第31练 平面向量的概念及其线性运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层梯度合理，从概念辨析到综合应用渐进，强化平面向量线性运算的理解与迁移，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|向量概念、线性运算、共线判定|选择/填空题（1-8题），如向量模与共线性质辨析，夯实运算能力| |能力提升|几何应用、模的范围、三点共线|解答/填空题（9-14题），如平行四边形中向量表示，提升空间观念| |综合应用|重心性质、面积比、最值问题|解答/多选题（15-17题），如三角形重心与不等式结合，培养模型观念|

第31练　平面向量的概念及其线性运算 1.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.相等向量 B.平行向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量 2.下列说法中正确的是 (　 ) A.若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线 B.若|a|>|b|,则a>b C.两个具有公共终点的向量,一定是共线向量 D.若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在同一条直线上 3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b+c可表示为 (　 ) A.2e1-3e2 B.3e1-2e2 C.2e1+3e2 D.3e1+2e2 4.[2025·海南三亚一模] 已知四边形ABCD为平行四边形,E为CD的中点,记=a,=b,则= (　 ) A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b 5.[2025·湖南邵阳三模] 设D为△ABC所在平面内一点,=-+.若=λ(λ∈R),则λ的值为 (　 ) A.4 B.5 C.-4 D.-5 6.(多选题)下列各式能化简为的是 (　 ) A.-+ B.+(+) C.(+)+(-) D.+- 7.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,则|a+b|的取值范围为　　　　.  8.若向量a,b不共线,且(xa+b)∥(a+yb),则xy的值为　　　　.  9.已知向量a,b不共线,=2a-3b,=a+2b,=ka+12b. (1)若2-3+=0,求k的值; (2)若A,B,C三点共线,求k的值. 10.已知向量a,b不共线,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 (　 ) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 11.[2025·辽宁部分重点中学协作体二模] 已知向量m,a满足|m|=1,|a-2m|=|m|,则|a|的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.(多选题)已知等边三角形ABC的边长为2,=λ,=λ(0<λ<1),AD交BE于点M,则下列说法正确的是 (　 ) A.若λ=,则=+ B.若++=0,则λ= C.若λ=,则·=- D.若λ=,则M为AD的中点 13.在直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),若=+μ,则μ的取值范围是　　　　.  14.已知点M在△ABC的内部,且满足2+3+4=0,则S△MAC∶S△MAB=　　　　.  15.经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于P,Q两点,设=m,=n(m>0,n>0). (1)证明:+为定值; (2)求m+n的最小值. 16.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　 ) A.若=+,则点M是边BC的中点 B.若=2-,则点M在BC的延长线上 C.若=--,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC的面积的 17.已知△ABC中,CB=3,CA=2,C=,=2λ+3(1-λ)(λ∈R),则||的最小值为　　　　.  第31练　平面向量的概念及其线性运算 1.D　[解析] 如图所示,易知向量,,,是模相等的向量.故选D. 2.A　[解析] 因为与都是单位向量,所以当与是相反向量,即a与b反向共线时,+=0成立,故A正确;向量不能比较大小,故B错误;两个具有公共终点的向量不一定是共线向量,故C错误;共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在同一条直线上,故D错误.故选A. 3.D　[解析] 由题意得a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2,所以a+b+c=e1+2e2+e1-2e2+e1+2e2=3e1+2e2.故选D. 4.C　[解析] 因为E为CD的中点,所以=,所以=+=+=-=-a+b.故选C. 5.D　[解析] =-+=-++,所以-=-(-),即=-,所以=-5,即λ=-5.故选D. 6.ABC　[解析] 对于A,-+=+=,A符合题意;对于B,+(+)=(+)+=+=,B符合题意;对于C,(+)+(-)=(+)+(-)=0+=,C符合题意;对于D,+-=-≠,D不符合题意.故选ABC. 7.[2,6]　[解析] 当a和b方向相同时,|a+b|取得最大值,此时|a+b|=|a|+|b|=2+4=6;当a和b方向相反时,|a+b|取得最小值,此时|a+b|=||a|-|b||=|2-4|=|-2|=2. 故|a+b|的取值范围是[2,6]. 8.1　[解析] 因为a,b不共线,且(xa+b)∥(a+yb),所以存在λ∈R,使得xa+b=λ(a+yb),所以xa+b=λa+λyb,所以消去λ,得xy=1. 9.解:(1)∵2-3+=0, ∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,易知a≠0, ∴k+1=0,∴k=-1. (2)∵A,B,C三点共线,∴=λ(λ∈R),即-=λ(-), ∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴解得k=-1. 10.A　[解析] 由题得=-a+13b,=a+5b,=a+5b,所以=,又与有公共点B,所以A,B,D三点共线,故A正确;=a+5b,=-2a+8b,不存在λ,使=λ,所以与不共线,即A,B,C三点不共线,故B错误;=-2a+8b,=3(a-b),不存在λ,使=λ,所以与不共线,即B,C,D三点不共线,故C错误;=-a+13b,=3(a-b),不存在λ,使=λ,所以与不共线,即A,C,D三点不共线,故D错误.故选A. 11.A　[解析] 由题意可得|a-2m|=|m|=1,因为a=(a-2m)+2m,所以|a|=|(a-2m)+2m|≥||a-2m|-|2m||=1,当且仅当a-2m与2m反向时,等号成立,所以|a|的最小值为1.故选A. 12.AB　[解析] 对于A,当λ=时,=+=+(-)=+,故A正确;对于B,由++=0,知此时M为△ABC的重心,所以D,E分别是BC和AC的中点,所以λ=,故B正确;对于C,当λ=时,=+=+(-)=+,=-=-,则·=-·-=-,故C错误;对于D,当λ=时,设=k=k=k=2k+,由B,M,E三点共线,得2k+=1,解得k=≠,故D错误.故选AB. 13.　[解析] 由题意可得AB∥CD,AD=1,CD=,∴=2.∵点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),∴=λ(0<λ<1).∵=+,且=+μ=+2μ=+,∴=1,即μ=.∵0<λ<1,∴0<μ<. 14.3∶4　[解析] 根据题意,延长MA至点D,延长MB至点E,延长MC至点F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示.由2+3+4=0,得++=0.连接DE,DF,EF,则点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD.设S△MDE=1,则S△MAB=××1=,S△MAC=××1=,所以S△MAC∶S△MAB=∶=3∶4. 15.解:(1)证明:连接OG,设=a,=b, 由题意知=×(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b.因为P,G,Q三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,所以消去λ可得+=3. (2)由(1)知+=3,所以m+n=(m+n)=≥×(2+2)=,当且仅当m=n=时取等号,所以m+n的最小值为. 16.ACD　[解析] 对于A,由=+,得-=-,所以=,则M是边BC的中点,所以A正确;对于B,由=2-,得-=-,所以=,则点M在CB的延长线上,所以B错误;对于C,如图,设BC的中点为D,则=--=+=2,由重心的性质可知C正确;对于D,由=x+y,且x+y=,得2=2x+2y,且2x+2y=1,设=2,则=2x+2y,且2x+2y=1,可知B,C,E三点共线,所以△MBC的面积是△ABC的面积的,所以D正确.故选ACD. 17.3　[解析] 令=2,=3,则||=||=6,连接MN,因为C=,所以△CMN为等边三角形.由题得=λ+(1-λ),所以M,N,Q三点共线,易知当CQ垂直于MN时,||最小,则||的最小值为=3. 学科网（北京）股份有限公司 $