3.2.1第1课时函数的单调性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖增（减）函数定义、单调区间等核心知识。通过函数图象直观感知入手，衔接函数概念，构建从具体图象到抽象定义的学习支架，帮助学生逐步理解单调性本质。 亮点在于融合数学眼光（几何直观）与数学思维（推理能力），通过分段函数图象分析、定义法证明四步法等，培养学生逻辑推理与符号表达能力。方法总结系统，例题类型多样，助力学生掌握单调性应用，教师可高效开展教学。

　第三章　函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学习目标 1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念． 2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念. 3.能运用定义法证明函数的单调性． 基础知识 填一填 1．增函数和减函数 单调递增 单调递增区间 单调递减 单调递减区间 上升 下降 单调区间 【说明】　(1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． 判一判 (1)在函数f(x)的定义域D内某个区间I上存在两个数x1，x2且满足x1<x2，f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间I上是增函数．(　 　) (2)函数f(x)＝在定义域上为减函数．(　 　) (3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(　 　) (4)f(x)在区间I上为增函数，且x1，x2∈I，若f(x1)<f(x2)，则x1<x2.(　 　) × × √ √ 例题 类型一　直观感知函数的单调性　　　　　　　　　自主探究 1．已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　 　) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] 解析　由题图知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]. B 2．函数f(x)＝x|x－2|的单调递增区间为(　 　) A．(－∞，1]∪[2，＋∞) B．(1，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，1)，(2，＋∞) 解析　f(x)＝x|x－2|＝因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，y＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(2，＋∞)． D 3．下列关于函数f(x)＝|x－1|－1的结论，正确的是(　 　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减 C．f(x)在(－∞，0]上单调递增 D．f(x)在(－∞，0]上单调递减 D 解析　f(x)＝|x－1|－1＝作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故选D． 4．若函数f(x)在区间[1，3)和[3，5]上均为增函数，则函数f(x)在区间[1，5]上(　 　) A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在单调递减区间 C 解析　对于A，符合条件的图象如图1所示，x1<x2，但f(x1)>f(x2)，函数f(x)在区间[1，5]上不是增函数，故A错误；对于B，符合条件的图象如图2所示，函数f(x)在区间[1，3)和[3，5]上连续，此时f(x)在区间[1，5]上是增函数，故B错误；对于C、D，函数f(x)在区间[1，3)和[3，5]上无论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在单调递减区间，故C正确，D错误．故选C． 方法总结 (1)求函数的单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个或两个以上的单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开． 类型二　利用定义证明函数的单调性 【例1】　利用定义法证明：函数f(x)＝ 在(－∞，1)上是减函数． 方法总结 利用定义证明函数单调性的四个步骤 [跟踪训练1]　已知函数f(x)＝判断函数在(－2，＋∞)上的单调性并给出证明． 解　f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 证明：∀x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2， 类型三　函数单调性的应用 角度1　利用函数的单调性比较大小 【例2】　设函数y＝f(x)满足：对任意的x1， 则f(－3)与f(－π)的大小关系是(　 　) A．f(－3)>f(－π) B．f(－3)≥f(－π) C．f(－3)<f(－π) D．f(－3)≤f(－π) A 角度2　利用函数的单调性解不等式 【例3】　(2024·河北石家庄期中)f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，若f(x)<f(2x－3)，则x的取值范围是(　 　) A C 方法总结 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值范围时，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)[不等式(组)]或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． [跟踪训练2]　(1)已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(2)，f(π)，f(3)的大小关系是(　 　) A．f(π)>f(2)>f(3) B．f(3)>f(π)>f(2) C．f(2)>f(3)>f(π) D．f(π)>f(3)>f(2) D C D 课堂小结 1．知识清单 (1)增函数、减函数的概念及应用． (2)函数的单调区间． 2．核心提示 (1)函数的单调区间不能用并集表示，利用函数的单调性求参数的取值范围或解不等式时不要忽略函数的定义域． (2)方法归纳：数形结合法(如类型一)，定义法(如例1). 当堂检测 1．如图所示，函数y＝f(x)的单调递增区间是(　 　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] 解析　观察函数图象，在[－3，1]上，随x的增大，函数y＝f(x)的图象是上升的，因此函数y＝f(x)的单调递增区间是[－3，1]. C B 4．已知y＝(a－1)x＋5在R上是增函数，则a的取值范围是 ． 解析　由于y＝(a－1)x＋5在R上是增函数，所以a－1>0，即a>1，所以a的取值范围是(1，＋∞). (1，＋∞) Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 增函数 减函数 概念 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D： 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 那么就称函数f(x)在区间I上 ．区间I称为函数f(x)的 那么就称函数f(x)在区间I上 ．区间I称为函数f(x)的 图象特征 函数f(x)在区间I上的图象是 的 函数f(x)在区间I上的图象是 的 图象 2.单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的 . [解析]　函数f(x)＝在R上单调递减， 则解得－4≤a≤－， 所以实数a的取值范围是. (2)若函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是 (　 　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) (3)若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析　(1)因为f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以D选项正确． (2)∵函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，∴由函数单调性的定义可知，2m>－m＋9，解得m>3，∴实数m的取值范围是(3，＋∞). (3)y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象的对称轴为x＝，若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则≥2，解得a≤－，故选D. 2．(2024·湖南邵阳期末)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　 　) A．f(x)＝3－x B．f(x)＝3＋x C．f(x)＝x2－4x D．f(x)＝ 解析　f(x)＝3－x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；f(x)＝3＋x在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；f(x)＝x2－4x在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C错误；f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． 3．若函数y＝f(x)单调递增，则满足不等式f(2x)>f(－1)的x的取值范围为 ． 解析　因为y＝f(x)单调递增，且f(2x)>f(－1)，所以2x>－1，解得x>－. $