第31讲　平面向量的概念及其线性运算专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量概念与线性运算，以题载法构建从概念辨析到几何应用的递进训练体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2（第2、11题）|考查向量共线、相等、模等定义理解|从基础概念出发，建立向量基本属性认知| |线性运算|3（第1、3、7题）|化简、模的最值计算|强化向量加减与数乘运算规则，培养运算能力| |共线应用|5（第5、6、8、14、16题）|三点共线判定、参数求解|运用共线定理实现代数表达与几何关系转化| |几何综合|7（第4、9、10、12、13、15、17题）|结合矩形、三角形等图形的向量分解与参数范围问题|通过几何直观构建向量与图形的关联，提升模型意识|

第31讲　平面向量的概念及其线性运算 (时间:45分钟) 1.化简2(a-3b)-3(a+b)的结果为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a+4b B.-a-9b C.2a+b D.a-3b 2.下列说法中正确的是 (　 ) A.若非零向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c B.若|a|=|b|,则a=b或a=-b C.两个具有公共终点的向量,一定是共线向量 D.向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上 3.(多选题)下列各式能化简为的是 (　 ) A.-+ B.+(+) C.(+)+(-) D.+- 4.如图,在矩形ABCD中,M是CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　 ) A. B.1 C. D.2 5.[2024·浙江9+1联盟模拟] 已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2,则 (　 ) A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 6.若向量a,b不共线,且(xa+b)∥(a+yb),则xy的值为　　　　.  7.已知单位向量e1,e2,…,e2025,则|e1+e2+…+e2025|的最大值是　　　　,最小值是　　　　.   8.已知a,b是两个不共线的向量,=a-2b,=2a+kb,=3a-b,若M,N,Q三点共线,则k= (　 ) A.-1 B.1 C. D.2 9.[2024·河北沧州三模] 对称美是数学美的重要组成部分,普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中,在数学史上,数学美是数学发展的动力.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 (　 ) A. B. C.1 D. 10.(多选题)△ABC的重心为点G,点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点,满足=++,则 (　 ) A.O,P,G三点共线 B.=2 C.2=++ D.点P在△ABC的内部 11.(多选题)[2024·河北邯郸一模] 设a,b是两个非零向量,且|a+b|<|a|+|b|,则下列结论中正确的有 (　 ) A.|a-b|≤|a|+|b| B.|a-b|<|a+b| C.a与b的夹角为钝角 D.若存在实数λ使得a=λb,则λ为负数 12.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),若=+μ,则μ的取值范围是　　　　.  13.已知点M在△ABC的内部,且满足2+3+4=0,则S△MAC∶S△MAB=　　　　.  14.已知向量a,b不共线,=2a-3b,=a+2b,=ka+12b. (1)若2-3+=0,求k的值; (2)若A,B,C三点共线,求k的值. 15.经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于P,Q两点,设=m,=n(m>0,n>0). (1)证明:+为定值; (2)求m+n的最小值. 16.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　 ) A.若=+,则点M是边BC的中点 B.若=2-,则点M在BC的延长线上 C.若=--,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC的面积的 17.[2024·太原模拟] 赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了 “勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”,构造如图所示的图形,它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,且DF=AF,点P在AB上,BP=2AP,点Q为△DEF 内 (含边界)一点,若=λ+,则λ的最大值为　　　　.  参考答案 第31讲　平面向量的概念及其线性运算 1.B　[解析] 2(a-3b)-3(a+b)=2a-6b-3a-3b=-a-9b. 2.A　[解析] ∵非零向量a,b,c满足a∥b,b∥c,∴a,c方向相同或相反,即a∥c,故A正确;当a=(2,1),b=(1,2)时,满足|a|=|b|,但a=b,a=-b均不成立,故B错误;两向量共线要看其方向而不是起点与终点,故C错误;共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,故D错误.故选A. 3.ABC　[解析] 对于A,-+=+=,符合题意;对于B,+(+)=(+)+=+=,符合题意;对于C,(+)+(-)=(+)+(-)=0+=,符合题意;对于D,+-=-≠,不符合题意.故选ABC. 4.C　[解析] 因为在矩形ABCD中,M是CD的中点,所以=+=++=+,因为=λ+μ,所以λ=1,μ=,所以λ+μ=,故选C. 5.C　[解析] 对于A,=e1+2e2,=-3e1+2e2,若A,B,C三点共线,则=λ,故无解,所以A,B,C三点不共线,故A错误;对于B,若A,B,D三点共线,则=μ,故无解,所以A,B,D三点不共线,故B错误;对于C,=+=(e1+2e2)+(-3e1+2e2)=-2e1+4e2=,因为AC,AD有公共点A,所以A,C,D三点共线,故C正确;对于D,=+=(3e1-6e2)+(e1+2e2)=4e1-4e2,=-3e1+2e2,若B,C,D三点共线,则=k,故无解,所以B,C,D三点不共线,故D错误.故选C. 6.1　[解析] 因为a,b不共线,所以{a,b}可以作为基底.因为(xa+b)∥(a+yb),所以存在λ∈R,使得xa+b=λ(a+yb),所以xa+b=λa+λyb,所以消去λ,得xy=1. 7.2025　0　[解析] 当单位向量e1,e2,…,e2025方向相同时,|e1+e2+…+e2025|取得最大值,此时|e1+e2+…+e2025|=|e1|+|e2|+…+|e2025|=2025;当单位向量e1,e2,…,e2025首尾相连时,e1+e2+…+e2025=0,所以|e1+e2+…+e2025|的最小值为0. 8.B　[解析] 由题意知,=-=a-(k+1)b,因为M,N,Q三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即a-2b=λ[a-(k+1)b],整理得(1-λ)a=[2-λ(k+1)]b,因为向量a,b不共线,所以解得故选B. 9.B　[解析] 如图所示,过点M作MP∥BC,分别交直线AB,AC于点P,Q,连接AM,则可设=x+y,且x+y=1.设=k,=k,则=-=(kx-1)+ky,因为=λ+μ,所以λ+μ=kx-1+ky=k-1.由图可知,当PM(即EF)与以BC为直径的半圆相切时,k最大.由AB=2,BE==,可得AE=2+=,所以=,即k的最大值为,所以λ+μ的最大值为.故选B. 10.AC　[解析] =++=+++++=3+++,因为点G为△ABC的重心,所以++=0,所以=3,所以O,P,G三点共线,故A正确,B错误;++=+++++=(++)+3,因为=++,所以(++)+3=-+3=2,即2=++,故C正确;因为=3,所以点P的位置随着点O位置的变化而变化,故点P不一定在△ABC的内部,故D错误.故选AC. 11.AD　[解析] 因为|a+b|<|a|+|b|,所以a,b不同向共线.对于A,当a,b不共线时,根据向量减法的三角形法则知|a-b|<|a|+|b|,当a,b反向共线时,|a-b|=|a|+|b|,则|a-b|≤|a|+|b|,故A正确;对于B,若a⊥b,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,且|a+b|和|a-b|是这个矩形的两条对角线长,则|a+b|=|a-b|,故B错误;对于C,若a与b的夹角θ∈,则根据向量加法的平行四边形法则知|a+b|<|a|+|b|,故C错误;对于D,若存在实数λ,使得a=λb,则a,b共线,又|a+b|<|a|+|b|,所以a,b反向共线,则λ为负数,故D正确.故选AD. 12.　[解析] 由题意可得AB∥CD,AD=1,CD=,∴=2.∵点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),∴=λ(0<λ<1).∵=+,且=+μ=+2μ=+,∴=1,即μ=.∵0<λ<1,∴0<μ<. 13.3∶4　[解析] 根据题意,延长MA至点D,延长MB至点E,延长MC至点F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示.由2+3+4=0,得++=0.连接DE,DF,EF,则点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD.设S△MDE=1,则S△MAB=××1=,S△MAC=××1=,所以S△MAC∶S△MAB=∶=3∶4. 14.解:(1)∵2-3+=0, ∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,易知a≠0, ∴k+1=0,∴k=-1. (2)∵A,B,C三点共线,∴=λ(λ∈R),即-=λ(-), ∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴解得k=-1. 15.解:(1)证明:设=a,=b,由题意知=×(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b.因为P,G,Q三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,所以消去λ可得+=3. (2)由(1)知+=3,所以m+n=(m+n)=≥×(2+2)=,当且仅当m=n=时取等号,所以m+n的最小值为. 16.ACD　[解析] 对于A,由=+,得-=-,即=,则M是边BC的中点,所以A正确;对于B,由=2-,得-=-,所以=,则点M在CB的延长线上,所以B错误;对于C,如图,设BC的中点为D,则=--=+=2,由重心的性质可知C正确;对于D,由=x+y,且x+y=,得2=2x+2y,且2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,且2x+2y=1,可知B,C,E三点共线,所以△MBC的面积是△ABC的面积的,所以D正确.故选ACD. 17.　[解析] 由=λ+得-=λ,即=λ.取DE的中点H,连接AH,如图,因为BD=DE,所以BD=2HD,又BP=2AP,所以==,故DP∥AH,且=,所以λ的最大值为,此时点Q与点H重合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $