6.2.2指数函数图象与性质的综合应用同步练- 2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修 第一册

**基本信息** 围绕指数函数图象与性质，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题的递进，培养数学抽象与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、图象变换、单调性等单一性质|选择/填空题为主，直接考查概念，如定义域求解、图象平移| |中档应用|实际应用、综合性质判断|结合生活情境（污水处理、酒精含量），体现模型意识，如增长率计算| |提升拓展|复合函数、分类讨论、恒成立问题|解答题形式，需综合运用性质推理，如含参数函数最值、不等式恒成立，发展逻辑思维|

第2课时　指数函数图象与性质的综合应用 1.函数f（x）＝的定义域为（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，1] C.[1，＋∞） D.（1，＋∞） 2.函数y＝2x＋1的图象是（　　） 3.为改善环境，江苏某城市对污水处理系统进行改造，三年后，该城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（　　） A.50% B.40% C.30% D.20% 4.已知函数f（x）＝－，其中e＝2.718 28…，则f（x）是（　　） A.奇函数，且在R上是增函数 B.偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数 C.奇函数，且在R上是减函数 D.偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数 5.（多选）下列说法正确的有（　　） A.y＝21－x是R上的增函数 B.某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为（1＋p）12－1 C.当a＞1时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反 D.若2x＋1＜1，则x＜－1 6.（多选）设函数f（x）＝a－｜x｜（a＞0，且a≠1），若f（2）＝4，则（　　） A.f（－2）＞f（－1） B.f（－1）＞f（－2） C.f（－2）＞f（2） D.f（－4）＞f（3） 7.当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝3x－2的值域为　　　　. 8.若函数y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是　　　　. 9.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f（x）（mg/mL）随时间x（h）变化的规律近似满足解析式f（x）＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过　　　　h后才能开车（精确到1 h）. 10.已知函数f（x）＝（ . （1）若a＝－1，求函数f（x）的增区间； （2）若a＝1，求函数f（x）的最大值. 11.函数y＝的图象大致为（　　） 12.（多选）已知函数f（x）＝ax－（ ）x，其中a＞0且a≠1，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）是奇函数 B.函数f（x）＝0在其定义域上有解 C.函数f（x）的图象过定点（0，1） D.当a＞1时，函数f（x）在其定义域上是增函数 13.函数f（x）＝a2x＋3ax－2（a＞0，且a≠1）在区间[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是　　　　. 14.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a. （1）求p%的值； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 15.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝2－x，x∈R，对于∀x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}. （1）求函数m（x）的最大值； （2）对于∀x∈[t，t＋1]，t∈R，不等式m（x＋1）＜[m（x）]2恒成立，求实数t的取值范围. 第2课时　指数函数图象与性质的综合应用 1.C　由x－1≥0可得x≥1，所以函数f（x）＝的定义域为[1，＋∞）.故选C. 2.A　函数y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度所得，又当x＝0时，y＝2.故选A. 3.B　设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125（1－p）3＝27，故p＝＝0.4＝40%.故选B. 4.C　定义域为R，关于原点对称.又f（－x）＝－＝－，故有f（－x）＋f（x）＝0，所以f（x）是奇函数，函数f（x）＝－显然是减函数.故选C. 5.BD　在A中，y＝21－x＝（ ）x－1是R上的减函数，故A错误；在B中，设年平均增长率为r，原有的生产总值为a，则a（1＋p）12＝a（1＋r），解得r＝（1＋p）12－1，故B正确；在C中，由抽象函数单调性“同增异减”知y＝与y＝f（x）在a＞1时具有相同的单调性，故C错误；在D中，若2x＋1＜1，则x＋1＜0，所以x＜－1，故D正确.故选B、D. 6.AD　由f（2）＝a－2＝4得a＝，即f（x）＝（ ）－｜x｜＝2｜x｜，由函数的奇偶性及单调性可知，f（－2）＞f（－1），故A正确，B错误；f（－2）＝f（2），故C错误；f（－4）＝f（4）＞f（3），故D正确.故选A、D. 7.　解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1，1]上单调递增，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f（x）≤1. 8.（－∞，0]　解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y＝｜2x－1｜的图象.由图可知y＝｜2x－1｜在（－∞，0]上单调递减，所以m∈（－∞，0]. 9.4　解析：当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·（ ）x≤0.02，当x＝3时，不等式不成立，当x＝4时，不等式成立.故至少要过4 h后才能开车. 10.解：（1）当a＝－1时，f（x）＝， 令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7， 由于g（x）在（－2，＋∞）上单调递减，y＝在R上是减函数，所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，即f（x）的增区间是（－2，＋∞）. （2）由a＝1，得f（x）＝（， 令t＝x2－4x＋3，则t＝（x－2）2－1， 故f（x）＝（在（－∞，2）上单调递增， 在（2，＋∞）上单调递减， 故其最大值为f（2）＝（）－1＝3. 11.A　函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时，函数单调递减，排除B，故选A. 12.ABD　f（x）＝ax－（ ）x＝ax－a－x，定义域为R，f（－x）＝a－x－ax＝－f（x），所以f（x）为奇函数，且f（0）＝0，故A、B正确，C错误；当a＞1时，0＜＜1.因为y＝ax，y＝－（ ）x在R上均为增函数，所以f（x）在其定义域上是增函数，故D正确.故选A、B、D. 13.－　解析：令ax＝t（t＞0），则原函数可化为g（t）＝t2＋3t－2，易知函数g（t）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，g（t）max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝.所以g（t）min＝（）2＋3×－2＝－.当a＞1时，t∈[a－1，a]，g（t）max＝a2＋3a－2＝8，解得a＝2.所以g（t）min＝2－2＋3×2－1－2＝－.综上可知，f（x）在[－1，1]上的最小值为－. 14.解：（1）由题意得a（1－p%）10＝， 即（1－p%）10＝， 解得p%＝1－. （2）设经过m年森林面积为a， 则a（1－p%）m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年. （3）从今年开始，n年后森林面积为a（1－p%）n， 令a（1－p%）n≥a，即（1－p%）n≥，≥，得≤，解得n≤15， 故今后最多还能砍伐15年. 15.解：（1）m（x）＝min{2x，2－x}＝ 故m（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减， 所以函数m（x）的最大值为m（0）＝1. （2）因为m（x）＝所以[m（x）]2＝＝m（2x）， 不等式m（x＋1）＜[m（x）]2等价于m（x＋1）＜m（2x）， 易知函数m（x）是偶函数， 所以m（x＋1）＜m（2x）又等价于m（｜x＋1｜）＜m（｜2x｜）， 因为m（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以｜x＋1｜＞｜2x｜， 两边平方解得－＜x＜1， 又在∀x∈[t，t＋1]，t∈R上恒成立， 故解得－＜t＜0. 故实数t的取值范围为（－，0）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $