第五章 课时作业3 平面向量的数量积-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的运算规律与几何应用，通过题型分层与方法提炼构建“定义-运算-应用”逻辑链，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5单+2多+2填|模长平方转化、坐标法、投影公式|从数量积定义出发，通过模长公式、夹角公式构建代数运算体系| |几何应用|1单+1填+2解|菱形/梯形几何性质转化、网格坐标化|结合图形特征，将几何关系转化为向量数量积运算，体现几何直观|

课时3 平面向量的数量积 一、单选题 1．已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 2、已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 3．(2026·安徽黄山市期末统考)已知向量a，b满足|2a＋b|＝2，|a|＝1，|b|＝2，则向量a，b的夹角为(　 　) A． B． C． D． 4、已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(1，－)，|a－b|＝，则tan α＝(　　) A. B. C. D. 5．(2026·四川绵阳市诊断)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为2，则(a＋b)·c＋a·b＝(　 　) A．0 B．3 C．6 D．12 6．(2026·福建福州市、厦门市联考)在菱形ABCD中，若|－|＝||，且在上的投影向量为λ，则λ＝(　 　) A．－ B．－ C． D． 二、多选题 7、已知向量a＝(1，)，b＝(cosα，sinα)，则下列结论正确的有(　 　) A．若a∥b，则tanα＝ B．若a⊥b，则tanα＝－ C．若a与b的夹角为，则|a－b|＝3 D．若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是 8、(2026·广东中山市纪念中学月考)已知单位向量a和b满足a·b＝－，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则下列结论正确的有(　 　) A．|c|＝|d| B．a·b＝a·c C．d＝b D．c·d＝－ 9．(2026·广东深圳中学期中)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的有(　 　) A．a·b＝0 B．(a＋b)⊥(a－b) C．向量a，b在a＋b上的投影向量相等 D．|a＋b|＝|a－b| 三、填空题 10．在平行四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,4)，则·＝__ _． 11.已知向量满足，则__________． 12．(2026·湖南常德市模拟)在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，AD＝BC＝，点E是CD的中点，则·＝________. 四、解答题 13、已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝4，a·(b－a)＝2. (1)求向量a与b的夹角； (2)若|ta－b|＝2，求实数t的值. 14、已知向量a，b满足|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ的值； (2)求|a＋b|的值； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面积． 课时3 平面向量的数量积参考答案 1．A【解析】由，所以.故选A. 2、B【解析】由，且与的夹角为，所以 .故选B. 3．B【解析】由|2a＋b|＝2，得|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝12．又|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝1．设向量a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，所以a·b＝|a||b|·cosθ＝1×2cosθ＝1，可得cosθ＝，所以θ＝．故选B. 4、A【解析】a－b＝(cos α－1，sin α＋)，由|a－b|＝，得(cos α－1)2＋(sin α＋)2＝5， 则sin α－cos α＝0，tan α＝.故选A. 5．D【解析】以两向量公共点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(4,2)，b＝(4，－2)，c＝(0,2)，则(a＋b)·c＋a·b＝(8,0)·(0,2)＋(4,2)·(4，－2)＝12．故选D. 6．C【解析】由|－|＝||，得||＝||，又四边形ABCD是菱形，故△ABD是等边三角形，∠BAD＝，·＝||||cos＝||2，因此在上的投影向量为＝，所以λ＝．故选C. 7、ABD【解析】对于选项A，由a∥b，得sinα＝cosα，因此tanα＝，故A正确； 对于选项B，由a⊥b，得sinα＋cosα＝0，因此tanα＝－，故B正确； 对于选项C，若a与b的夹角为，又|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝2×1×＝1，因此|a－b|＝＝，故C错误； 对于选项D，若a与b方向相反，则a·b＝－2，b在a上的投影向量为a＝－a＝，故D正确．故选ABD. 8、 ABD【解析】因为a和b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－．因为向量b在向量a上的投影为|b|cos〈a，b〉＝－，所以向量b在向量a上的投影向量为c＝－a．又因为向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝－，所以向量a在向量b上的投影向量为d＝－b，故C错误. |d|＝＝，|c|＝＝，故A正确； a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－，a·c＝a·＝－，故B正确； c·d＝·＝a·b＝－，故D正确．故选ABD. 9． BC【解析】如图，作＝a，＝b，在□OACB中，＝a＋b，＝a－b，由向量a＋b平分a与b的夹角，得四边形OACB是菱形，即|a|＝|b|． 对于选项A，a与b不一定垂直，故A错误； 对于选项B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，故B正确； 对于选项C，a在a＋b上的投影向量为(a＋b)＝(a＋b)，b在a＋b上的投影向量为(a＋b)＝·(a＋b)＝(a＋b)，故C正确； 对于选项D，由A知，a·b不一定为0，则|a＋b|与|a－b|不一定相等，故D错误．故选BC. 10．4【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＝－.又＝(1,3)，＝(2,4)，所以＝(2,4)－(1，3)＝(1,1)，所以·＝1×1＋3×1＝4． 11、 【解析】根据向量模的平方可得 ，代入得 ；同理，将 和，代入 .因为，所以. 12．－2【解析】如图，分别过点C，D作CG⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点G，F. 由题意，得四边形ABCD为等腰梯形，AF＝BG＝1，所以DF＝＝1，所以∠DAF＝45°，·＝(＋)·(－)＝·(－)＝2－2－·＝()2－×32－×3×cos 45°＝－2. 13、【解】(1)设向量a与b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝4，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cos θ－a2＝4cos θ－2＝2，所以cos θ＝.因为0≤θ≤π，所以θ＝. (2)因为|ta－b|＝2，由(1)知a·b＝4，所以t2a2－2ta·b＋b2＝2t2－8t＋16＝8，即t2－4t＋4＝0，解得t＝2. 14、【解】(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以 θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝. (3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝||||·sin ∠ABC＝×4×3×＝3. . 学科网（北京）股份有限公司 $