专题1.2 有理数及其大小比较（暑假预习讲义） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题1.2 有理数及其大小比较 【本节预习目标】 1.理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类标准，能正确对有理数进行分类，体会分类讨论的数学思想。 2.理解数轴的三要素，能规范画出数轴，实现有理数与数轴上点的互相转化，初步建立数形结合思想。 3.理解相反数、绝对值的概念与几何意义，掌握求相反数、绝对值的方法，能熟练进行多重符号的化简。 4.掌握有理数大小比较的两种方法，能熟练比较多个有理数的大小，并解决真实情境中的比较与判断问题。 5.能运用数轴、相反数、绝对值的知识解决距离、平移、最值等探究问题，提升几何直观与逻辑推理核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 数的认识 自然数、整数、分数、小数；正数和负数的初步认识 在正数、0的基础上加入负整数、负分数，将数的范围扩充到有理数，形成完整的有理数分类体系 数的大小比较 正数之间、正数与0的大小比较方法 扩展到正数、0、负数之间的大小比较，新增两个负数比较大小的规则 直线与测量 直线的特征；长度的测量；两点之间距离的直观认识 将直线赋予原点、正方向、单位长度，升级为数轴，用数轴直观表示数的大小与距离关系 相反意义的量 用正负数表示生活中相反意义的量 从数量表示上升到概念本质，引入相反数、绝对值的代数与几何双重定义 知识点1：有理数的概念 1.核心定义 整数：正整数、、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于有理数。 有理数：整数和分数统称为有理数，即任何一个有理数都可以写成（是整数，）的形式。 注意：无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数，如、（每两个1之间0的个数逐次加1）。 2.有理数的两种分类方式 按“定义”分类： 按“符号”分类： 3.有理数的常用数集 常用数集名称 含义 非负数 正数和 非正数 负整和 非负整数 正整数和 非正整数 负整数和 知识点2：数轴 1.数轴的三要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三者缺一不可。 原点：在直线上任取一点表示数，是正负数的分界点。 正方向：通常规定直线上向右（或向上）为正方向，用箭头标注。 单位长度：根据实际需求选取合适的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度必须统一。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 正数对应原点右侧的点，负数对应原点左侧的点，对应原点。 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数。 知识点3：相反数 1.概念与几何意义 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；特别地，的相反数是。 表示方法：数的相反数是，这里可以是正数、负数或。 几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 2.多重符号的化简 化简规则：奇负偶正。 结果的符号只由负号的个数决定：负号有奇数个时，结果为负；负号有偶数个时，结果为正。 所有正号可以直接省略，不影响最终结果。 示例：，。 知识点4：绝对值 1.定义与基本性质 几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作。 代数性质： 正数的绝对值是它本身：若，则； 负数的绝对值是它的相反数：若，则； 的绝对值是：若，则。 2.重要推论 绝对值具有非负性：对于任意有理数，都有。 若（），则，即绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即。 知识点5：有理数的大小比较 1.两种基本比较方法 比较方法 具体规则 适用场景 数轴法 数轴上从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，左边的数小于右边的数 多个数同时比较，直观清晰 法则法 1.正数大于，大于负数，正数大于负数； 2.两个负数比较，绝对值大的反而小 两个数快速比较，无需画图 2.常用解题步骤 多个有理数比较大小时，先按正、、负分类，再分别比较正数之间、负数之间的大小，最后按顺序排列。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数的概念辨析与分类 1.核心知识点 有理数的定义；整数与分数的区分；常见数集的含义 2.解题方法技巧 ①判断有理数紧扣“整数或分数”的标准，有限小数、无限循环小数均可化为分数，属于有理数；无限不循环小数不是有理数。 ②分类时牢记的特殊性：0是整数、非正数、非负数、非负整数，但不是正数也不是负数。 ③填数集可采用“逐一排查法”，逐个判断每个数所属的集合，避免重复或遗漏。 【例题1】.（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．负分数不是有理数 C．0是最小的有理数 D．是最大的负整数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类相关概念，解题关键是明确有理数（正、负、零）及负整数的定义与范围． 分别根据有理数的分类（正、负、零）及负整数的定义，逐一分析每个选项． 【详解】选项 A：有理数包括正数、负数和0，并非不是正数就是负数，错误； 选项 B：负分数属于分数，分数是有理数，错误； 选项 C：有理数没有最小的，错误； 选项 D：是最大的负整数，正确． 故选D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 【变式题1-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 【答案】0，；，，；，，， 【详解】解：非正整数：{0，}； 负分数：{，，}； 负有理数：{，，，}． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合： 分数集合： 负整数集合： 【答案】正数集合：；分数集合：；负整数集合： 【分析】根据正数、分数和负整数的定义，将题目中给出的数值按题意分类． 【详解】解：题干中给出的数值中，正数有：；分数有：；负整数有：． 【题型2】数轴三要素判断与点数互化 1.核心知识点 数轴的三要素；数轴上点与有理数的对应关系 2.解题方法技巧 ①判断数轴是否正确，依次检查原点、正方向、单位长度三个要素，缺一不可，同时注意负半轴数字顺序不能颠倒。 ②知点读数：先看点在原点左侧还是右侧确定符号，再看点到原点的距离确定数值。 ③知数画点：先根据符号确定半轴，再根据绝对值确定距离原点的位置，标注实心点并写出对应数字。 【例题2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 【变式题2-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧， ∴选项A和选项C错误； 选项B单位长度错误，间隔不相等； 选项D正确． 【变式题2-2】.（2026·湖北孝感·三模）如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P 【答案】A 【详解】解：由图可知，数轴上表示的点是M． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 【答案】 【分析】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点表示的数是，再列式计算得出点表示的数，即可作答． 【详解】解：观察数轴得出直线上点表示的数是， 依题意，得， ∴点表示的数是，点表示的数是． 【题型3】相反数的识别与多重符号化简 1.核心知识点 相反数的定义；多重符号化简的奇负偶正规则 2.解题方法技巧 ①判断互为相反数的两个数，只需满足“数字部分相同，符号相反”，0的相反数是它本身。 ②多重符号化简时，先去掉所有正号，再数负号的个数，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 ③求式子的相反数时，要先给整体加括号再添负号，如的相反数是。 【例题3】.（2026·吉林·二模）的相反数是（ ） A． B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】∵给定数为， ∴改变符号后得到， 即的相反数是． 【变式题3-1】.（2026·山东临沂·二模）如图，数轴上点 表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知，点A表示的数为， 所以点A表示的数的相反数是． 【变式题3-2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简下列各数： (1)    ； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】多重符号化简依据：可从内向外逐层去括号，括号前为正号时直接去掉括号和正号，括号前为负号时去掉括号和负号后，括号内项符号改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）（1）_______； （2）_______； （3）_______． 【答案】 【详解】解：（1）；（2）；（3）． 【题型4】绝对值的计算与性质判断 1.核心知识点 绝对值的代数定义；绝对值的非负性 2.解题方法技巧 ①求一个数的绝对值，先判断数的正负，再按“正本身、负相反、0为0”的规则计算。 ②若，则；若，则，注意不要漏掉0的情况。 ③绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，解题时谨防漏解。 【例题4】.（2026·湖南·二模）的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：． 【变式题4-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式题4-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 【变式题4-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在两个数到原点的距离相同？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】(1)数轴表示如图： (2)存在，由数轴可得和到原点的距离相同，这两个数之间所有的整数有：，， 【详解】（1）解：，数轴表示见答案； （2）略 【题型5】有理数大小的比较 1.核心知识点 有理数大小比较的法则；数轴比较法 2.解题方法技巧 ①异号数比较直接用“正数>0>负数”的规则快速判断。 ②两个负数比较严格遵循“先求绝对值，再比大小，绝对值大的反而小”的步骤。 ③含有括号、绝对值的数，先化简再比较大小，避免直接凭符号判断出错。 【例题5】.（2026·山西太原·二模）衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，信号越强对应的绝对值越小，计算各选项的绝对值并比较大小即可得到结果． 【详解】解：、、、， 由于， 则的绝对值最小，对应信号最强． 【变式题5-1】.（2026·安徽淮南·三模）下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 【变式题5-2】.（2026·广东惠州·二模）根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴气温最低的值为，对应景区是罗浮山． 【变式题5-3】.（2026·北京丰台·二模）某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． 【培优提升题型】 【题型6】数轴上的两点距离与点的平移 1.核心知识点 数轴上两点间距离的计算；点的平移规律 2.解题方法技巧 ①数轴上两点间的距离=右边的数-左边的数，或用两数差的绝对值计算，即。 ②点的平移遵循“右加左减”规律：点向右移动加单位数，向左移动减单位数。 ③已知距离求点表示的数时，要分“在已知点左侧”和“在已知点右侧”两种情况讨论，避免漏解。 【例题6】.（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 【变式题6-1】.（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【分析】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 【变式题6-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【题型7】相反数与数轴的综合应用 1.核心知识点 相反数的几何意义；数轴中点的性质 2.解题方法技巧 ①互为相反数的两个点到原点距离相等，原点是两点连线的中点，可利用中点关系求原点位置。 ②已知两点距离且两点互为相反数，则每个数的绝对值等于距离的一半，再结合左右位置确定符号。 ③点平移后与原数互为相反数的问题，可设未知数，根据相反数定义列方程求解。 【例题7】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【答案】(1)如图所示： (2) 【详解】（1）解：略 （2）解：由数轴知． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【答案】(1)点，表示的数分别为和 (2)点表示的数为 (3)点表示的数为或 【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴，直接写出点，表示的数． （2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解． （3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是， ∴点，表示的数分别为和； （2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为． （3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·重庆·期末）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），； （2）如图所示： （3） 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从小到大排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是 （3）根据题意得． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）已知多项式 (1)若该多项式的值与字母x的取值无关，则 ， ； (2)在（1）的条件下，数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b，则线段 (3)在（2）的条件下，点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动， 秒后M与N表示的数互为相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算无关型问题，数轴与动点问题，在数轴上表示有理数，相反数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，得，结合该多项式的值与字母x的取值无关，故，解出的值，即可作答． （2）理解题意，得出数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10，再结合两点之间的距离进行列式计算，即可作答； （3）理解题意，得出数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为，结合相反数的定义进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ∵该多项式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得； （2）解：在（1）的条件下，得 ∵数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b， ∴数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10 则线段， （3）解：依题意，设秒后M与N表示的数互为相反数． ∵点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10， ∴数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为， 依题意，得 ∴． 【题型8】绝对值非负性的应用 1.核心知识点 绝对值的非负性；“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论 2.解题方法技巧 ①若几个绝对值相加等于0，则每个绝对值内部的式子都等于0，据此列方程求出字母的值。 ②单个绝对值的最小值为0，当绝对值内部为0时取得最小值。 ③代入求值时，先准确求出字母的值，再代入目标代数式计算，注意符号运算。 【例题8】.（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 【变式题8-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式题8-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 【压轴素养题型】 【题型9】数轴折叠与动点探究 1.核心知识点 数轴折叠的对称性质；动点的运动规律；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①数轴折叠问题中，折点是对称点连线的中点，利用中点公式“中点表示的数=”计算折点位置。 ②已知一个点折叠后的对应点，先求折点，再利用对称关系求其他点的对应点。 ③动点问题用含时间的代数式表示动点对应的数，再根据距离、相等等关系列方程求解，注意多解情况的讨论。 【例题9】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题与两点间距离的计算，解题的关键是利用折叠的对称性，结合的条件分情况讨论点的位置． 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【答案】（）凤岭；（）个单位长度；（）；（）分钟或分钟 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）根据题意求出火车运行的时间分，进而根据路程速度时间解答即可求解； （）求出点运动到数字（含停靠）的时间，根据数轴上两点间距离公式解答即可求解； （）分相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，分别列式解答即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，数字表示凤岭站， 故答案为：凤岭； （）∵相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒， ∴当时，火车运行的时间为分钟， ∴此时小瑞离火车东站距离为个单位长度； （）当点运动到数字时（含停靠时间），用时分钟， ∴此时点在数轴上表示的数为； （）①相遇前相距个单位长度时，出发时间分钟； ②相遇后相距个单位长度，出发时间分钟； 答：出发分钟或分钟后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【题型10】绝对值的几何意义与最值问题 1.核心知识点 绝对值的几何意义；数轴上距离和的最值规律 2.解题方法技巧 ①的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离。 ②偶数个绝对值相加，当取中间两个点之间（含端点）时，距离和最小，最小值为两端点的距离。 ③奇数个绝对值相加，当取中间那个点对应的数时，距离和最小。 【例题10】.（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 【变式题10-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 易错点 1、有理数分类出错：遗漏0的归属，如误认为非负有理数就是正有理数，或漏掉整数中的0；混淆小数与有理数的关系，误将无限不循环小数当作有理数。 2、数轴相关错误：画数轴时缺少三要素之一，或负半轴数字顺序颠倒；已知距离求点时，忽略点在已知点左右两侧两种情况，导致漏解。 3、绝对值性质误用：认为绝对值等于本身的数只有正数，忽略0；已知时只写出一个解，漏掉其相反数。 4、大小比较出错：两个负数比较大小时，直接比较原数大小，或误认为绝对值大的数更大；含有多重符号、绝对值的数未化简就直接比较。 5、多重符号化简混乱：记错“奇负偶正”规则，或将正号个数纳入符号计数，导致结果符号错误。 重点 1、有理数的两种分类方法，数轴的三要素与点数对应关系。 2、相反数、绝对值的概念与性质，多重符号的化简方法。 3、有理数大小比较的两种方法，以及绝对值非负性的应用。 难点 1、利用绝对值的几何意义解决距离、最值类问题，数形结合思想的灵活运用。 2、数轴折叠、动点探究等综合问题，分类讨论思想与方程思想的结合应用。 一、单选题 1．比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可得到答案． 【详解】解：∵标准直径为，允许误差为 ∴符合标准的直径满足 即 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，符合标准； 选项D：，不符合． 2．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 3．下表记录了年月日我国四个城市的平均气温，其中，平均气温最低的城市是（     ） 城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨 气温/ A．北京 B．广州 C．哈尔滨 D．拉萨 【答案】C 【分析】本题考查有理数大小比较，利用有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵负数小于正数， ∴， ∴哈尔滨的平均气温最低． 二、填空题 4．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 5．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 6．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 三、解答题 7．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内； ，，0，，，，，，，． 正有理数集：{                …}； 负有理数集：{                …}； 正整数集：{                  …}； 负整数集：{                  …}； 自然数集：{                  …}． 【答案】 正有理数集：； 负有理数集：； 正整数集：； 负整数集：； 自然数集：. 【分析】本题考查有理数的分类，解题关键是先化简含多重符号和绝对值的数，再根据各类数的定义分类，掌握有理数的分类标准即可正确求解． 【详解】解：先化简题目中需要化简的数，得 ， 正有理数集：{，} 负有理数集：{ ，} 正整数集：{ ，} 负整数集：{，} 自然数集：{ ，} 8．如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)，； (2)或； (3)；． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为，， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解：图略， ，， ∴． 9．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 10．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10；22 (2)①；②22 (3)存在，或11 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：10，22； （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴， ∴点M表示的数为； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为． 当时，， ∴或， 解得或； 当时，， ∴或， 解得或． ∴存在t值，使得，或11． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 有理数及其大小比较 【本节预习目标】 1.理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类标准，能正确对有理数进行分类，体会分类讨论的数学思想。 2.理解数轴的三要素，能规范画出数轴，实现有理数与数轴上点的互相转化，初步建立数形结合思想。 3.理解相反数、绝对值的概念与几何意义，掌握求相反数、绝对值的方法，能熟练进行多重符号的化简。 4.掌握有理数大小比较的两种方法，能熟练比较多个有理数的大小，并解决真实情境中的比较与判断问题。 5.能运用数轴、相反数、绝对值的知识解决距离、平移、最值等探究问题，提升几何直观与逻辑推理核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 数的认识 自然数、整数、分数、小数；正数和负数的初步认识 在正数、0的基础上加入负整数、负分数，将数的范围扩充到有理数，形成完整的有理数分类体系 数的大小比较 正数之间、正数与0的大小比较方法 扩展到正数、0、负数之间的大小比较，新增两个负数比较大小的规则 直线与测量 直线的特征；长度的测量；两点之间距离的直观认识 将直线赋予原点、正方向、单位长度，升级为数轴，用数轴直观表示数的大小与距离关系 相反意义的量 用正负数表示生活中相反意义的量 从数量表示上升到概念本质，引入相反数、绝对值的代数与几何双重定义 知识点1：有理数的概念 1.核心定义 整数：正整数、、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于有理数。 有理数：整数和分数统称为有理数，即任何一个有理数都可以写成（是整数，）的形式。 注意：无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数，如、（每两个1之间0的个数逐次加1）。 2.有理数的两种分类方式 按“定义”分类： 按“符号”分类： 3.有理数的常用数集 常用数集名称 含义 非负数 正数和 非正数 负整和 非负整数 正整数和 非正整数 负整数和 知识点2：数轴 1.数轴的三要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三者缺一不可。 原点：在直线上任取一点表示数，是正负数的分界点。 正方向：通常规定直线上向右（或向上）为正方向，用箭头标注。 单位长度：根据实际需求选取合适的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度必须统一。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 正数对应原点右侧的点，负数对应原点左侧的点，对应原点。 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数。 知识点3：相反数 1.概念与几何意义 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；特别地，的相反数是。 表示方法：数的相反数是，这里可以是正数、负数或。 几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 2.多重符号的化简 化简规则：奇负偶正。 结果的符号只由负号的个数决定：负号有奇数个时，结果为负；负号有偶数个时，结果为正。 所有正号可以直接省略，不影响最终结果。 示例：，。 知识点4：绝对值 1.定义与基本性质 几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作。 代数性质： 正数的绝对值是它本身：若，则； 负数的绝对值是它的相反数：若，则； 的绝对值是：若，则。 2.重要推论 绝对值具有非负性：对于任意有理数，都有。 若（），则，即绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即。 知识点5：有理数的大小比较 1.两种基本比较方法 比较方法 具体规则 适用场景 数轴法 数轴上从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，左边的数小于右边的数 多个数同时比较，直观清晰 法则法 1.正数大于，大于负数，正数大于负数； 2.两个负数比较，绝对值大的反而小 两个数快速比较，无需画图 2.常用解题步骤 多个有理数比较大小时，先按正、、负分类，再分别比较正数之间、负数之间的大小，最后按顺序排列。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数的概念辨析与分类 1.核心知识点 有理数的定义；整数与分数的区分；常见数集的含义 2.解题方法技巧 ①判断有理数紧扣“整数或分数”的标准，有限小数、无限循环小数均可化为分数，属于有理数；无限不循环小数不是有理数。 ②分类时牢记的特殊性：0是整数、非正数、非负数、非负整数，但不是正数也不是负数。 ③填数集可采用“逐一排查法”，逐个判断每个数所属的集合，避免重复或遗漏。 【例题1】.（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．负分数不是有理数 C．0是最小的有理数 D．是最大的负整数 【变式题1-1】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【变式题1-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合： 分数集合： 负整数集合： 【题型2】数轴三要素判断与点数互化 1.核心知识点 数轴的三要素；数轴上点与有理数的对应关系 2.解题方法技巧 ①判断数轴是否正确，依次检查原点、正方向、单位长度三个要素，缺一不可，同时注意负半轴数字顺序不能颠倒。 ②知点读数：先看点在原点左侧还是右侧确定符号，再看点到原点的距离确定数值。 ③知数画点：先根据符号确定半轴，再根据绝对值确定距离原点的位置，标注实心点并写出对应数字。 【例题2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·湖北孝感·三模）如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 【题型3】相反数的识别与多重符号化简 1.核心知识点 相反数的定义；多重符号化简的奇负偶正规则 2.解题方法技巧 ①判断互为相反数的两个数，只需满足“数字部分相同，符号相反”，0的相反数是它本身。 ②多重符号化简时，先去掉所有正号，再数负号的个数，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 ③求式子的相反数时，要先给整体加括号再添负号，如的相反数是。 【例题3】.（2026·吉林·二模）的相反数是（ ） A． B． C．2026 D． 【变式题3-1】.（2026·山东临沂·二模）如图，数轴上点 表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简下列各数： (1)    ； (2)． 【变式题3-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）（1）_______； （2）_______； （3）_______． 【题型4】绝对值的计算与性质判断 1.核心知识点 绝对值的代数定义；绝对值的非负性 2.解题方法技巧 ①求一个数的绝对值，先判断数的正负，再按“正本身、负相反、0为0”的规则计算。 ②若，则；若，则，注意不要漏掉0的情况。 ③绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，解题时谨防漏解。 【例题4】.（2026·湖南·二模）的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 【变式题4-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则 __________． 【变式题4-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【变式题4-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在两个数到原点的距离相同？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【题型5】有理数大小的比较 1.核心知识点 有理数大小比较的法则；数轴比较法 2.解题方法技巧 ①异号数比较直接用“正数>0>负数”的规则快速判断。 ②两个负数比较严格遵循“先求绝对值，再比大小，绝对值大的反而小”的步骤。 ③含有括号、绝对值的数，先化简再比较大小，避免直接凭符号判断出错。 【例题5】.（2026·山西太原·二模）衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026·安徽淮南·三模）下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·广东惠州·二模）根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 【变式题5-3】.（2026·北京丰台·二模）某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【培优提升题型】 【题型6】数轴上的两点距离与点的平移 1.核心知识点 数轴上两点间距离的计算；点的平移规律 2.解题方法技巧 ①数轴上两点间的距离=右边的数-左边的数，或用两数差的绝对值计算，即。 ②点的平移遵循“右加左减”规律：点向右移动加单位数，向左移动减单位数。 ③已知距离求点表示的数时，要分“在已知点左侧”和“在已知点右侧”两种情况讨论，避免漏解。 【例题6】.（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【变式题6-1】.（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【变式题6-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【题型7】相反数与数轴的综合应用 1.核心知识点 相反数的几何意义；数轴中点的性质 2.解题方法技巧 ①互为相反数的两个点到原点距离相等，原点是两点连线的中点，可利用中点关系求原点位置。 ②已知两点距离且两点互为相反数，则每个数的绝对值等于距离的一半，再结合左右位置确定符号。 ③点平移后与原数互为相反数的问题，可设未知数，根据相反数定义列方程求解。 【例题7】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·重庆·期末）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）已知多项式 (1)若该多项式的值与字母x的取值无关，则 ， ； (2)在（1）的条件下，数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b，则线段 (3)在（2）的条件下，点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动， 秒后M与N表示的数互为相反数． 【题型8】绝对值非负性的应用 1.核心知识点 绝对值的非负性；“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论 2.解题方法技巧 ①若几个绝对值相加等于0，则每个绝对值内部的式子都等于0，据此列方程求出字母的值。 ②单个绝对值的最小值为0，当绝对值内部为0时取得最小值。 ③代入求值时，先准确求出字母的值，再代入目标代数式计算，注意符号运算。 【例题8】.（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【变式题8-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【变式题8-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【变式题8-3】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【压轴素养题型】 【题型9】数轴折叠与动点探究 1.核心知识点 数轴折叠的对称性质；动点的运动规律；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①数轴折叠问题中，折点是对称点连线的中点，利用中点公式“中点表示的数=”计算折点位置。 ②已知一个点折叠后的对应点，先求折点，再利用对称关系求其他点的对应点。 ③动点问题用含时间的代数式表示动点对应的数，再根据距离、相等等关系列方程求解，注意多解情况的讨论。 【例题9】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式题9-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【题型10】绝对值的几何意义与最值问题 1.核心知识点 绝对值的几何意义；数轴上距离和的最值规律 2.解题方法技巧 ①的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离。 ②偶数个绝对值相加，当取中间两个点之间（含端点）时，距离和最小，最小值为两端点的距离。 ③奇数个绝对值相加，当取中间那个点对应的数时，距离和最小。 【例题10】.（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【变式题10-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【变式题10-2】.（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 易错点 1、有理数分类出错：遗漏0的归属，如误认为非负有理数就是正有理数，或漏掉整数中的0；混淆小数与有理数的关系，误将无限不循环小数当作有理数。 2、数轴相关错误：画数轴时缺少三要素之一，或负半轴数字顺序颠倒；已知距离求点时，忽略点在已知点左右两侧两种情况，导致漏解。 3、绝对值性质误用：认为绝对值等于本身的数只有正数，忽略0；已知时只写出一个解，漏掉其相反数。 4、大小比较出错：两个负数比较大小时，直接比较原数大小，或误认为绝对值大的数更大；含有多重符号、绝对值的数未化简就直接比较。 5、多重符号化简混乱：记错“奇负偶正”规则，或将正号个数纳入符号计数，导致结果符号错误。 重点 1、有理数的两种分类方法，数轴的三要素与点数对应关系。 2、相反数、绝对值的概念与性质，多重符号的化简方法。 3、有理数大小比较的两种方法，以及绝对值非负性的应用。 难点 1、利用绝对值的几何意义解决距离、最值类问题，数形结合思想的灵活运用。 2、数轴折叠、动点探究等综合问题，分类讨论思想与方程思想的结合应用。 一、单选题 1．比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数是（     ） A． B． C． D． 3．下表记录了年月日我国四个城市的平均气温，其中，平均气温最低的城市是（     ） 城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨 气温/ A．北京 B．广州 C．哈尔滨 D．拉萨 二、填空题 4．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 5．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 6．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 三、解答题 7．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内； ，，0，，，，，，，． 正有理数集：{                …}； 负有理数集：{                …}； 正整数集：{                  …}； 负整数集：{                  …}； 自然数集：{                  …}． 8．如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 9．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 10．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $