2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 课件第三章 3.2　3.2.2　第2课时　函数奇偶性的应用(习题课)

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，通过“小试身手”基础习题导入，涵盖已知奇偶性求解析式、比较大小等问题，衔接奇偶性定义，搭建从基础理解到综合应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于分层设计与方法导向，采用“探究点+即时训练+方法总结”结构，如探究利用奇偶性求函数值时构造奇函数转化问题，综合单调性解不等式时结合定义域与单调性列不等式组，培养数学思维与推理能力。教师可直接使用系统习题与总结，学生能掌握解题策略，提升应用能力。

第2课时　函数奇偶性的应用(习题课) 知识探究·素养启迪 小试身手 1.已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x(1-x),则x<0时,f(x)等于(　 　) A.-x(1+x) B.x(1+x) C.-x(1-x) D.x(1-x) B 解析:设x<0,则-x>0. 因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)(1+x)]=x(1+x).故选B. 2.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则( 　) A.f(3)<f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f(-4) D.f(4)<f(-π)<f(3) C 解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,0<3<π<4,所以f(3)<f(π)<f(4),即f(3)<f(-π)<f(-4).故选C. 3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=　　　　.  解析:在f(x)-g(x)=x3+x2+1中, 令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1, 又f(-1)=f(1), g(-1)=-g(1), 所以f(1)+g(1)=1. 1 4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,已知f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是　　　 　.  解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=0,所以f(x)<0⇔f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2. (-∞,-2)∪(2,+∞) 课堂探究·素养培育 利用奇偶性求函数值 [例1] 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-3)=10,则f(3)等于(　　) A.26 B.18 C.10 D.-26 解析:由f(x)=x5+ax3+bx-8, 得f(x)+8=x5+ax3+bx. 令G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+8, 因为G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-G(x), 所以G(x)是奇函数,所以G(-3)=-G(3),即f(-3)+8=-f(3)-8.又f(-3)=10, 所以f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26.故选D. D 即时训练1-1:定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x2-2x+a,则a= 　 　　,f(-3)=　　　　.  解析:由奇函数的性质可知,f(0)=a=0. 所以当x≥0时, f(x)=x2-2x, 所以f(-3)=-f(3)=-3. 0 -3 根据函数的奇偶性及函数在定义域一侧的解析式求值时,应结合奇偶函数性质将待求值转化为定义域已知的区间上求解或根据函数解析式特征变形求解. 利用奇偶性求函数f(x)的解析式 [例2] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+4,求f(x)的解析式. 即时训练2-1:(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)=　　　　.  解析:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)+1=x+1,因为f(x)为奇函数,所以 -f(x)=x+1,所以f(x)=-x-1. -x-1 (2)已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　　.  解析:(2)设x>0,则-x<0, 所以f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4. 因为f(x)为偶函数, 所以当x>0时,f(x)=-x-x4. -x-x4 已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下: (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上; (2)将已知区间上对应的解析式代入; (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式. 涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记x=0时,f(0)=0的特殊情况. 函数奇偶性与单调性的综合应用 A D 比较大小的方法: (1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小; (2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 探究角度2　综合应用函数单调性与奇偶性解不等式 [例4] (1)已知奇函数f(x)的定义域为(-3,3),且在[0,3)上单调递增,若实数a满足f(2a-1)+f(-1-a)≤0,则a的取值范围为(　　 ) A.(-2,2] B.(-1,2] C.(-4,2) D.(-1,2) D C 即时训练4-1:定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x∈[0,2]时,g(x)单调递减,若g(1-m)<g(m)成立,求m的取值范围. 利用函数奇偶性和单调性解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)> f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,列出不等式(组),同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响. 1.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(　 　) A.f(-1)>f(2)>f(-3) B.f(2)>f(-1)>f(-3) C.f(-3)>f(-1)>f(2) D.f(-1)>f(-3)>f(2) A 解析:由y=f(x)为偶函数, 则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3), 又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减, 所以f(1)>f(2)>f(3). 即f(-1)>f(2)>f(-3).故选A. 2.已知f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x3-2x2,则当x>0时,f(x)=　 .  解析:根据题意,设x>0,则-x<0, 则f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2, 又由f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x3+2x2. x3+2x2 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则不等式f(2x-1)>f(x+1)的解集为　　　　.  解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减, 所以不等式f(2x-1)>f(x+1)等价为 f(|2x-1|)>f(|x+1|), 即|2x-1|<|x+1|, 平方得4x2-4x+1<x2+2x+1, 即3x2-6x<0,即3x(x-2)<0,得0<x<2. (0,2) 感谢观看 解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0;当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2×(-x)+4=x2+2x+4,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+4)=-x2-2x-4. 所以f(x)= 探究角度1　利用函数的单调性与奇偶性比较大小 [例3] 若偶函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,则下列关系式中成立的是(　　) A.f(3)<f(-)<f(-2) B.f(-)<f(3)<f(-1) C.f(-1)<f(3)<f(-) D.f(-1)<f(-)<f(3) 解析:因为f(x)是偶函数, 所以f(3)=f(-3). 因为f(x)在(-∞,-1)上单调递增, 且-3<-<-2<-1, 所以f(-3)<f(-)<f(-2)<f(-1), 即f(3)<f(-)<f(-2)<f(-1).故选A. 即时训练3-1:已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,若f(-1)=f(2)=1,则下列不等式错误的是(　　) A.f(-)>-1 B.f(-1)>f(1) C.f(3)>1 D.f()>-1 解析:因为f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为f(-1)=f(2)=1,所以f(1)=-1,f(-2)=-1, 则f(-)>f(-2)成立,即f(-)>-1成立,故A正确, f(-1)>f(1)成立,故B正确, f(3)>f(2),即f(3)>1,成立,故C正确, f()>f(1)不成立,即f()>-1不成立,故D错误.故选D. 解析:(1)因为奇函数f(x)的定义域为(-3,3),且在[0,3)上单调递增, 所以f(x)在定义域内单调递增. 若实数a满足f(2a-1)+f(-1-a)≤0, 即f(2a-1)≤-f(-1-a)=f(a+1), 故有解得-1<a<2,所以a的取值范围为(-1,2).故选D. (2)已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则不等式f(x-1)>f(x)的解集为(　　) A.(2,+∞) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(,+∞) D.(-∞,-)∪(2,+∞) 解析: (2)因为f(x)为偶函数,所以f(x-1)>f(x),即f(|x-1|)>f(|x|),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<|x|,解得x>, 即不等式f(x-1)>f(x)的解集为(,+∞).故选C. 解:因为g(x)为[-2,2]上的偶函数,且x∈[0,2]时单调递减, 所以g(1-m)<g(m)⇔g(|1-m|)<g(|m|)⇔⇒ ⇒-1≤m<, 即m的取值范围为{m}. $