3.2.2　第1课时　函数奇偶性的概念课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的概念、判断方法及应用，从函数性质基础导入，通过填一填、判一判等基础题搭建学习支架，衔接前后知识脉络，引导学生逐步理解奇偶性的本质。 其亮点在于以定义法和图象法为核心，结合分段函数判断、奇偶性求参数等典型例题，培养学生逻辑推理（数学思维）与几何直观（数学眼光），通过方法总结和当堂检测强化知识，助力学生掌握解题技能，也为教师提供系统教学资源。

　第三章　函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学习目标 1.了解函数奇偶性的概念. 2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法. 3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题． 基础知识 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 【说明】　(1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)先判断定义域是否关于原点对称，如果∀x∈D，都有－x∈D，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称． (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，此函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 判一判 (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　 　) (2)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　 　) (3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　 　) (4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　 　) √ √ × × 例题 类型一　函数奇偶性的判断 【例1】　判断下列函数的奇偶性： (4)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)， 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1＝f(x)， 故f(x)＝f(－x)，即f(x)为偶函数． 方法总结 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 [跟踪训练1]　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝－|x|；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|. 解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称． 又∵f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 类型二　奇、偶函数的图象及其应用 【例2】　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间． (2)y为何值时，有4个x与之对应？ (3)解关于x的不等式f(x)<－1. [解]　(1)因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如图所示． 由图可得函数f(x)的单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞). (2)由f(x)的图象可得，－1<y<0时，有4个x与之对应． (3)由图可知，f(x)≥－1恒成立， 即不存在x使得f(x)<－1， 所以f(x)<－1的解集为∅. 方法总结 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称； (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小及解不等式等问题． [跟踪训练2]　 设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示． (1)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间； (2)解不等式f(x)<0. 解　(1)图象如图所示． 由图象得f(x)的单调递增区间为[－1，1]. (2)由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}． 类型三　利用函数的奇偶性求值 角度1　求参数值 A 角度2　求函数值 【例4】　(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2＋x，则f(－1)＝(　 　) A．－2 B．1 C．－1 D．－3 (2)(2024·浙江金华期中)已知定义在R上的偶函数y＝f(x)＋x，满足f(1)＝3，则f(－1)＝(　 　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B [解析]　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2＋x，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2×12＋1)＝－3. (2)∵y＝f(x)＋x是定义在R上的偶函数，且f(1)＝3，∴f(－1)－1＝f(1)＋1，即f(－1)－1＝3＋1，∴f(－1)＝5. 方法总结 利用函数的奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数； (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. [跟踪训练3]　(1)(2024·陕西西安期中)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋2(m，n∈R)是定义在[2m，m＋3]上的偶函数，则m＋n＝ ． (2)已知函数f(x)＝ax3－＋1(a，b∈R且为常数)，且f(1)＝2，则f(－1)＝ ． (3)已知g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若h(x)＝f(x)＋11，则h(－1)＝ ． －1 0 8 解析　(1)因为函数f(x)＝mx2＋nx＋2(m，n∈R)是定义在[2m，m＋3]上的偶函数，所以2m＋m＋3＝0且f(x)＝f(－x)，即mx2＋nx＋2＝m(－x)2－nx＋2，所以m＝－1且n＝0，则m＋n＝－1. (2)令h(x)＝f(x)－1，易知h(x)在定义域上是奇函数，所以h(1)＋h(－1)＝0，即f(1)－1＋f(－1)－1＝0，所以f(1)＋f(－1)＝2，又f(1)＝2，所以f(－1)＝0. (3)g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，则g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋x2＝，令x＝1，代入可得f(－1)＋1＝－f(1)－1，而f(1)＝1，所以f(－1)＝－f(1)－2＝－3，则h(－1)＝f(－1)＋11＝－3＋11＝8. 课堂小结 1．知识清单 (1)函数奇偶性的概念及判断方法． (2)奇函数、偶函数的图象特征及其应用． (3)利用函数的奇偶性求值． 2．核心提示 (1)判断函数的奇偶性要首先判断其定义域是否关于原点对称． (2)方法归纳：定义法(如例1)，数形结合法(如例2)． 当堂检测 1．(2024·广东广州期中)下列函数是奇函数的是(　 　) A 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(－3)＝(　 　) A．－3 B．－2 C．0 D．3 解析　由题意，得f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3)＝－3. 3．已知函数f(x)＝(x－a)(x＋2)是偶函数，则a＝ ． 解析　因为f(x)＝(x－a)(x＋2)为偶函数，且f(x)＝x2＋(2－a)x－2a为二次函数，所以图象的对称轴x0＝＝0，解得a＝2. A 2 4．已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在[0，5]上的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为 ． 解析　根据图象可得f(x)在[0，5]上的单调递减区间为(2，4)，又函数f(x)为奇函数，所以由奇函数在对称的区间上单调性相同得f(x)在[－5，0]上的单调递减区间为(－4，－2)，故f(x)的单调递减区间为(2，4)，(－4，－2)． (2，4)，(－4，－2) Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 填一填 函数的奇偶性 奇偶性 概念 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 $