样本量和抽取的 选取25人作样本调研情况.为保证调研结果相 高中生近视人数分别为 ( 对准确，下列判断正确的是 () 高中生 4000名 A.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物 ↑近视率(%) 化生组合的学生12人 小学生 50 B.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政 18500名 30 史地组合的学生5人 C.物化生组合学生小张被选中的概率比物化地 10 初中生 0 组合学生小王被选中的概率大 7500名 小学初中高中年级 图甲 图乙 D.政史地组合学生小刘被选中的概率为0 351 8.(2025·黄冈模拟)某市为了解该地小微企业年： 90 84607980243659873882 收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免 07 538935963523791805 98 后的年收入进行了抽样调查.据整理，得到如图 90073546406298805497 20 所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是 5695157480083216467050 ( ) 806772164275 11.(2025·南京模拟)劳动力调查是一项抽样调 频率 组距 查.2023年的劳动力调查以第八次人口普查的 0.040 最新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且 0.034 采用样本轮换模式.劳动力调查的轮换是按照 “2一10-2”模式进行，即一个住户连续2个月 0.011 接受调查，在接下来的10个月中不接受调查， 0 25303540455055606570年收入（万元） 然后再接受连续2个月的调查，经历四次调查 之后退出样本.调查进行时保持每月进入样本 减免前 接受第一次调查的新住户数量相同.若从第 频率 组距 个月开始，每个月都有子的样本是接受第一次 0.068 0.046 调查，的样本是接受第二次调查，的样本是 接受第三次调查，的样本是接受第四次调查， 0.008----- 0.004----- 0 3540455055606570年收入（万元） 则及的值为 12.某地各项事业取得令人瞩目的成就，以2022年 减免后 为例，社会固定资产总投资约为3730亿元，其 A.推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有 中包括中央项目、省属项目、地（市）属项目、县 了明显的提高 (市)属项目和其他项目.图1、图2分别是这五 B.推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入： 个项目的投资额不完整的条形图和扇形图，请 有了明显的提高 完成下列问题 C.推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加： +金额（亿元） 均衡 1600 1-500- D.推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有 1200 变化 800 670 三、填空题 530 400 9.(2025·常州摸底)某汽车研究 200 学历情况 院现有300名研究员，他们的 中央 省属地（市）属县（市）属其他 项目 本科生 学历情况如图所示，该研究院 图1 2(0%▣ 今年计划招聘一批新研究员， 并决定不再招聘本科生，且使 其他项目 得招聘后本科生的比例下降到 县（市） 15%,硕土生的比例不变，则该研究院今年计划 中央项目 人β属项目 m% 招聘的硕士生人数为 省属 项目 地（市属 10.某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间， 项目 将该校某班的40名学生进行编号，分别为00， 图2 01,02,…,39,现从中抽取一个容量为10的样 (1)地（市）属项目投资额为 亿元： 本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的 (2)在图2中，县（市）属项目部分所占百分比为 第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样 m%,对应的圆心角为3，则m= 本，则抽取样本的第6个号码为 3= 度(m,3均取整数). 352 四、解答题 :14.(2023·新高考全国Ⅱ)某研究小组经过研究发 13.(2025·南宁调研)为了推进分级诊疗，实现“基！ 现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指 层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗 标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病 模式，某城市全面推行家庭医生签约服务，已知 者和未患病者该指标的频率分布直方图： 该城市居民约有1000万人，从0岁到100岁的 ↑频率 居民年龄结构的频率分布直方图如图①所示. 组距 0.040 为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现： 0.036 ..344 调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段 被访者签约率如图②所示. +频率阻距 0.025 0.012 0.021 0.020 0.018 0.0160.015 0.0025- 0.015 0 95100105110115120125130指标 0.010 0.0100.008 患病者 频率 0.005 0.005 0.0040.0025 0.0005 组距 0102030405060708090100年龄/岁 图① +签约率/% 80 700475.8 61.7 0.010 60 55.7 0.002 40 137.1 0707580859095100105指标 30.3 未患病者 20 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界 年龄段/岁 6 80以上 值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或 等于℃的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率 图② 是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c);误诊 (1)估计该城市50岁以上且已签约家庭医生的： 率是将未患病者判定为阳性的概率，记为g(c). 居民人数； 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率 (2)据统计，该城市被访者的签约率约为44%. 作为相应事件发生的概率. 为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到： (1)当漏诊率(c)=0.5%时，求临界值c和误诊 55%以上，应着重提高图②中哪个年龄段的签： 率q(c); 约率？并根据已有数据陈述理由. (2)设函数f(c)=p(c)+g(c),当c∈[95,105] 时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95， 105]的最小值. 353