第16天 几何体的截面与交线 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦几何体截面与交线的空间形态分析，通过多样化题型构建从基础到综合的知识逻辑链，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截面形状判断|3题（正四棱柱/圆锥/球）|多面体与旋转体截面边数、面积最值|从几何体结构特征推导截面形成原理| |交线与角度计算|4题（正方体/正四棱锥/圆柱）|异面直线成角、截面交线轨迹|以线面关系为桥梁，建立空间角与平面几何的转化| |综合应用|7题（外接球/圆台/正四面体）|动态截面周长、轨迹长度、函数图像|整合空间向量与解析几何，体现推理能力与模型意识|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第16天 几何体的截面与交线 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.用一个平面去截一个正四棱柱,截法不同,所得截面形状不一定相同,在各种截法中,边数最多的截面的形状为(　　) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 2.(2025·广西适考)已知某圆锥的侧面积为2π,轴截面面积为,则该圆锥的母线与底面所成的角为(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 3.(2025·新乡模拟)已知球O的半径为5,点A到球心O的距离为3,则过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是(　　) A.9π B.12π C.16π D.20π 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,CC1的中点,过D1,E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l,则直线l与直线AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. 5.已知正方体的棱长为2,连接正方体各个面的中心得到一个八面体,以正方体的中心O为球心作一个半径为的球,则该球O的球面与八面体各面的交线的总长为(　　) A.2π B.π C.π D.4π 6.在正四棱锥P-ABCD中,已知PA=AB=2,O为底面ABCD的中心,以O为球心作一个半径为的球,则该球的球面与侧面PCD的交线长度为(　　) A. B. C. D. 7.(2025·四省联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为常数,点P在线段AC1上(端点除外),过点P且垂直于AC1的平面α截正方体所得截面的周长为y,若AP=x,则y关于x的函数图象大致为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　A.　　　　B.　　　 C.　　　 D. 8.(2025·赤峰模拟)如图所示,用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱,截面是一个椭圆面,若θ=,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.(2025·云南一模)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=AC=,∠BAC=90°.则(　　) A.球O的表面积为8π B.异面直线PB与AC所成角的正切值为 C.平面PBC截球O所得截面的面积为 D.点A到平面PBC的距离为 10.(2025·郑州二预)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,则(　　) A.过点E有且只有一条直线与直线AB和A1D1都相交 B.过点E有且只有一个平面与直线AB和A1D1所成角相等 C.过A,D1,E三点的截面把正方体分成两部分,则该截面的周长为2+ D.点Q是正方形B1BCC1内的动点,A1Q⊥BC1,则Q点的轨迹长度为 11.(2025·潍坊模拟)已知圆台的高为2,其母线与底面所成的角为,下底面半径是上底面半径的2倍,则(　　) A.该圆台的上底面半径为2 B.该圆台的体积为 C.该圆台外接球(圆台的上、下底面的圆周均在球面上)的表面积为 D.用平面截该圆台,若所截图形为椭圆,则椭圆离心率的取值范围为 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱DD1上,过点C作平面BMC1的平行平面α,记平面α与平面BCC1B1的交线为l,则A1C与l所成角的大小为　　　　.   13.(2025·兰州模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,平面A1BD截正方体内切球所得的截面面积为　　　　.  14.(2025·济南模拟)已知正四面体ABCD的棱长为2,动点P满足PA2+PB2=PC2+PD2,用所有这样的点P构成的平面截正四面体,则所得截面的面积为　　　　.   第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第16天 几何体的截面与交线 1.答案　C 解析　∵用平面去截四棱柱时最多与六个面相交得六边形,最少与三个面相交得三角形, ∴边数最多的截面的形状为六边形. 2.答案　D 解析　如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h, 由题意,得 设该圆锥的母线与底面所成的角为θ,则0°<θ<90°,可得tan θ==, 所以该圆锥的母线与底面所成的角为60°,故选D. 3.答案　C 解析　由点A到球心O的距离为3,得球心O到过点A的平面α距离的最大值为3,因此过点A的平面α被球O所截的截面圆半径的最小值为=4,所以过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是42π=16π. 4.答案　A 解析　如图所示,在平面AA1D1D中,连接D1E并延长D1E交DA的延长线于点H,则HA=AD, 在平面CC1D1D中,连接D1F并延长D1F交DC的延长线于点G,则GC=CD, 则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l,且GH∥AC, 而在等边△ACD1中,AC与AD1所成的角为,故直线l与直线AD1所成的角为. 5.答案　B 解析　如图所示,M为EF的中点,O为正方体的中心,过O作PM的垂线交于点N,正八面体的棱长为2,即EF=2,故OM=1,OP=,PM=,则ON=, 设球与正八面体的截面圆半径为r,如图所示, 则r== =, 由于MN=ZN=,NJ=NI=, 所以IJ=,则∠INJ=,平面PEF与球O的交线所对应的圆心角恰为,则该球O的球面与八面体各面的交线的总长为8×=π.故选B. 6.答案　A 解析　如图,取CD的中点E,则有OE⊥CD,PE⊥CD, 由PA=AB=2,可得OE=1,PE=,故OP=, △PCD为正三角形,球心O在平面PCD上的投影M即为△PCD的中心, OM==, 球的半径OF=, 在Rt△OMF中,截面圆半径 MF==, 在正△PCD中,以M为圆心,作半径为的圆,易知ME=, 则EF===ME, 所以∠FME=,圆与三角形截得的三部分,由对称性可知,圆心角都为,故该球的球面与侧面PCD的交线长度为截面圆周长的,即为×2π×MF=. 7.答案　D 解析　如图所示, 设平面A1BD和平面CB1D1分别与AC1交于点Q,R,当点P在线段AQ和线段C1R上时,截面是正三角形,当点P越靠近点A或越靠近点C1时,截面周长越小,且变化是线性的.当点P在线段QR上(不含点Q,R)时,截面是六边形EFGHMN,且EF∥A1B,NE∥B1D1,=,=,所以+=+=1,所以EF+NE=A1B,所以六边形EFGHMN的周长与△A1BD的周长相等.综上可知y关于x的函数图象大致为D.故选D. 8.答案　D 解析　如图,设圆柱底面圆的半径为r,椭圆方程为+=1(a>b>0), 由题意,截面椭圆的短半轴长等于圆柱的底面半径r,即b=r, 因为θ=,∠EDQ=,所以∠DEQ=, 在Rt△ABE中,AB=2r,∠EBA=,所以AE=4r, 所以椭圆的长半轴长等于2r,即a=2r, 所以c===r, 因此椭圆的离心率e===. 故选D. 9.答案　AD 解析　如图,因为AB=AC=,∠BAC=90°, 所以△ABC的外接圆的半径r=1, 又PA⊥平面ABC,PA=2, 将三棱锥P-ABC放入长方体ACNB-PEFM中, 对于A,长方体的体对角线长为 =2, 故外接球的半径为,故表面积为4π()2=8π,A正确; 对于B,∠PBN或其补角为异面直线PB与AC所成角, 由于NB⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,故NB⊥PB,故∠PBN=,故B错误; 对于C,PC=PB==,BC=2, cos∠BPC==, 则sin∠BPC=, 故△PBC的外接圆半径为 ==, 故△PBC的外接圆的面积为π=,故C错误; 对于D,设点A到平面PBC的距离为h, 则VA-PBC=VP-ABC⇒h= = ===,故D正确.故选AD. 10.答案　AD 解析　对于A,点E∉直线AB,点E∉直线A1D1,点E与直线AB确定平面α,点E与直线A1D1确定平面β,平面α与β相交,该交线过点E且与直线AB和A1D1都相交,A正确; 对于B,由正方体的结构特征知,A1D1,AB与平面BDD1B1都成45°角,则过E与平面BDD1B1平行的平面与直线AB和A1D1所成角相等;直线AB和A1D1都平行于过E与直线CC1垂直的平面,该平面与直线AB和A1D1所成角相等,B错误; 对于C,如图,取BC中点F,连接EF,AF,由E是棱CC1的中点,得EF∥BC1∥AD1,四边形AFED1是过A,D1,E三点的正方体截面,周长为+++=+,C错误; 对于D,如图,连接B1C,A1C,由A1B1⊥平面B1BCC1,BC1⊂平面B1BCC1,则A1B1⊥BC1,而B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面A1B1C,于是BC1⊥平面A1B1C, 又A1Q⊥BC1,因此Q∈平面A1B1C,又Q∈平面B1BCC1,则点Q的轨迹为平面A1B1C与平面B1BCC1的交线B1C,所以Q点的轨迹长度为B1C=,D正确. 故选AD. 11.答案　BCD 解析　如图: 设圆台上底半径为r,则下底半径为2r,由题意tan ==⇒r=,即圆台的上底面半径为r=,故A错误; 圆台的体积为V=[r2+(2r)2+r·2r]==,故B正确; 因为母线l=2r,∠A1AO=60°,所以△A1AO为等边三角形,所以OA=OA1,所以该圆台外接球的球心就是下底面圆心O,所以该圆台外接球半径R=2r=,所以其外接球表面积为S=4πR2=4π×=π,故C正确; 用平面截该圆台,若所截图形为椭圆,离心率最大时,截面可以是过A1,E的截面,此时对椭圆:2a=A1E=4⇒a=2,因为圆台的中截面半径为R0=r+=,所以椭圆中b==,所以e2=1-=1-=,所以e=. 所以椭圆离心率的取值范围为,故D正确.故选:BCD. 12.答案　 解析　因为平面BMC1∥平面α,平面BMC1∩平面BCC1B1=BC1, 平面α∩平面BCC1B1=l,则BC1∥l, 因为A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1, 又B1C⊥BC1,且A1B1∩B1C=B1, A1B1,B1C⊂平面A1B1CD, 所以BC1⊥平面A1B1CD, 又A1C⊂平面A1B1CD, 故BC1⊥A1C,所以A1C⊥l, 即A1C与l所成角的大小为. 13.答案　 解析　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的中心是内切球球心,设为O,O到平面A1BD的距离为d, 设A到平面A1BD的距离为d1,因为=, 所以·d1=S△ABD·AA1, 所以××(2)2×·d1=××22×2, 所以d1=×2, d=OA-d1=-=, 正方体内切球半径R=1,正方体内切球被平面A1BD截球面所得的截面是一个半径为r的圆, 所以r==, 所以圆的面积为. 14.答案　2 解析　把正四面体补形为一个棱长为2的正方体,以正方体中心O为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则四个顶点坐标为A(1,1,1),B(-1,-1,1),C(-1,1,-1),D(1,-1,-1), 每条棱长均为2,设动点P(x,y,z), PA2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2, PB2=(x+1)2+(y+1)2+(z-1)2, PC2=(x+1)2+(y-1)2+(z+1)2, PD2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2, PA2+PB2=2x2+2y2+2z2-4z+6, PC2+PD2=2x2+2y2+2z2+4z+6, 因为PA2+PB2=PC2+PD2, 所以z=0,即所有满足条件的点P构成的平面为z=0平面(即xOy平面), 而A,B,C,D为正方体的顶点(如图所示),且该正方体的中心为原点, 由对称性可得与棱AC交于(0,1,0),与棱AD交于(1,0,0),与棱BC交于(-1,0,0),与棱BD交于(0,-1,0), 截面四边形的顶点为(0,1,0),(1,0,0),(-1,0,0),(0,-1,0), 故在xOy平面上形成一个菱形,其对角线的长度为2,故面积为2. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $