第35讲复数专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，通过分层题型构建"概念-运算-几何应用"逻辑链，强化运算能力与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|1-4、6题|复数乘除、相等条件应用|从代数形式到四则运算法则的直接应用| |概念辨析|2、3、7题|虚部、共轭复数、象限判定|概念内涵与符号表示的精准理解| |几何意义|5、12、13、16题|复平面点坐标、模的最值、轨迹|复数与平面向量、解析几何的转化| |方程与综合|8-11、14-15题|实系数方程虚根、周期性、多选型|运算推理与数学抽象的综合应用|

第35讲　复数 (时间:45分钟) 1.[2025·浙江强基联盟联考] 已知z=-1-i,则z(1-i)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-2 B.1 C. D.2 2.[2025·东北育才学校一模] 复数z=的虚部为 (　 ) A.1 B.-1 C.i D.-i 3.[2025·广东珠海模拟] 若复数z=(i为虚数单位),则z的共轭复数为 (　 ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 4.[2025·山西忻州模拟] 已知a∈R,b∈R,且(2+i)(1-ai)=2+bi,则a+b= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 5.[2024·河北保定三模] 已知复数z满足iz+4-15=0,则复数z在复平面内对应的点位于 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.[2024·天津河西区二模] 已知i是虚数单位,则复数=　　　　.  7.若复数z=(a+4)-(a+5)i在复平面内对应的点位于第三象限,则实数a的取值范围是　　　　.  8.已知复数z满足z+2=3+i,则= (　 ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 9.[2025·河南许昌模拟] 若x2+1可分解因式为(x-z1)(x-z2),且(z1-z2)i>0,则复数的虚部为 (　 ) A.1 B. C.-1 D.- 10.(多选题)已知i为虚数单位,复数z=,下列说法正确的是 (　 ) A.||= B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限 C.i-<0 D.z+为纯虚数 11.(多选题)[2024·浙江温州模拟] 已知z1,z2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的两个根,其中z1=1+i,则 (　 ) A.z1= B.= C.p=-2 D.q=2 12.复数z1与z2在复平面内对应的向量分别为与,O为原点,已知z1=+i,⊥,且||=||,则复数z2=　.  13.[2024·武汉模拟] 已知复数z满足|z-i|=,则||的最小值为　　　　.  14.[2025·昆明模拟] 若复数z=λ+isin θ(0<θ<π)在复平面内对应的点位于直线y=x上,则实数λ的最大值为　　　　.  15.若复数z=1-i+i2-i3+…+i2024-i2025+i2026,则|z|= (　 ) A.0 B. C.1 D.2 16.(多选题)[2024·安徽皖南八校联考] 复数z=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点为Z(x,y),则下列说法正确的是 (　 ) A.若|z+1|=|z-1|,则点Z的轨迹是圆 B.若|z+2|+|z-2|=8,则点Z的轨迹是椭圆 C.若|z+2i|-|z-2i|=2,则点Z的轨迹是双曲线 D.若|x+1|=|z-1|,则点Z的轨迹是抛物线 参考答案 第35讲　复数 1.A　[解析] z(1-i)=(-1-i)(1-i)=(-i)2-1=-2.故选A. 2.B　[解析] z===1-i,∴z的虚部为-1.故选B. 3.B　[解析] z== ==-3-i,所以z的共轭复数为-3+i.故选B. 4.C　[解析] 因为(2+i)(1-ai)=2+bi,所以2+a+(1-2a)i=2+bi,可得解得所以a+b=1.故选C. 5.A　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R).因为iz+4-15=0,所以i(a+bi)+4(a-bi)-15=4a-b-15+(a-4b)i=0,可得解得即z=4+i,所以复数z在复平面内对应的点为(4,1),位于第一象限.故选A. 6.-1+2i　[解析] = == ==-1+2i. 7.(-5,-4)　[解析] 由题意得解得-5<a<-4,∴实数a的取值范围是(-5,-4). 8.A　[解析] 设复数z=a+bi,a,b∈R,所以=a-bi,又因为复数z满足z+2=3+i,所以a+bi+2(a-bi)-3-i=0,可得解得所以z=1-i,所以===1+2i,故选A. 9.D　[解析] x2+1=x2-(-1)=x2-i2=(x+i)(x-i),若则z1-z2=2i,所以(z1-z2)i=2i2=-2<0,不符合题意;若则z1-z2=-2i,所以(z1-z2)i=-2i2=2>0,符合题意.所以z1=-i,z2=i,所以===--i,故复数的虚部为-.故选D. 10.ABC　[解析] z======-i,则=+i,故||=,故A正确;z在复平面内对应的点为,位于第四象限,故B正确;i-=i--i=-<0,故C正确;z+=+-i=-i,不为纯虚数,故D错误.故选ABC. 11.ACD　[解析] 因为z1,z2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的两个根且z1=1+i,所以z2=1-i,即z1=,故A正确;=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i,所以≠,故B错误;因为z1+z2=(1+i)+(1-i)=2=-p,所以p=-2,故C正确;z1z2=(1+i)(1-i)=12-i2=2=q,故D正确.故选ACD. 12.1-i或-1+i　[解析] 依题意,=(,1),设=(x,y),由⊥得·=x+y=0,由||=||得x2+y2=4,由解得或所以=(1,-)或=(-1,),所以z2=1-i或z2=-1+i. 13.-1　[解析] 设z=x+yi,x,y∈R,由|z-i|=两边平方整理得x2+(y-1)2=2,即x2+y2=2y+1,故||=|x-yi|==.作出复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程x2+(y-1)2=2表示的图形,如图.易得1-≤y≤1+,故||=≥=-1,即当且仅当y=1-时,||取到最小值-1. 14.-1　[解析] z=λ+isin θ(0<θ<π)在复平面内对应的点为,所以λ=sin θ,所以λ=sin θ,由θ∈(0,π),得sin θ>0,则λ==≤=-1,当且仅当=sin θ,即sin θ=,即θ=或θ=时等号成立,故λ的最大值为-1. 15.C　[解析] z=1-i+i2-i3+…+i2024-i2025+i2026====-i,所以|z|=1.故选C. 16.BD　[解析] 对于A,|z+1|=表示点(x,y)与(-1,0)之间的距离,|z-1|=表示点(x,y)与(1,0)之间的距离,记F1(-1,0),F2(1,0),|z+1|=|z-1|表示点Z(x,y)到F1,F2的距离相等,则点Z的轨迹是线段F1F2的中垂线,故A错误;对于B,记F1(-2,0),F2(2,0),由|z+2|+|z-2|=8,得|ZF1|+|ZF2|=8>4=|F1F2|,符合椭圆的定义,故点Z的轨迹是椭圆,故B正确;对于C,记F1(0,-2),F2(0,2),由|z+2i|-|z-2i|=2,得|ZF1|-|ZF2|=2<4=|F1F2|,所以点Z的轨迹为双曲线的一支,故C错误;对于D,若|x+1|=|z-1|,则(x+1)2=(x-1)2+y2,整理得y2=4x,所以点Z的轨迹是抛物线,故D正确.故选BD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $