第44讲　直线、平面平行的判定与性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦线面、面面平行判定与性质，以题载法构建"概念辨析-性质应用-综合证明"三阶训练体系，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|1-5题|线面/面面平行定义辨析、充要条件判断|从线线平行到线面平行再到面面平行的判定链| |性质应用|6-13题|中位线法、平行四边形构造、截面分析|性质定理逆向应用，空间几何量计算| |综合证明|14-16题|辅助线添加、存在性问题探究|判定与性质综合，逻辑推理与空间想象结合|

第44讲　直线、平面平行的判定与性质 (时间:45分钟) 1.已知平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a和b的位置关系是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.平行或相交或异面 2.[2024·合肥三模] 设α,β,γ是三个不同平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则α∥β是l∥m的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 (　 ) A.平面α内不存在与a平行的直线 B.平面α内所有直线与a相交 C.平面α内所有直线与a异面 D.直线a与平面α至少存在一个公共点 4.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有 (　 ) A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 5.(多选题)[2024·山西运城一模] 设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的有 (　 ) A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a⊥α,b⊥α,则a∥b C.若a∥b,b∥α,a⊄α,则a∥α D.若a∥α,α∥β,a⊄β,则a∥β 6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与平面ABCD的交线为l,则l与A1C1的位置关系是　　　　.  7.[2024·宜荆荆恩联考] 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F分别为棱PD,PC上的点,=,若BF∥平面AEC,则=　　　　.  8.如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是 (　 ) 9.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,下列结论错误的是 (　 ) A.直线AE与直线BF异面 B.直线AE与直线DF异面 C.直线EF∥平面PAD D.直线EF∥平面ABCD 10.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,Q为AD的中点,点M在棱PC上,且PM=tPC,PA∥平面MQB,则t的值为 (　 ) A. B. C. D. 11.(多选题)[2024·广东深圳中学模拟] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,则下列说法正确的是 (　 ) A.B1G∥DM B.B1G∥平面A1EF C.平面BDM∥平面A1EF D.B1G∥A1F 12.(多选题)如图,在透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转,则 (　 ) A.有水的部分始终是棱柱 B.四边形EFGH为矩形且面积不变 C.棱A1D1始终与水面平行 D.当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时,BE·BF是定值 13.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,在线段A1D上取点M,在CD1上取点N,使得直线MN∥平面ACC1A1,则线段MN长度的最小值为　　　　.  14.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点. (1)求证:BC∥平面PAD; (2)若M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:AP∥HG. 15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为线段AC1,A1C1的中点. (1)求证:EF∥平面BCC1B1. (2)在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1?请说明理由. 16.[2024·云南曲靖模拟] 如图,四面体A-BCD的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱AB,BC,CD的中点,O,E,F分别为△BCD,△ABC,△ACD的重心. (1)求证:平面OEF∥平面ABD; (2)保持点E,F位置不变,在△BCD内(包括边界)拖动点O,使直线MN与平面OEF平行,求点O的轨迹长度. 参考答案 第44讲　直线、平面平行的判定与性质 1.B　[解析] ∵平面α∥平面β,∴平面α与平面β没有公共点,又a⊂α,b⊂β,∴直线a,b没有公共点,∴直线a,b的位置关系是平行或异面.故选B. 2.A　[解析] 由于α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,由面面平行的性质定理可得l∥m,所以α∥β是l∥m的充分条件;但由l∥m,α∩γ=l,β∩γ=m不能推出α∥β,也有可能α,β相交,所以α∥β不是l∥m的必要条件.故选A. 3.D　[解析] 由于直线a不平行于平面α,所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内,当直线a在平面α内时.平面α内存在与a平行的直线,故A错误;当直线a与平面α相交时,平面α内存在直线与a异面,故B错误;当直线a在平面α内时,平面α内存在与a平行的直线,故C错误;由直线a与平面α相交或直线a在平面α内,得直线a与平面α至少存在一个公共点,故D正确.故选D. 4.C　[解析] 如图所示,在三棱锥A-BCD中,平面α即平面EFGH,则四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD,又EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,∴EF∥CD,又EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.同理,AB∥平面EFGH,故与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条. 5.BCD　[解析] 对于A选项,若a∥α,b∥α,则a,b平行、相交或异面,A错误;对于B选项,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质可知a∥b,B正确;对于C选项,因为a∥b,b∥α,a⊄α,过直线b作平面β,使得α∩β=c,如图①所示,因为b∥α,b⊂β,α∩β=c,所以b∥c,则a∥c,因为a⊄α,c⊂α,所以a∥α,C正确;对于D选项,过直线a作平面γ,使得α∩γ=m,β∩γ=n,如图②所示,因为α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,所以m∥n,因为a∥α,a⊂γ,α∩γ=m,所以m∥a,则a∥n,因为a⊄β,n⊂β,所以a∥β,D正确.故选BCD. 6.平行　[解析] 因为过A1,C1,B三点的平面与平面A1B1C1D1的交线为A1C1,与平面ABCD的交线为l,且平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以l∥A1C1. 7.　[解析] 连接BD,与AC交于点O,连接DF,交CE于G,连接OG,由于BF∥平面AEC,BF⊂平面BDF,平面BDF∩平面AEC=OG,所以BF∥OG,由于O是BD的中点,所以==1,过F作FH∥CE,交PD于H,则==1,因为=,所以=,所以==. 8.D　[解析] 对于A,如图①,由正方体的性质可得MN∥EF∥AC,因为MN⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,所以直线MN∥平面ABC,故A满足;对于B,作出完整的截面ADBCEF,如图②,由正方体的性质可得MN∥AD,因为MN⊄平面ABC,AD⊂平面ABC,所以直线MN∥平面ABC,故B满足;对于C,作出完整的截面ABCD,连接BD,如图③,由正方体的性质可得MN∥BD,因为MN⊄平面ABC,BD⊂平面ABC,所以直线MN∥平面ABC,故C满足;对于D,作出完整的截面,如图④中六边形ABNMHC,可得MN在平面ABC内,不能得出MN∥平面ABC,故D不满足.故选D. 9.B　[解析] 由题意知,该几何体是底面为正方形的四棱锥,如图所示,因为F∈平面AEFD,B∉平面AEFD,F不在直线AE上,所以直线AE与直线BF异面,故A中结论正确;易得EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,所以EF与AD共面,AE与DF共面,故B中结论错误;因为EF∥AD,EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以直线EF∥平面PAD,故C中结论正确;因为EF⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以直线EF∥平面ABCD,故D中结论正确.故选B. 10.C　[解析] 如图,连接AC与BD,AC交BQ,BD分别于点N,O,因为底面ABCD为平行四边形,所以点O是AC的中点,也是BD的中点,又点Q是AD的中点,所以点N是△ABD的重心,所以AN=AO=AC.连接MN,因为PA∥平面MQB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,所以PA∥MN,所以t===.故选C. 11.ABC　[解析] 由MB1平行且等于DG知,四边形B1GDM为平行四边形,∴B1G∥DM,选项A正确;由A1M平行且等于EB知,四边形MBEA1为平行四边形,∴BM∥A1E,又A1E⊄平面MBD,BM⊂平面MBD,∴A1E∥平面MBD,又EF∥BD,EF⊄平面MBD,BD⊂平面MBD,∴EF∥平面MBD,∵EF∩A1E=E,∴平面A1EF∥平面MBD,选项C正确;又B1G∥平面MBD,B1G⊄平面A1EF,∴B1G∥平面A1EF,选项B正确;B1G与A1F异面,选项D错误.故选ABC. 12.ACD　[解析] 对于A选项,在旋转过程中有水的部分有两个平面相互平行且是全等的多边形,其余每相邻两个面的交线也相互平行,而这些面都是平行四边形,所以有水的部分始终是棱柱,故A正确;对于B选项,易知四边形EFGH始终为矩形,从题图中可以发现,矩形EFGH的边EH的长不变,EF是变化的,故矩形EFGH的面积不是定值,故B错误;对于C选项,因为A1D1始终与BC平行,而BC始终与水面平行,所以棱A1D1始终与水面平行,故C正确;对于D选项,当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时,水体(三棱柱)的底面为三角形,因为水的体积是不变的,高始终是BC,也是不变的,所以底面面积即BE·BF也是不变的,即BE·BF为定值,故D正确.故选ACD. 13.　[解析] 如图,作MM1⊥AD于点M1,作NN1⊥CD于点N1, 则MM1∥平面ACC1A1,连接M1N1,∵MN∥平面ACC1A1,MM1∩MN=M,∴平面MM1N1N∥平面ACC1A1,又平面MM1N1N∩平面ABCD=M1N1,平面ACC1A1∩平面ABCD=AC,∴M1N1∥AC.∵AD=DC,∴DM1=DN1,设DM1=DN1=x,则MM1=x,NN1=-x,在直角梯形MNN1M1中,N1M1=x,MN2=(x)2+(-2x)2=14+,∴当x=时,MN取得最小值. 14.证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD. (2)如图,连接AC,交BD于O,连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以O是AC的中点,又因为M是PC的中点,所以MO∥PA.又因为MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,所以PA∥平面BDM.又因为PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥GH. 15.解:(1)证明:因为E,F分别为AC1,A1C1的中点,所以EF∥A1A.因为B1B∥A1A,所以EF∥B1B. 又因为EF⊄平面BCC1B1,B1B⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1. (2)存在.当G为BC1的中点时,平面EFG∥平面ABB1A1.理由如下:取BC1的中点G,连接GE,GF. 因为E为AC1的中点,所以GE∥AB.因为GE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以GE∥平面ABB1A1. 同理可得,EF∥平面ABB1A1.又因为EF∩EG=E,EG,EF⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1. 故在线段BC1上存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1. 16.解:(1)证明:如图,连接GN,GD,易知G,O,D三点共线.因为O,E,F分别为△BCD,△ABC,△ACD的重心,所以在△AGN中,==,所以EF∥GN.在△CBD中,因为G,N分别是棱BC,CD的中点,所以GN∥BD,所以EF∥BD.又EF⊄平面ABD,BD⊂平面ABD,所以EF∥平面ABD.在△GAD中,==,所以EO∥AD,又EO⊄平面ABD,AD⊂平面ABD,所以EO∥平面ABD. 又因为EF∩OE=E,EF,OE⊂平面OEF,所以平面OEF∥平面ABD. (2)如图,取线段CN上靠近点N的三等分点P,连接CM,易知C,E,M三点共线, 连接EP,因为点E为等边三角形ABC的重心,==,所以EP∥MN,所以当点O在点P位置时,满足题意. 取线段CG上靠近点G的三等分点Q,连接PQ,易知PQ∥GN,又GN∥EF, 所以EF∥PQ,所以EF,PQ共面,即当O在线段PQ上运动时,均满足题意, 所以PQ即为点O的轨迹长度, 又PQ=GN=×BD=,所以点O的轨迹长度为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $