3.2.1 第1课时 函数的单调性-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第三章函数的概念与性质 3.2菡数的基本性质 3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 课程标准 素养解读 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性 的抽象过程，提升数学直观素养 2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义 2.在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运 3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性 算素养 课前。预习学案 对应学生用书P67 [情境引入] f(x2),那么就称函数f(.x)在区间D上单调递塔 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆 (如图①)： 牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增 一些数据： 时，我们就称它是塔函数. 刚记 8-9 时间 20分60分 1天2天 6天 忆完 一个 y=f(x) 间隔t 钟后钟后 小时 后 名 后 月后 y=f(x) 毕 后 if(x1) f（x2) f(x1) fx2) 记忆量 y(百 100 58.244.235.833.727.825.421.1 0 %2 分比) 图① 图② 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾 (2)如果Hx1,x∈D,当x1<x2时，都有f(x1)> 浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲 f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 线”，如图 (如图②) 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减 10 8 时，我们就称它是减函数.。 40 ?思考1.在增函数和减函数定义中，能否把“任意 20 0 1 2 3 x1,x2∈D”改为“存在x1,x2∈D”? 艾宾浩斯 [问题](1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应 提示：不能， 的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算 [知识点二]函数的单调性与单调区间 以后如何对待刚学过的知识？ 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减， (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单 此，我们如何用数学观点进行解释？ 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间 提示：(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变 小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时 2思考2.区间D一定是函数的定义域吗？ 复习刚学习过的知识. 提示：不一定，可能是定义域的一部分 (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线. [知识梳理] 3.函数y=工在定义域上是减函数吗？ [知识点一]增函数、减函数的概念 提示：y= 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I: 在定义提上不是减函教，但是它有两 (1)如果Hx1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)< 个单调递减区间（一∞，0），(0，十∞). ·95· 数学·必修第一册 [预习自测] 小关系是 1.下列结论中，正确的是 ( A.f(x1)<f(.x2) B.f(x1)>f(x2) A.函数y=k.x(k为常数，且k<0)在R上是增 C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 函数 答案：D B.函数y=x在R上是塔函数 3.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调 C.函数y=上在定义域内是减函数 递增区间是 D.y=1在(-∞，0)上是减函数 x 答案：D 2.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调塔区间，且x ∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大 答案：(-∞，1]和(1，+∞) 课堂。互动学案 对应学生用书P68 题型一 函数单调性的判定与证萌 规律方法 C创1山求证：园数f()-是在0，十∞上是藏西数。 2.利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技 巧有哪些？ 在（一∞，0）上是增函数. (1)因式分解.当原函数是多项式函数时，作差后 汇思路点拔]依函数单调性的定义证明. 的变形通常进行因式分解.如f(x)=x3-1. [证明]对于任意的x1,x2∈(-∞，0)，且x1< (2)通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进 行通分，然后对分子进行因式分解.如本例. x2,有f(x1)-f(x2)= (3)配方.当原函数是二次函数时，作差后可以考 (x2-x1)(x2十x1) 虑配方，便于判断符号· (4)分子有理化.当原函数是根式函数时，作差后 :x1<x2<0, 往往考虑分子有理化.如f(x)=√x十 .x2-x1>0,x1+x2<0,xix2>0. ⊙[变式训练] .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2. 1.已知函数f(x)=十且经过（一1，-1）， ·函数f(x)=1在（一0,0）上是增函数. x+1 合》两点 对于任意的x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2,有 f()-f(x)=（x,-x)(x十1) (1)求函数f(x)的解析式； xixz (2)利用单调性的定义证明：f(x)在（一1,1）上单 0<x1<x2,x2-x1>0,x2十x1>0,xix>0. 调递增 .f(.x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 解：将点(-1，-1（合）的丝标代入郎新式 函袋代)=是在0，十e0)上是减画数 -a+b=-1, 1+1 规律方法 得 1 2a+b 1.利用定义判断或证明函数单调性的4个步骤 1）2 +1 取值 设，2是该区间内的任意两个值，且1<知 2 作差f(x)-∫(x)或f(x)-fx),并通过因式分解、 作差 配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方 解得=2 故fx)=2x b=0 x2+11 变形 向变形，一般化为积的形式 (2)证明：任取x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, 定号 确定差f(x)-∫(x)或f(x2)-f(x)的符号，当符号不 确定时，可以进行分类讨论 则f(x)-f(x2)= 2x12.x2 x1+1x+1 结论 根据定义得出结论 2x1x2十2x1-2x2x1-2x (xi+1)(x2+1) ·96· 第三章函数的概念与性质 _2x12(x2-x1)-2(x2-x1) ◇[变式训练] (x+1)(x号+1) -x-3,(x≤1) 2(x1x2-1)(x2-x1) 2.作出函数f(x) 的图象， (x+1)(x+1) (x-2)2+3,(x>1) 因为x1,x2∈(-1,1)，x1<x2, 并指出函数的单调区间. 所以x1x2-1<0,x2-x1>0,x+1>0,x2十1 1-x-3,(x≤1) 解：f(x)= 的图象如图 >0, (x-2)2+3,(.x>1) 故fx1)-f(x2) 2(xx2-1D(x）<0, 所示 (x1+1)(x2+1) 故f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(-1,1)上单调递增. 题型二 求函数的单调区间 -20 [例2]画出函数y=-x2+2x+3的图象，并指出 函数的单调区间 [思路点拔了先转化为分段函数，再画其图象. [解]y=-x2+2|x|+3 由图可知，函数的单调递减区间为（一∞，1]和 -x2+2x+3=-(x-1)2+4,(x≥0)， (1,2);单调增区间为[2，十∞). 1-x2-2x+3=-(x+1)2+4,(x<0). 题型 利用单调性比较大小 函数图象如图所示 [例3](1)若函数f(x)的定义域为R,且在(0，十o∞) 上是减函数，则下列不等式成立的是 A.-+D) 3-1 01 函数在(-∞，-1)，[0,1)上是增函数， B.)f(a-a+1) 函数在[-1,0)，[1，十o∞)上是减函数. .函数的单调增区间是（一∞，一1）和[0,1)， C.fi)fa-ati) 单调减区间是[-1,0)和[1，十∞). D(是)长a2-a+D 规律方法 (2)已知函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数， 求函数单调区间的两个方法及三个关注点 且f(1-a)≤f(3a-2),则a的取值范围是 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进 行判断求解. 汇思路点拔了依据单调性的定义判新： 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象 [解析] (1)B[f(x)在(0，十∞)上是减函数， 求单调区间. (2)三个关注点： 且-a+1-a-)+≥是>0 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的 fa-a+1f() 定义域 (2)因为函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数， 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数 的单调区间作为常识性的知识，可以直接 且f(1-a)≤f(3a-2),所以-1<3a-2≤1-a<1, 使用 解得ae(信，】 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开 写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接 [答案] 合别 ·97· 数学·必修第一册 规律方法 规律方法 1.利用单调性比较大小的方法 1.函数单调性的定义具有“双向性”；利用函数单 (1)利用函数单调性可以比较函数自变量（函数 调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过 值)的大小，即已知f(.x)在区间D上为增函 来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数 数，则对x1x2∈D,x1<x,台f(x1)<f(.x2). 的范围. (2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量 2.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的 x的值转化到同一单调区间上才能进行比较， 大小.例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲 最后写结果时再还原回去 求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的 2.利用函数单调性解不等式 定义（也就是函数单调性的性质），将符号“f” 脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于 与函数单调性有关的结论 x的不等式（组）. (1)正向结论：若y=f(x)在给定区间上是增函 3.若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则此函数 数，则 在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 当x1<x2时，f(x1)<f(x2)； 4.已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意 当x1>x2时，f(x1)>f(x2); 数形结合思想，采用逆向思维，利用已知函数研 (2)逆向结论：若y=f(x)在给定区间上是增函 究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、 数，则 反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判 当f(x1)<f(x2)时，x1<x2; 断即可： 当f(x1)>f(x2)时，x1>x2 ⊙[变式训练] (3)当y=f(x)在给定区间上是减函数时，也有 -ax十3，x1, (1)(2)相应的结论. 4.(1)(多选)f(x)= 2a-1 是R上的减函 ⊙[变式训练] x ,x>1 3.已知函数f(x)在(0，十∞)上是减函数，且f(x)< 数，则实数a的取值可以是 f(2x一3)，求x的取值范围！ A司 B号 C.1 D 解：f(x)是定义在(0，十o∞)上的减函数，且f(x) (2)若函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在(-∞，1] <f(2.x-3), 上单调递减，则实数k的取值范围是 x>0, 解析：(1)BCD [因为函数f(x)= 2x-3>0,解得3<x<3. 2 ax十3，x≤1， x>2.x-3, 2a-1,x>1 是R上的减函数，所以有 点的取值范国是（合3 -a<0, 题型四 单调性的综合应用 2a-1>0, 解得<a≤专，因此递项B [例4]已知函数f(x)=x2+2(a-1)x十2在区间 a·1+3≥2a- (一∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围， 1 C,D符合题意，故选BCD.] 汇思路点拨]解答本题可先将函数解析式配方， (2)当k=0时，f(x)=-2x-5,显然此函数在 然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区 (一∞，1]上单调递减； 间的位置关系，利用数形结合求解。 当k卡0时，函数f(x)图象的对称轴为直线x [解]f(x)=x2+2(a-1)x+2 3k-2 ,要使函数f(x)在（∞，1]上单调递减， =[x+(a-1)]2-(a-1)2+2, 2k .此二次函数的对称轴为x=1一a k>0, .f(x)的单调递减区间为(-o∞，1-a]. 只需满足 3k-2≥1， 得0<k≤号 ,f(x)在（一∞，4]上是减函数， 2k .对称轴x=1一a必须在直线x=4的右侧或与其 综上所述，实数的取位范国是[0，号] 重合 .1-a≥4，解得a≤-3. 答案：，] ·98· 第三章函数的概念与性质 随堂。步步夯实 对应学生用书P70 1.（多选)函数y=f(x)是(0，十∞)上的减函数，且 4.已知函数f(x)为定义在区间[一1,1]上的增函数，则 0<x1<x2,则下列选项正确的是 A.f(x1)>f(.x2) 满足f)<(分)的实数x的取值范围为 B.f(.x1)-f(.x2)>0 答案：-1) C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 5.用定义法证明：函数f(x)=x3十x在R上是增 D.f）-fx2>0 函数 1一x2 答案：ABC 证明：设x1,x2是R上的任意两个实数， 2.若函数f(x)=4x2-k.x-8在[5,8]上是单调函 且x1<x2, 数，则的取值范围是 ( ) 则f(x2)-f(x1)=(x+x2)-（x+x1) A.(-∞，40] =(x2-x1)(x2十x2x1+x1)+(.x2-x1) B.(40,64) =(x2-x1)(x+x2x1十x1+1) C.(-∞，40]U[64,+∞) =(x儿：+受P+是+10. 2 D.[64,+o∞) 答案：C 3.函数y=x2一2x的单调递减区间是 ,单调 ∴.f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 递增区间是 .函数f(x)=x3十x在R上是增函数. 答案：(-∞，1][1，十∞) 课后。素养提升 对应学生课时P279 基础过关 C.(-∞，-4]U[2,+o∞) 》 D.(-∞，-4)U(2,+∞) 1.下列说法正确的是 ( 答案：C A.所有的函数在其定义域上都具有单调性 B.若函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递减，则函 4.√2x-7x十3的单调递减区间为 数y=f(x)的单调递减区间是[1,3] 7 A.-o∞ C.若函数f(x)为R上的减函数，则f(-3)>f(3) D.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则 c(保+) D.(3,+∞) 函数y=f(x)是塔函数 答案：B 答案：C 5.(多选)下列函数在（一∞，0）上为塔函数的是 2.若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定 ( 成立的是 A.y=|x|+1 B.y=l x A.f(a)>f(2a》 B.f(a2)<f(a) C.y=-ixl Dy=+高 C.f(a2+a)<f(a) 解析：CD[y=|x+1=-x+1(x<0)在(-o∞，0)上 D.f(a2+1)<f(a2) 为减函数：y=1工=-1(x<0)在(-∞，0)上既不 答案：D x 3.已知函数f(x)=x2十2k.x-5在[-2,4]上具有单 是增函数也不是减函数：y=一高=x(x<0)在 调性，则实数k的取值范围为 ( A.(-∞，-4] （-0,0)上是增函数y=x+7=x-1(x<0)在 B.[2,+o∞) (-∞，0)上也是增函数，故选C、D.] ·99· 数学·必修第一册 6.(多选)已知函数f(x)=一x2十2x十1的定义域为 (一2,3)，则函数f(|x)的单调递塔区间是() 3a士，若g(x)在区间[1,2]上单洞递减，则3a十1 x-2a A.(-∞，-1) B.(-3,-1) >0,且2a<1或2a>2,即-号<a<号>1. C.(0,1) D.(1,3) 解析：BC[因为函数f(x)=一x2十2x十1的定义 综上，实数a的取位范（，号）】 域为(-2,3)，对称轴为直线x=1,开口向下，所以 函数f(|x)满足-2<|x|<3. 答案（日） 所以-3<x<3. 9.若f(x)=(a-2)·x2+(a-1)x+3在[2，十∞) 又f(|x|)=-x2+2x|+1 上是增函数，则a的取值范围是 ,若在 =x+2x+1.0<x<3, [2,十∞)上是减函数，则a的范围是 {-x2-2x+1,-3<x<0, 解析：当a-2=0,即a=2时，f(x)=x十3在[2， 十∞]上是增函数； 且y=一x2一2x十1图象的对称轴为直线x=-一1， 所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(x) 当a-2>0,即a>2时，二次函数的图象开口向 的单调递增区间是(-3，一1)和(0,1).故选B、C.] 上，对称轴方程为x= a-1 2(a-2),要使函数f(x) 7.函数f(x)=|x2-3x十2|的单调递减区间是 在[2，十0)上是增西数，则0≤2，解得。 解析：当x≥2或x≤1时，f(x)=x2-3x十2，f(x) >2,综上a≥2. 图象的对称轴方程为子， 当a-2<0,即a<2时，二次函数的图象开口向 下，要使f(x)在[2，十∞)上是减函数，则 当1<x<2时，f(x)=-x2+3.x-2,f(x)图象的 a-1 9 对格轴方程为=受 2=2)2,a≤号，综上a5 答案：[2，十∞) 作出f(x)的图象如图所示， 由图可知，f(x)的单调递减区间为（一∞，1）， 10.证明：函数f(x)=x2- 上在区间(0，十0)上是塔 侵 函数。 证明：任取x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, v=f(x) 则f(x1)-fx2)=x-1-x+1 x? =(x1)x1+x2十x 0<x1<x1-x2<0,1十2十1>0， ∴.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)<f(x2), 8.若函数f(x)=-x2+4ax与g(x)=2一0+1在 函数f(x)=x2- 在区同(0，十∞)上是增 x-2a 区间[1,2]上都单调递减，则实数a的取值范围是 函数 11.已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，求满 解析：由题意，函数f(.x)=一x2十4a.x的图象对应 足不等式f(1-2a)-f(3-a)>0的实数a的取 的抛物线开口向下，对称轴为直线x=2a,故f(x) 值范围. 解：由题意，可得f(1-2a)>f(3-a). 在[2a,十o∞)上单调递减， ,f(x)在定义域[1,4]上单调递减， 若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则2a≤1，解得a 1≤1-2a≤4 ∴.1≤3-a≤4，解得-1≤a≤0， 画教g(x)=2二0+1=2u-2a)+3a+1=2十 1-2a<3-a x-2a x-2a .实数a的取值范围为[-1,0]. ·100· 第三章函数的概念与性质 能力提升 》 2若） f(x)-f(y),f(2)=1,解不等式 -ax-9,x1 12.已知函数f(x) 在(-∞， f(x)- ,x>1 解：(1)证明：设x1x2∈R,且x1<x2, 十o∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( 则x2-x1>0,即f(x2-x1)>1, A.[-5,0) B.(-∞，-2) 所以f(x2)-f(x1) C.(-∞，0) D.[-5,-2] =f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+ 解析：D[当x≤1时，f(x)=-x2-a.x-9, f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0, 函数y=一x2一a.x一9的图象开口向下，对称轴为 所以f(x1)<f(x2),所以f(x)是R上的增函数. 直线x=一 ，当x<-号时，y=--ar-9单 2)因为f(）=f)-fo. 调递增. 当x>1时，f(x)=a 所以f)+f(号)=f) 在上式中取x=4,y=2, 又因为函数f(x)在R上单调递增，当a<0时，函 则有f(2)+f(2)=f(4), 数y=4在(0，十∞)上单调递增。 因为f(2)=1,所以f(4)=2. x 于是不等我fx)-f()2等价于兀x 所以 解得-5≤a≤-2.] 3)]≤f(4)(x≠3).又由(1)，知f(x)是R上的增 a<0, 函数， -1-a-9≤a, 13.已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a十b)- 所以-3)4·解得-1≤<3或3<≤4， x-3≠0， f(a)十f(b)-1,且当x>0时，f(.x)>1. 所以原不等式的解集为[一1,3)U(3,4]. (1)求证：f(x)是R上的增函数； 第2课时 函数的最大值、最小值 课程标准 素养解读 1.理解函数的最大（最小）值及几何意义 在运用函数单调性充要条件过程中，提升数学运算 2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式 和逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P71 [情境引入] [知识梳理] 观察下列两个函数的图象，回答有关问题： 知识点一]函数的最大值与最小值 最大值 最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足：Hx∈I,都有 条件 f(.x)≤M f(.x)≥M 图① 图② (1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ 3x∈I,使得f(xo)=M 提示：图①中函数y=一x2的图象上有一个最 称M是函数y= 称M是函数y 高点；图②中函数y=一x的图象上没有最 结论 f(.x)的最大值 f(.x)的最小值 高点， 几何 f(x)图象上最高点 f(x)图象上最低点 (2)通过观察图①你能发现什么？ 意义 的纵坐标 的纵坐标 提示：对任意x∈R,都有f(.x)≤f(0). 101