第24讲　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦和差倍角公式的系统性应用，通过分层题型构建"公式理解-变形应用-综合迁移"的解题逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式直接应用|3题（1-3）|二倍角余弦公式、诱导公式转化|从基础公式到特殊角求值，构建公式记忆与直接应用能力| |角变换与范围判断|3题（4-5,11）|角拆分（α=β±γ）、象限符号分析|结合角的范围深化公式适用条件，培养推理意识| |公式变形与综合|6题（6-10,12-13）|辅助角公式、平方消元法、tan(A±B)整体代换|通过公式逆用与变形，建立知识间的关联迁移| |证明与拓展|4题（14-16）|向量法证公式、积化和差推导、解三角形应用|从公式推导到跨情境应用，提升应用意识与创新思维|

第24讲　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 (时间:45分钟) 1.1-2sin2750°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.- B.- C. D. 2.sin 50°sin 160°-sin 40°cos 160°= (　 ) A. B. C.- D.- 3.[2024·浙江湖州质检] 设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于 (　 ) A. B. C.- D.- 4.已知α∈,cos=-,则sin α= (　 ) A. B. C. D. 5.[2024·安徽池州二模] 已知sin β+cos β=,β∈(0,π),则tan= (　 ) A.7 B. -7 C. D. - 6.[2025·浙南名校联盟联考] 已知sin α-·cos α=,则cos=　　　　.  7.[2024·安徽合肥模拟] 已知θ∈,tan=-tan θ,则tan 2θ=　　　　.  8.已知2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,则cos(α-β)= (　 ) A.- B. - C. D. 9.若tan(α+β)=7,=21,则tan 2α= (　 ) A.- B.-2 C. D. 10.(多选题)[2024·江苏高邮调研] 下列化简正确的是 (　 ) A.sin 20°cos 10°+cos 160°sin 10°= B.(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2 C.= D.sin 10°cos 20°sin 30°cos 40°= 11.(多选题)[2024·江西鹰潭一模] 如图所示,已知角α,β的始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆的交点分别为A,B,M为线段AB的中点,射线OM与单位圆交于点C,则 (　 ) A.∠AOB=β-α B.|OM|=cos C.点C的坐标为 D.点M的坐标为 12.[2024·江苏金陵中学、海安中学、南京外国语学校三模] 已知θ∈,sin θ-cos θ=,则=　　　　.  13.[2025·广西南宁模拟] 已知=2,sin(α-β)=-,则sin(α+β)=　　　　.  14.[2025·江苏常州调研] 已知α,β都是锐角,且sin α=,tan(α-β)=-. (1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值. 15.如图,已知点A(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)). (1)证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (2)利用(1)中的结果证明cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算cos 37.5°cos 37.5°的值. 16.在△ABC中,tan=3tan,则+的最小值为 (　 ) A.4 B.2 C.4 D.16 参考答案 第24讲　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 1.D　[解析] 1-2sin2750°=cos 1500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=,故选D. 2.A　[解析] 原式=cos 40°sin 160°-sin 40°cos 160°=sin(160°-40°)=sin 120°=sin 60°=,故选A. 3.D　[解析] ∵5π<θ<6π,∴∈,∈,故sin<0,又cos=a,∴sin=-=-.故选D. 4.A　[解析] 因为α∈,所以α+∈,所以sin==,所以sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故选A. 5.D　[解析] 因为sin β+cos β=,β∈(0,π),所以sin2β+cos2β+2sin βcos β=,故2sin βcos β=-<0,又β∈(0,π),所以β∈,所以sin β>0,cos β<0.又(sin β-cos β)2=1-2sin βcos β=,所以sin β-cos β=,所以sin β=,cos β=-,故tan β=-,故tan==-,故选D. 6.-　[解析] 由sin α-cos α=,得sin=,所以cos=sin=sin=-. 7.-　[解析] 由tan=-tan θ,且θ∈,得=-tan θ,整理得2tan2θ-5tan θ-3=0,解得tan θ=3(负值舍去),所以tan 2θ===-. 8.C　[解析] 由2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,两边平方后相加得4sin2α+4cos2α+cos2β+sin2β-4sin αsin β-4cos αcos β=4,即5-4sin αsin β-4cos αcos β=4, 得sin αsin β+cos αcos β=,即cos(α-β)=,故选C. 9.A　[解析] 因为tan(α+β)=7,所以tan(α+β)tan(α-β)=7tan(α-β),又tan(α+β)tan(α-β)=·==21,所以21=7tan(α-β),即tan(α-β)=3,故tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-.故选A. 10.BC　[解析] 对于A,sin 20°cos 10°+cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°-cos 20°sin 10° =sin 10°≠,故A错误;对于B,(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27° +tan 18°tan 27°=1+tan(18°+27°)(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2,故B正确;对于C,===cos 60°=,故C正确;对于D, sin 10°cos 20°sin 30°cos 40°=cos 20°cos 40°cos 80°=···=,故D错误.故选BC. 11.ABC　[解析] 对于A,因为∠AOx=α,∠BOx=β,0<α<β<,所以∠AOB=β-α,故A正确;对于B,由M为线段AB的中点,得OM⊥AB,则∠AOM=,又|OA|=1,所以|OM|= |OA|cos∠AOM=cos,故B正确;对于C,易得C为的中点,所以∠COx=α+=,又|OC|=1,所以点C的坐标为,故C正确;对于D,xM=(xA+xB)=(cos α+ cos β)===×2coscos=coscos=coscos,yM=(yA+yB)=(sin α +sin β)===×2sincos=sincos=sincos,所以点M的坐标为,故D错误.故选ABC. 12.9+4　[解析] 将sin θ-cos θ=两边平方,得1-2sin θcos θ=,即sin 2θ=-,因为θ∈,所以2θ∈,所以cos 2θ=,故==9+4. 13.-　[解析] 由=2可得tan α=2tan β,所以=,则sin αcos β=2sin βcos α,因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=cos αsin β=-,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= 2cos αsin β+cos αsin β=3cos αsin β=-. 14.解:(1)因为α,β∈,所以-<α-β<,又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0, 则sin(α-β)<0,由sin2(α-β)+cos2(α-β)=1及=-,可得sin(α-β)=-. (2)由(1)可得,cos(α-β)>0, 所以cos(α-β)===.因为α为锐角,sin α=, 所以cos α===,所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+ sin αsin(α-β)=×+×=. 15.解:(1)证明:连接PA,P1P2,易知|PA|=|P1P2|,∴[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cos α- cos β)2+(sin α+sin β)2,即2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β,∴cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β. (2)由(1)知,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, ∴cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)], 故cos 37.5°cos 37.5°=[cos(37.5°+37.5°)+cos(37.5°-37.5°)]=(cos 75°+1) =(cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°)+=+. 16.C　[解析] tan=3tan,设m=tan,则tan=3m,显然tan>0,tan>0,即m>0,所以+=+=+=+=+=10m+≥2×=4,当且仅当10m=,即m=tan=时等号成立,故+的最小值为4.故选C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $