单元集训卷18　平面向量与复数-2027年高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 高中数学一轮复习平面向量与复数单元集训卷，120分钟150分，覆盖向量共线、复数模等核心考点，基础题与综合题结合，适配一轮巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|平面向量共线判定（题4）、复数模计算（题2）|单选基础巩固，多选综合辨析（如向量投影与线性运算，题7）| |填空题|3题15分|向量投影向量（题12）、复数方程根（题13）|注重概念辨析与简单应用| |解答题|5题77分|向量夹角与最值（题15）、复数方程与几何意义（题18）|结合圆的几何背景（题18），综合考查运算与逻辑推理，适配高考命题趋势|

单元集训卷18　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 3．下列有四个结论，其中说法正确的结论是（    ） A．模为0的向量与任意向量平行 B．若，则 C．若，，则 D．不存在和，使得且 4．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．平面向量，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ）.    A． B． C． D． 7．在中，为中点，为上一点，且的延长线与的交点为，则（    ） A．若，则在上的投影向量为 B． C． D． 8．已知向量，则的最大值为（    ） A．26 B．24 C．20 D．18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D． 10．如图，在中，，，，，是线段的中点，连接并延长，交线段于点，则（    ）    A． B． C． D． 11．在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（ ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，为锐角三角形，则与共线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足在方向上的投影向量为，若，，则______． 13．已知复数，若是关于的方程的一个根，则______. 14．设点是三边的垂直平分线的交点，且，点满足，则的最小值是_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 17．已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 18．如图，的半径为1，是的直径上一点（异于，），过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设． (1)求线段的长（用表示）； (2)若为直线上一点，且的最小值为，求的值． 19．已知复数.为虚数单位. (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷18　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以复数z的共轭复数是 2．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解. 【详解】，． 所以． 故． 3．下列有四个结论，其中说法正确的结论是（    ） A．模为0的向量与任意向量平行 B．若，则 C．若，，则 D．不存在和，使得且 【答案】A 【详解】A：零向量方向任意，规定它与任何向量平行，故A正确； B：因相等向量包括向量的模相等，且方向相同，故B错误； C：当时，满足，，但与方向不能确定，故C错误； D：因零向量与任意向量既平行又垂直，故存在，即D错误. 4．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 5．平面向量，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量与的坐标，利用夹角公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以. 6．如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件等式及外接圆圆心性质可得直线是线段的垂直平分线，进而求解. 【详解】设，连接交于，设， 则，因为三点共线，所以，又， 所以，即，所以为中点，又是外接圆圆心，所以， 在中，，，所以.    7．在中，为中点，为上一点，且的延长线与的交点为，则（    ） A．若，则在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义可判断A的正误，根据向量的线性运算可判断B的正误，根据三点共线的向量形式结合B中判断可判断C的正误，根据向量的线性运算结合C的分析可判断D的正误. 【详解】对于A， 取的中点为，则， 故在上的投影向量为，而， 故在上的投影向量为，故A错误； 对于B，， 故，故B正确； 对于C，因为三点共线， 故存在实数，使得，而为共线向量， 故存在实数，使得即， 因为不共线，所以，故，故，故C错误； 对于D，由C的分析可得，故， 所以，所以，故D错误. 8．已知向量，则的最大值为（    ） A．26 B．24 C．20 D．18 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为向量，可得，且， 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 设，则，解得或， 所以当或时，的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D． 【答案】ACD 【分析】对复数进行化简计算，再结合复数的概念与运算，逐项判断即可. 【详解】， 对于A：的虚部为，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：的共轭复数为，故C正确； 对于D：，故D正确． 10．如图，在中，，，，，是线段的中点，连接并延长，交线段于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面向量的线性定理、向量的数量积公式、向量模的公式逐项计算即可. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为，，三点共线，所以，. 因为，，三点共线，所以，解得，所以，A正确. 因为，所以，B错误. 在中，由余弦定理可得，所以. 因为，则，C正确. 因为，，，所以， 所以，D错误. 故选：AC. 11．在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（ ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，为锐角三角形，则与共线 【答案】ACD 【分析】用向量的线性运算，数量积运算，再结合四心定义，可进行证明和求解． 【详解】 对于A，取的中点为，由重心可得， 由中线向量可得：，所以有， 又因为，所以，则，故A正确； 对于B，取的中点为，取的中点为，分别作中垂线，交于外心， 由 ，故B错误； 对于C，当为的内心，延长交于，根据角平分线定理有： ，利用等比性质有：， 所以有，又由角平分线定理得：， 则， 所以 又因为，所以， 即，故C正确； 对于D，由 ， 所以，又由为垂心得：， 所以，故D正确； 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足在方向上的投影向量为，若，，则______． 【答案】 【详解】因为. 又，所以，所以， 所以，所以. 13．已知复数，若是关于的方程的一个根，则______. 【答案】1 【分析】将代入方程化简计算，结合复数为0，则实部、虚部均为0即可求出的值. 【详解】因为是关于的方程的一个根，则， 又，代入得， 化简整理得，则，所以. 14．设点是三边的垂直平分线的交点，且，点满足，则的最小值是_____________________． 【答案】 【分析】利用外心的性质构造垂线化简目标式，利用基底分解向量，展开数量积，代入已知条件，化简消元，进而利用二次函数性质求最小值． 【详解】由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故， 因为， 所以， ，且， 故， 已知，可得， 则， 将代入目标式： ， 当时，为最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3). 【分析】（1）利用数量积的定义求解. （2）利用数量积的运算律求解. （3）利用向量的夹角公式及共线向量的意义求解. 【详解】（1）由与的夹角为，得. （2）由（1）得， . （3）由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线， 则，即，解得且， 所以实数的取值范围是. 16．已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解即可. （2）法一，设，根据题意得到，即，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可. 法二，设，则，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可. 【详解】（1），, 因为，所以． 即，解得． （2）（法一）设，P是直线上的一个动点，所以，即． 又，， 所以 ， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． （法二）设，则． 则， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． 17．已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数共轭相乘的运算规则，算出化简后为，结合已知等式列方程求解，再根据为正实数确定的取值. （2）先把代入求出，再通过分母实数化化简得到复根，将其直接代入一元二次方程，展开分离实部与虚部，利用复数相等条件列方程组，进而解出和的值. 【详解】（1）复数的共轭复数， 所以 由题设，故，解得. 因为是正实数，所以. （2）当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得 18．如图，的半径为1，是的直径上一点（异于，），过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设． (1)求线段的长（用表示）； (2)若为直线上一点，且的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题设，易得，可得，再结合即可求解； （2）建立平面直角坐标系，设，表示出，可以看作关于的二次函数，进而得到，可得，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，为直径，则，而，， 则， 又，则. （2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由（1）知，，而， 则，而，则，， 设，则，， 所以，可以看作关于的二次函数， 则当时，取得最小值，则， 即，则， 而，则，即或，则或. 19．已知复数.为虚数单位. (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据共轭复数的概念及复数的模列出方程求解； （2）利用复数的除法化简后，根据复数为实数列方程求解； （3）根据复数的乘法运算化简后，根据复数对应点所在的象限列出不等式组求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得. （2）因为为实数， 所以  ，解得； （3）， 因为在复平面上对应的点在第二象限， 所以，即，解得， 所以. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $