第50讲两直线的位置关系专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以两直线位置关系为核心，通过多解法对比构建系统性解题方法，形成从基础概念到综合应用的逻辑链条，培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系|5题|联立方程求交点、斜率关系判平行垂直|从代数运算到几何性质，构建位置关系判定体系| |对称问题|2题|坐标转移法、两点对称法|通过中点与垂直关系实现几何变换，强化空间观念| |距离问题|3题|点线距离公式、参数法求范围|结合三角函数与向量投影，深化距离计算逻辑| |综合应用|7题|直线系方程、将军饮马模型、费马点思想|从实际问题抽象数学模型，提升逻辑推理与应用意识|

第50讲　两直线的位置关系 (时间:45分钟) 1.直线x-y-1=0与直线x+y-1=0的交点坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0) 2.已知直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若l1⊥l2,则a+b= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为 (　 ) A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0 C.x-y=0 D.2x-3y-2=0 4.过直线x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线的方程为 (　 ) A.3x-2y-1=0 B.3x+2y-5=0 C.2x-3y+1=0 D.2x-3y-1=0 5.(多选题)已知直线l1:x-y+m=0,l2:2x+my-1=0,下列说法正确的有 (　 ) A.若l1∥l2,则m=-2 B.若l1⊥l2,则m=2 C.若l1,l2在x轴上的截距相等,则m=1 D.l2的倾斜角不可能是l1的倾斜角的2倍 6.已知直线m:2x-y-3=0与直线n:x+y-3=0的交点为P.若直线l过点P,且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　　.  7.点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　.  8.[2024·厦门二模] 在平面直角坐标系xOy中,点P在直线3x+4y+1=0上.若向量a=(3,4),则在a上的投影向量为 (　 ) A. B. C. D. 9.如图,已知两点A(22,0),B(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MN的方程为 (　 ) A.4x-3y-6=0 B.4x+3y+8=0 C.3x-4y+6=0 D.4x-3y+8=0 10.[2024·泰州四调] 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=2x+6,l2:y=kx+1(k<0).若直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数k的值是 (　 ) A. B.1 C.2 D.- 11.[2024·南昌二中模拟] 在平面直角坐标系中,集合A={(x,y)|kx-y+k=0},集合B={(x,y)|y=kx-1},已知点M∈A,点N∈B,记d表示线段MN长度的最小值,则d的最大值为 (　 ) A.2 B. C.1 D. 12.(多选题)已知M(3,4),若直线l上存在点P,使|PM|=2,则称该直线为点M的“2域直线”.下列直线中是点M的“2域直线”的是 (　 ) A.4x-3y=0 B.y=2 C.x-4y=0 D.x=5 13.已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:mx+y+2m-4=0交于点P(P与A,B不重合),则|PA|·|PB|的最大值为　　　　;2|PA|+|PB|的最大值为　　　　.  14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为　　　　.  15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当三角形的三个内角均小于120°时,费马点与三个顶点的连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质,F(x,y)= ++ 的最小值为 (　 ) A.4 B.2+2 C.3+2 D.4+2 16.(多选题)[2024·日照一模] 从标有1,2,3,…,8的8张卡片中有放回地抽取两次,每次抽取一张,依次得到数字a,b,记点A(a,b),B(1,-1),O(0,0),则 (　 ) A.∠AOB是锐角的概率为 B.∠ABO是直角的概率为 C.△AOB是锐角三角形的概率为 D.△AOB的面积不大于5的概率为 参考答案 第50讲　两直线的位置关系 1.C　[解析] 由解得 即交点坐标为(1,0).故选C. 2.B　[解析] 因为直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,且l1⊥l2,所以1·a+1·b=0,所以a+b=0.故选B. 3.B　[解析] 方法一:设所求直线上任意一点为(x,y),则其关于点对称的点为,因为点在直线3x-2y=0上,所以3-2(-y)=0,化简得3x-2y-2=0,所以所求直线方程为3x-2y-2=0. 方法二:在直线3x-2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点的对称点分别为O',M',则O',M',所以所求直线方程为=,化简得3x-2y-2=0. 4.C　[解析] 方法一:由得所以交点坐标为(1,1),又因为直线平行于向量v=(3,2),所以所求直线的方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.故选C. 方法二:根据题意可设所求的直线方程为x+y-2+λ(x-y)=0,即(1+λ)x+(1-λ)y-2=0,因为此直线平行于向量v=(3,2),所以=,解得λ=-5,所以所求直线的方程为-4x+6y-2=0,即2x-3y+1=0. 5.AB　[解析] 若l1∥l2,则=≠,得m=-2,选项A正确;若l1⊥l2,则1×2-m=0,得m=2,选项B正确;若l1,l2在x轴上的截距相等,则-m=,解得m=-,选项C错误;当m=0时,l2的倾斜角为,恰好是l1的倾斜角的2倍,选项D错误.故选AB. 6.x=2或x+2y-4=0　[解析] 方法一:由解得即交点为P(2,1),由点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,得直线l过AB的中点或l∥AB.当直线l过AB的中点时,AB的中点为,则直线l:x=2;当直线l∥AB时,由AB的斜率k==-,得l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.故所求直线l的方程为x=2或x+2y-4=0. 方法二:设过点P的直线l的方程为2x-y-3+λ(x+y-3)=0,即(2+λ)x+(λ-1)y-3λ-3=0,因为点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,所以=,化简得|λ-4|=|2λ+1|,解得λ=-5或λ=1,故所求直线l的方程为x=2或x+2y-4=0. 7.　[解析] 由点到直线的距离公式得,点P到直线的距离d==,其中sin φ=,cos φ=,由三角函数的性质易知,5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],故d∈. 8.C　[解析] 设直线3x+4y+1=0的一个方向向量为b=,因为a=(3,4),所以a·b=3-3=0,即a=(3,4)与直线3x+4y+1=0的方向向量垂直,又点O到直线3x+4y+1=0的距离d==,故在a上的投影向量为-×=.故选C. 9.D　[解析] 由题意得,直线MN经过点P(2,0)关于y轴的对称点(-2,0),直线MN也经过点P(2,0)关于直线AB的对称点,设为(a,b),因为直线AB的斜率为=-,所以直线AB的方程为y=-x+11,所以 解得所以点P(2,0)关于直线AB的对称点为(10,16),所以直线MN过点(-2,0),(10,16),所以直线MN的斜率为=,所以直线MN的方程为y=(x+2),即4x-3y+8=0.故选D. 10.D　[解析] 如图,设l1与x轴交于点A,l2与y轴交于点D,l1与l2交于点C,则A(-3,0),D(0,1),直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形为四边形AODC.因为四边形AODC有外接圆,且∠AOD=90°,所以∠ACD=90°,即l1⊥l2,又l1的斜率为2,l2的斜率为k,所以2k=-1,即k=-.故选D. 11.D　[解析] 集合A={(x,y)|kx-y+k=0}是直线l1:kx-y+k=0上的点组成的集合,将kx-y+k=0变形,可得y=k(x+1),所以直线l1:kx-y+k=0过定点E(-1,0).集合B={(x,y)|y=kx-1}是直线l2:y=kx-1上的点组成的集合,直线l2:y=kx-1过定点F(0,-1).因为直线l1∥l2,所以线段MN长度的最小值d是平行线l1,l2间的距离,所以d的最大值为|EF|==.故选D. 12.ABD　[解析] 设点M到直线l的距离为d.根据题意,当d≤2时,该直线上存在点P,使|PM|=2,此时直线为点M(3,4)的“2域直线”.对于A,点M到直线4x-3y=0的距离为=0≤2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于B,点M到直线y=2的距离为4-2=2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于C,点M到直线x-4y=0的距离为=>2,所以该直线不是点M的“2域直线”;对于D,点M到直线x=5的距离为5-3=2,所以该直线是点M的“2域直线”.故选ABD. 13.　5　[解析] x-my+m-2=0可以化为m(1-y)+x-2=0,故直线l1恒过定点A(2,1),mx+y+2m-4=0可以化为y-4=-m(x+2),故直线l2恒过定点B(-2,4).因为1×m+(-m)×1=0,所以l1⊥l2,可得PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(2+2)2+(1-4)2=25,又|PA|2+|PB|2=25≥2|PA|·|PB|,故|PA|·|PB|≤,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立.因为PA⊥PB,设∠PAB=θ,则θ为锐角,所以|PA|=5cos θ,|PB|=5sin θ,所以2|PA|+|PB|=5(2cos θ+sin θ)=5sin(θ+φ),其中tan φ=2,所以当sin(θ+φ)=1时,2|PA|+|PB|取得最大值5. 14.-1　[解析] 设点A关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),则线段AA'的中点坐标为,kAA'=,故解得 所求最短总路程即为点A'到军营的最短距离,故所求最短总路程为-1=-1. 15.B　[解析] 由两点间的距离公式得,F(x,y)=+ + 是点P(x,y)到点B(2,0),A(-1+,1-),C(0,2)的距离之和,F(x,y)的最小值即为点P(x,y)到点B(2,0),A(-1+,1-),C(0,2)的距离之和的最小值,取最小值时点P为△ABC的费马点,如图所示.|AB|=|AC|=2,|BC|=4,所以△ABC为等腰直角三角形,∠APB=∠APC=∠BPC=120°,延长AP交BC于M,则∠BPM=∠CPM=60°.在△APC与△APB中,=,=,又∠ACP,∠ABP均为锐角,|AC|=|AB|,所以∠ACP=∠ABP,则∠PAC=∠PAB=45°,所以∠ACP=∠ABP=180°-120°-45°=15°,则∠PCM=∠PBM=45°-15°=30°,所以∠CMP=∠BMP=90°,所以AM⊥BC,则|BP|=|CP|===,|PM|=|BP|sin 30°=,|AP|=|AM|-|PM|=2-,所以F(x,y)min=++2-=2+2.故选B. 16.ACD　[解析] 如图①,设过点O(0,0)的直线l与直线OB垂直,因为kOB=-1,所以直线l:y=x,易知64个点中有8个落在直线l:y=x上,剩余56个点中一半在直线l:y=x上方,一半在直线l:y=x下方,要使∠AOB为锐角,则点A应在直线l:y=x下方,其中满足要求的点有28个,故∠AOB是锐角的概率为=,A正确;如图②,过点B作直线m⊥OB,则点A落在直线m上时满足∠ABO为直角,因为kOB=-1,所以直线m的斜率为1,则直线m的方程为y+1=x-1,即y=x-2,落在直线y=x-2上的点有(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),共6个,故∠ABO是直角的概率为=,B错误;如图③,要使△AOB为锐角三角形,则点A落在直线l:y=x与直线m:y=x-2之间,根据点的坐标特征知,点A应落在直线y=x-1上,满足要求的点A有(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),共7个,故△AOB是锐角三角形的概率为,C正确;如图④,直线OB的方程为x+y=0,|OB|==,设直线n:x+y+c=0,直线n与直线OB之间的距离为d,则d==,令|OB|·d=×·≤5,解得-10≤c≤10,故要使△AOB的面积不大于5,则点A在直线x+y-10=0上或在直线x+y-10=0的下方,故满足要求的点A有(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2),…,(2,8),(3,1),(3,2),…,(3,7),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),共8+8+7+6+5+4+3+2=43(个),故△AOB的面积不大于5的概率为,D正确.故选ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $