5.1 平面向量的概念及其线性运算 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 以向量共线与线性运算为核心，通过分层题型系统提炼参数法、基本定理应用等解题方法，构建从概念辨析到综合应用的逻辑链条，培养逻辑推理与符号运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2题|向量共线参数判定、充分必要条件分析|从向量基本概念（方向、模）到关系判断，形成概念→性质→应用的认知链| |线性运算应用|单选3-4题+多选5-7题|平面向量基本定理分解、面积比转化|以线性运算为基础，结合几何图形实现向量表示与数量关系的转化| |综合问题|填空8-10题+解答11-12题|重心性质应用、三点共线模型构建|融合参数思想与不等式工具，解决多知识点交汇的复杂问题，体现数学模型意识|

5．1　平面向量的概念及其线性运算 一、 单选题 1 [2025十堰六县市(区)一中教联体期中]已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与a－b方向相同，则实数t的值为(　　) A. －2 B. －1 C. D. 1 2 已知四边形ABCD是平面四边形，设p：＝2，q：四边形ABCD是梯形，则p是q的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3 在平行四边形ABCD中，＝，＝.若＝m＋n，则m＋n的值为(　　) A. B. C. D. 4 在△ABC中，D为线段AC上的一个三等分点，且AD＝2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若＝a＋b(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 [2025东莞月考]关于非零向量a，b，下列命题中正确的是(　　) A. 若|a|＝|b|，则a＝b B. 若a＝－b，则a∥b C. 若a∥b，b∥c，则a∥c D. 若a＝b，b＝c，则a＝c 6 [2025湘豫名校联考]已知在△ABC中，D是边AC的中点，M是△ABC所在平面内一点且满足＋＋4＝0，则下列结论中正确的有(　　) A. M是中线BD的中点 B. M在中线BD上，但不是BD的中点 C. △CDM与△ABM的面积之比为1∶1 D. △CDM与△ABD的面积之比为1∶2 7 [2025扬州邗江月考]如图，在△ABC中，＝，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，＝，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝＋ B. ||＝|| C. ＋2＋＝0 D. S△BFD∶S△AFB＝1∶3 三、 填空题 8 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________. 9 [2025南京中华中学期中]如图，已知G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设＝x，＝y，则x＋4y的最小值为________． 10 [2025盐城五校联盟月考]赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成).类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．设＝λ＋μ，若＝4，则的值为________． 四、 解答题 11 已知e1，e2是两个不共线的非零向量，且a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值． 12 [2025南京二十九中月考节选]如图，G为△OAB的中线OM的中点，过点G的直线分别交OA，OB两边于点P，Q，记＝a，＝b，＝x，＝y. (1) 试用向量a，b表示； (2) 判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 5．1　平面向量的概念及其线性运算 1. B　解析：由题意，得存在实数λ，使得b－ta＝λ[a－b]，即a＝(λ＋tλ＋1)b.因为a，b不共线，所以λ＋t＝λ＋tλ＋1＝0，可得t＝或t＝－1.当t＝时，b－a，a－b方向相反，与题意不符；当t＝－1时，b＋a，b＋a方向相同，符合题意．故实数t的值为－1. 2. A　解析：在四边形ABCD中，若＝2，则AB∥DC，且AB＝2DC，则四边形ABCD为梯形，所以充分性成立；当AD，BC为梯形ABCD的上底和下底时，＝2不成立，所以必要性不成立．故p是q的充分且不必要条件． 3. D　解析：由题意，得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋，所以m＝，n＝，所以m＋n＝. 4. C　解析：因为点E在线段BD上，所以＝λ＋(1－λ)，λ∈[0，1].因为D为线段AC上的一个三等分点，且AD＝2DC，所以＝，所以＝λ＋(1－λ)＝a＋b.由平面向量基本定理，得a＝λ，b＝1－λ，所以a2＋b2＝λ2＋(1－λ)2＝λ2－2λ＋1＝＋，所以当λ＝时，a2＋b2取得最小值. 5. BCD　解析：对于A，由|a|＝|b|，只能得到a与b的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误；对于B，若a＝－b，则a与b是相反向量，所以a∥b，故B正确；对于C，若a∥b，b∥c，且b≠0，则a∥c，故C正确；对于D，若a＝b，b＝c，则a＝b＝c，即a＝c，故D正确．故选BCD. 6. ACD　解析：因为AC的中点为D，所以＋＝2.又＋＝4，所以2＝4，所以＝2，即M为BD的中点，故A正确，B错误；如图，因为D是AC的中点，M是BD的中点，所以S△ABM＝SADM＝S△CDM＝S△CBM，故C，D正确．故选ACD. 7. ACD　解析：对于A，由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确；对于B，设＝λ，则＝－＝λ－，＝＝λ－，＝＋＝＋λ.因为A，F，D三点共线，所以可设＝m，即＋λ＝m，所以＝m，且λ＝m，所以λ＝，m＝，即＝，故B错误；对于D，由m＝，得＝，所以S△BFD∶S△AFB＝FD∶AF＝1∶3，故D正确；对于C，＝＝(＋)＝＋，＝λ－＝－，＝＋＝－＋＋＝－，所以＋2＋＝＋＋2(－)＋－＝0，故C正确．故选ACD. 8. 　解析：因为＝＋，所以＝－＝－＋＝(－)＝，所以＝. 9. 3　解析：因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＋.又G，M，N三点共线，所以＋＝1，则x＋4y＝(x＋4y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，故x＋4y的最小值为3. 10. 4　解析：利用对称性，由＝λ＋μ，得＝λ＋μ，所以－＝－λ＋μ(－)，即＝(1－λ－μ)＋μ.又＝4＝4(1－λ－μ)＋4μ，所以可得＝4. 11. 因为a与b是共线向量， 所以存在实数λ使得a＝λb， 即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2， 所以解得 故实数k的值为－2. 12. (1) 因为G为OM的中点，M为AB的中点， 所以＝＝＝＋＝a＋b. (2) 因为P，G，Q三点共线，所以＝(1－λ)＋λ. 又＝x，＝y， 所以＝(1－λ)x＋λy. 由(1)知＝＋. 又，不共线， 所以解得 所以＝＋＝4，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $