5.4 第2课时奇偶性的应用 课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖利用奇偶性求解析式、比较大小、解不等式等核心内容。通过典型例题导入，衔接奇偶性定义，构建从定义理解到实际应用的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于提炼“通性通法”，如求解析式的“求谁设谁”步骤、解不等式的转化策略，培养数学思维的推理能力。结合跟踪训练实例，让学生用数学语言表达解题过程，提升应用意识。学生能系统掌握方法，教师可借助结构化资源提高教学效率。

第2课时　奇偶性的应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用函数的奇偶性求解析式 角度1　定义法求函数解析式 【例1】　（链接教科书第127页习题7题）函数 f （ x ）是定义域为R 的奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝－ x ＋1，求 f （ x ）的解析式. 解：设 x ＜0，则－ x ＞0， ∴ f （－ x ）＝－（－ x ）＋1＝ x ＋1， 又∵函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数， ∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）＝ x ＋1， ∴当 x ＜0时， f （ x ）＝－ x －1. 又 x ＝0时， f （0）＝0，∴ f （ x ）＝ 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　如果已知函数的奇偶性和一个区间[ a ， b ]上的解析式，求关于 原点的对称区间[－ b ，－ a ]上的解析式，其解决思路为： （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区 间上设； （2）利用已知区间上的解析式进行代入； （3）利用 f （ x ）的奇偶性写出－ f （ x ）或 f （－ x ），从而解出 f （ x ）. 提醒　若函数 f （ x ）的定义域内含0且为奇函数，则必有 f （0） ＝0，但若为偶函数，未必有 f （0）＝0. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　方程组法求函数解析式 【例2】　设 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，且 f （ x ）＋ g （ x ）＝ ，求函数 f （ x ）， g （ x ）的解析式. 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：∵ f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ）， g （－ x ）＝－ g （ x ）， 由 f （ x ）＋ g （ x ）＝ ，　① 用－ x 代替 x ， 得 f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ ， ∴ f （ x ）－ g （ x ）＝ ，　② （①＋②）÷2，得 f （ x ）＝ ； （①－②）÷2，得 g （ x ）＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　已知函数 f （ x ）， g （ x ）的组合运算与奇偶性，把 x 换为－ x ， 构造方程组求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 g （ x ） ＝ ⁠. 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：因为函数 f （ x ）＝为奇函数，所以 f （0） ＝ g （0）＝0.设 x ＜0，则－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2＋1＝ x2 ＋1，所以 f （ x ）＝ g （ x ）＝－ f （－ x ）＝－ x2－1.综上可得 g （ x ）＝ 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知函数 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f （ x ）＋ g （ x ）＝ x2－ x ＋1，则 g （3）＝ ⁠. 解析：因为 f （ x ）＋ g （ x ）＝ x2－ x ＋1，①.所以 f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ x2＋ x ＋1，由函数 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上 的偶函数和奇函数，则 f （ x ）＝ f （－ x ）， g （ x ）＝－ g （－ x ），所以 f （ x ）－ g （ x ）＝ x2＋ x ＋1，②.则①－②可得：2 g （ x ）＝－2 x ，所以 g （ x ）＝－ x ，则 g （3）＝－3. －3　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 【例3】　设函数 f （ x ）的定义域为R，对于任意实数 x 总有 f （－ x ）＝ f （ x ），当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）单调递增，则 f （－ 2）， f （π）， f （－3）的大小关系是（　　） A. f （π）＞ f （－3）＞ f （－2） B. f （π）＞ f （－2）＞ f （－3） C. f （π）＜ f （－3）＜ f （－2） D. f （π）＜ f （－2）＜ f （－3） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　由偶函数与单调性的关系知，若当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）单调递增，则当 x ∈（－∞，0]时， f （ x ）单调递减，故其图 象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜ ＜｜－3｜＜π，∴ f （π）＞ f （－3）＞ f （－2）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用函数的奇偶性与单调性比较大小的解题策略 （1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转 化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知 f （ x ）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则 f （－ 0.5）， f （－1）， f （0）的大小关系是（　　） A. f （－0.5）＜ f （0）＜ f （－1） B. f （－1）＜ f （－0.5）＜ f （0） C. f （0）＜ f （－0.5）＜ f （－1） D. f （－1）＜ f （0）＜ f （－0.5） 解析：　∵函数 f （ x ）为奇函数，且 f （ x ）在区间[0，＋∞） 上单调递增，∴ f （ x ）在R上是增函数，∴ f （－1）＜ f （－0.5） ＜ f （0）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函 数，且 f （－4）＜ f （－2），则下列不等式一定成立的是（　　） A. f （－1）＜ f （3） B. f （2）＜ f （3） C. f （－3）＜ f （5） D. f （0）＞ f （1） 解析：　因为函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，且 f （－ 4）＜ f （－2），所以 f （4）＜ f （2）.又 f （ x ）在[0，5]上 是单调函数.所以 f （ x ）在[0，5]上单调递减，从而 f （0）＞ f （1），故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 【例4】　设定义在[－2，2]上的奇函数 f （ x ）在区间[0，2]上单调 递减，若 f （1－ m ）＜ f （ m ），求实数 m 的取值范围. 解：因为 f （ x ）是奇函数且 f （ x ）在[0，2]上单调递减，所以 f （ x ）在[－2，2]上是减函数. 所以不等式 f （1－ m ）＜ f （ m ）等价于解得－ 1≤ m ＜ . 所以实数 m 的取值范围为［－1， ）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0， 2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围. 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调 递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为 f （｜1－ m ｜）＜ f （｜ m ｜）， 故可得即 解得 ＜ m ≤2.故实数 m 的取值范围为 . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法 （1）利用图象解不等式； （2）转化为简单不等式求解：①利用已知条件，结合函数的奇偶 性，把已知不等式转化为 f （ x1）＜ f （ x2）或 f （ x1）＞ f （ x2） 的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在 对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“ f ”转化为简单不 等式（组）求解. 提醒　列不等式（组）时不要忘掉函数定义域. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知偶函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足 f （2 x － 1）＜ f （1）的 x 的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （－1，1） 解析：　函数定义域是R，根据题意得｜2 x －1｜＜1，解得0＜ x ＜1.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减， f （3）＝0，则满足不等式 xf （ x ）＜0的 x 的取值范围是（　　） A. （－3，0）∪（3，＋∞） B. （－3，0）∪（0，3） C. （－∞，－3）∪（3，＋∞） D. （－∞，－3）∪（0，3） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　因为函数 f （ x ）是定义在R上的奇函 数，且 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减， f （3）＝0，所以 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递 减，且 f （－3）＝0，作出函数 f （ x ）的简图， 如图所示，当 x ＞0时，由 xf （ x ）＜0得 f （ x ） ＜0，即 x ＞3；当 x ＜0时，由 xf （ x ）＜0得 f （ x ）＞0，即 x ＜－3；当 x ＝0时， xf （ x ）＝0 不合题意.所以满足不等式 xf （ x ）＜0的 x 的取 值范围是（－∞，－3）∪（3，＋∞）.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知奇函数 f （ x ）在（－∞，0）上单调递增，则（　　） A. f （1）＜ f （2） B. f （1）＞ f （2） C. f （1）＝ f （2） D. 以上都有可能 解析：　∵ f （ x ）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递增，∴ f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，∴ f （1）＜ f （2）.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 设偶函数 f （ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（　　） A. f （－ ）＜ f （－1）＜ f （2） B. f （2）＜ f （－ ）＜ f （－1） C. f （2）＜ f （－1）＜ f （－ ） D. f （－1）＜ f （－ ）＜ f （2） 解析：　∵ f （ x ）为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），∴ f （2） ＝ f （－2）.又 f （ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜ － ＜－1，∴ f （2）＝ f （－2）＜ f （－ ）＜ f （－1）.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x － x2.则当 x ＜0时， f （ x ）的解析式为 ⁠. 解析：当 x ＜0时，－ x ＞0，于是 f （－ x ）＝2（－ x ）－（－ x ）2 ＝－2 x － x2.因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（－2 x － x2）＝2 x ＋ x2，即当 x ＜0时， f （ x ）＝2 x ＋ x2. f （ x ）＝2 x ＋ x2　 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 已知偶函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足 f （2 x －1）＜ f （ ）的 x 的取值范围为 ⁠. 解析：因为 f （ x ）是偶函数， f （－ x ）＝ f （ x ）＝ f （｜ x ｜）， 所以不等式 f （2 x －1）＜ f （ ）等价于 f （｜2 x －1｜）＜ f （ ），又因为偶函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，所 以｜2 x －1｜＜ ，解得 ＜ x ＜ . （ ， ）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $