第42讲　空间几何体专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间几何体度量与性质，以公式应用为核心，融合展开、相似、祖暅原理等方法，构建从结构特征到实际应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积表面积计算|7题（如1-4,6,9）|公式法、分割法（棱台/圆台体积）|结构特征→度量公式→组合体计算| |几何性质应用|4题（如5,7,12）|轴截面转化、空间垂直与体积关系|直观图性质→空间几何量关系推导| |展开与内接问题|3题（如8,11,15）|侧面展开求最短路径、相似比求内接圆柱高|平面化思想→动态几何量最值分析| |实际与创新应用|3题（如4,14,16）|模型抽象（汝窑罐/陀螺）、祖暅原理|实际问题→数学建模→体积转化|

第42讲　空间几何体 (时间:45分钟) 1.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.20+12 B.28 C. D. 2. [2025·八省联考] 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为 (　 ) A.π B.π C.2π D.3π 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 (　 ) A.12π B.12π C.8π D.10π 4.[2024·山西临汾三模] 宋代是中国瓷器的黄金时代,涌现出了五大名窑:汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑,其中汝窑被认为是五大名窑之首.如图①,这是汝窑双耳罐,该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成,其直观图如图②所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米,中间圆的直径是20厘米,上底面圆的直径是8厘米,高是14厘米,且上、下两圆台的高之比是3∶4,则该汝窑双耳罐的体积是 (　 ) A. 立方厘米 B. 立方厘米 C. 立方厘米 D. 立方厘米 5.(多选题)如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B'=2,则以下说法错误的是 (　 ) A.△ABC是钝角三角形 B.△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍 C.点B的坐标为(0,) D.△ABC的周长是4+4 6.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　.  7.[2024·浙江金丽衢十二校联考] 已知圆柱的轴截面面积为4,则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为　　　　.  8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA1=4,一小虫从点A出发途经三个侧面爬到点A1,则小虫爬行的最短路程为 (　 ) A.4 B.5 C. D.3 9.[2023·全国甲卷] 在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该三棱锥的体积为 (　 ) A.1 B. C.2 D.3 10.[2024·北京西城区期末] 如图,水平地面上有一正六边形地块ABCDEF,设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子,用以固定一块平板式太阳能电池板A1B1C1D1E1F1.若其中三根柱子AA1,BB1,CC1的高度依次为12 m,9 m,10 m,则另外三根柱子的高度之和为(　 ) A.47 m B.48 m C.49 m D.50 m 11.(多选题)如图,现有一个底面直径为10 cm,高为25 cm的圆锥形容器,已知此刻容器内液体的高度为15 cm,忽略容器的厚度,则 (　 ) A.此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为 B.容器内液体倒去一半后,容器内液体的高度为 cm C.当容器内液体的高度增加5 cm时,需要增加的液体的体积为 cm3 D.当容器内沉入一个棱长为 cm的正方体铁块时,容器内液体的高度为 cm 12.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 (　 ) A.V3=2V2 B.V3=2V1 C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1 13.某圆环的内外半径分别为2和4,将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为　　　　.  14.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,也称陀罗,图①是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图②所示,其中A是圆锥的顶点,B,C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心,且AB=1,AC=3,底面圆的半径为1,则该陀螺的表面积是　　　　.  15.如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. (1)求此圆锥的表面积与体积. (2)试用x表示圆柱的高h. (3)当x为何值时,圆柱的表面积最大?最大表面积为多少? 16.祖暅原理也称祖氏原理,是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,若在等高处截面积相等,则体积相等.由曲线-=1,y=±x,y=±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则V=　　　　.  17.[2025·山东新高考联盟联考] 已知圆柱O1O的底面直径为2,其轴截面是矩形ABCD,A1为底面圆弧AB上任一点,若△A1CD面积的最大值为,则圆柱O1O的母线长为　　　　.  参考答案 第42讲　空间几何体 1.D　[解析] 因为该正四棱台上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该正四棱台的高h==,下底面面积S1=16,上底面面积S2=4,所以该正四棱台的体积V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.故选D. 2. A　[解析] 由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h===,∴圆锥的体积V=πR2h=π.故选A. 3. B　[解析] 因为圆柱的轴截面是正方形,且面积为8,所以圆柱的高为2,底面直径为2,所以圆柱的表面积S=2π××2+2×π×()2=12π.故选B. 4.D　[解析] 上、下两圆台的高之比是3∶4,故上圆台的高为14×=6(厘米),下圆台的高为14×=8(厘米),故上圆台的体积V1=6×=312π(立方厘米),下圆台的体积V2=8×=π(立方厘米),故该汝窑双耳罐的体积V=V1+V2=312π+π=(立方厘米).故选D. 5.ABC　[解析] 根据题意作出△ABC,如图所示.对于A,在△ABC中,OC=OA=OB=2,AC⊥OB,所以BC=AB=2,AC=4,故△ABC是等腰直角三角形,A中说法错误;对于B,△ABC的面积是AC×OB=4,△A'B'C'的高为O'B'×sin 45°=,所以△A'B'C'的面积为A'C'×=,则△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍,B中说法错误;对于C,因为OB=2,所以点B的坐标为(0,2),C中说法错误;对于D,△ABC的周长为BC+AB+AC=4+4,D中说法正确.故选ABC. 6.　1　[解析] 设圆锥的底面半径为r,则其高为r,母线长为2r.设球O的半径为R,则2R=r,即R=r,故==.圆锥的表面积S1=πr2+πr·2r=3πr2,球O的表面积S2=4πR2=4π·r2=3πr2,故==1. 7.8　[解析] 设圆柱的母线长和底面半径分别为l,r,根据已知得2lr=4,由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为L侧=4πr+2l≥2=8,当且仅当4πr=2l,即r=,l=2时等号成立,故(L侧)min=8. 8.C　[解析] 正三棱柱的侧面展开图为矩形AA'A'1A1,如图所示,连接A'A1,因为正三角形ABC的边长为3,侧棱AA1=4,所以AA'=9,所以A'A1===,即小虫爬行的最短路程为,故选C. 9.A　[解析] 取AB的中点E,连接PE,CE,如图.∵△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,∴PE⊥AB,CE⊥AB,又PE,CE⊂平面PEC,PE∩CE=E,∴AB⊥平面PEC,又PE=CE=2×=,PC=,∴PC2=PE2+CE2,即PE⊥CE,故VP-ABC=VB-PEC+VA-PEC=S△PEC·AB=××××2=1.故选A. 10.A　[解析] 依题意可知A1,B1,C1,D1,E1,F1六点共面,连接AD,BE,CF,由正六边形ABCDEF的性质知AD,BE,CF交于一点,设为O,连接A1D1,B1E1,C1F1,由题意知A1D1,B1E1,C1F1交于一点,设为O1,连接OO1,则OO1⊥平面ABCDEF,所以OO1,AA1,BB1,CC1,DD1,EE1,FF1两两平行.连接AC交OB于G,连接A1C1交O1B1于G1,连接GG1,根据正六边形的性质可知四边形ABCO是菱形,所以AC,OB相互平分,则A1C1,O1B1相互平分,根据梯形中位线定理有GG1==,即=,可得OO1=13,在梯形BEE1B1中,O是BE的中点,则O1是B1E1的中点,所以EE1=2OO1-BB1=26-9=17,同理可得DD1=26-12=14,FF1=26-10=16,所以DD1+EE1+FF1=14+17+16=47(m).故选A. 11.BCD　[解析] 作圆锥的轴截面如图,设SO1=h1,SO=h,O1B=r1,OA=r,由相似三角形的性质可得=,所以==.对于A,由于液体高度与圆锥高度的比值为,所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为=,A错误.对于B,设容器内液体倒去一半后液体的高度为h'cm,则=,解得h'=,B正确.对于C,因为×=3,×=4,所以当容器内液体的高度增加5 cm时,需要增加的液体的体积为×5×(32+3×4+42)=(cm3),C正确.对于D,当容器内沉入一个棱长为 cm的正方体铁块时,设容器内液体的高度为H cm,体积V=×32×15+()3=46π(cm3),则=,所以H=15×==(cm),D正确.故选BCD. 12.CD　[解析] 设正方形ABCD的边长为2,则ED=2,FB=1,AC=2,∴V1=VE-ACD=S△ACD·ED=.∵ED⊥平面ABCD,FB∥ED,∴FB⊥平面ABCD,∴V2=VF-ABC=S△ABC·FB=.连接BD交AC于M,连接EM,FM,∵AC⊥ED,AC⊥BD,BD∩ED=D,∴AC⊥平面BDEF.过F作FN⊥DE,垂足为N,则FN∥BD,且FN=BD=2,在Rt△ENF中,EF==3.在Rt△MBF中,FM==.在Rt△EDM中,EM==,∴EM2+FM2=EF2,即EM⊥FM,故V3=VF-ACE=S△EMF·AC=2.故选项A,B错误,选项C,D正确,故选CD. 13.π　[解析] 由题意可知,几何体体积为大球的体积减去小球的体积,所以几何体体积为π×43-π×23=π-π=π. 14.(5+)π　[解析] 由AB=1,AC=3,得BC=2,则圆锥的母线长为=,圆锥的侧面积为×2π×1×=π,圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,故该陀螺的表面积S=π+4π+π×12=(5+)π. 15.解:(1)设圆锥的母线长为l, 由半径r=1,高h'=3,得l=, ∴S侧=πrl=π,S底=πr2=π, 故S表=(+1)π, V=·πr2·h'=π. (2)如图,连接O1A1,OA,由三角形相似可得=,得h=3(1-x)(0<x<1). (3)记圆柱的表面积为S,则S=2πx·3(1-x)+2πx2=2π(-2x2+3x)=-4π+. ∵0<x<1,∴当x=时,Smax=. 16.32π　[解析] 由曲线-=1,y=±x,y=±4围成的图形为图中实线所围成的图形(关于x轴对称).设直线y=h(0≤h≤4)与直线y=x,曲线-=1在第一象限分别交于点A,B,易得A,B,截面上底面的小圆面积S1=π=πh2,大圆面积S2=π=πh2+4π,则圆环面积S=S2-S1=4π.由祖暅原理知,旋转体的体积V与底面积为4π,高为8的圆柱体积相等,故所求旋转体的体积V=32π. 17.　[解析] 设圆柱O1O的母线长为l,如图,A1在上底面的正投影为点E,可知A1E即为母线且和上底面垂直,所以A1E⊥CD,过E作CD的垂线,垂足记为F,连接A1F,又EF∩A1E=E,且EF,A1E都在平面A1EF内,所以CD⊥平面A1EF,又A1F⊂平面A1EF,所以CD⊥A1F,所以当A1F最大时,△A1CD的面积取得最大值,结合A1F2=A1E2+EF2,可知EF最大时A1F最大,易知EF≤1,所以当E为圆弧CD的中点,F为CD的中点时,A1F最大,最大值为,所以△A1CD面积的最大值为=,解得l=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $