4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（全国通用）【4大考点】-2027年高考数学一轮复习专题训练

**基本信息** 聚焦两角和差与倍角公式，以四大考点为脉络，构建从直接应用到综合化简的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01|8题|直接代入公式计算，涉及角的象限与三角函数值|公式基础应用，建立公式与已知条件的直接联系| |考点02|8题|公式逆用与变形，如凑角、特殊角组合|从正向应用到逆向思维，培养公式灵活运用能力| |考点03|8题|倍角公式（正、余、切）的直接与变形应用|公式拓展延伸，构建和差公式与倍角公式的推导关系| |考点04|8题|多公式综合化简求值，结合角的范围与多条件|知识整合应用，形成“公式选择-条件分析-结果验证”的完整推理链条|

4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 4大考点汇总 考点01 两角和、差公式直接应用 考点02 两角和、差公式的逆用 考点03 倍角公式 考点04 利用和、差、倍角公式化简、求值 题型专练 考点01 两角和、差公式直接应用 1．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C．3 D．-3 6．若，则__________. 7．已知为第二象限角，，则__________. 8．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 考点02 两角和、差公式的逆用 9．（   ） A． B． C． D． 10．（    ） A． B． C． D． 11． （ ） A． B． C． D． 12．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 13．的值为______． 14．______； 15．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 16．_____. 考点03 倍角公式 17．已知，则 ______. 18．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 19．已知为钝角，且，则（     ） A． B． C． D． 20．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 21．若，且，则______． 22．已知，则（   ） A． B． C． D． 23．，则__________. 24．已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点04 利用和、差、倍角公式化简、求值 25．已知角，，且，，则_____． 26．在中，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 27．（多选）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 28．（多选）下列代数式的值为的是（ ） A． B． C．     D． 29．已知，若，，则_____． 30．若，，，则_______. 31．若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 32．已知，，，，，． (1)求的值； (2)求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 4大考点汇总 考点01两角和、差公式直接应用 考点02两角和、差公式的逆用 考点03倍角公式 考点04利用和、差、倍角公式化简、求值 题型专练 考点01两角和、 差公式直接应用 1.已知a是第二象限角，cos A.V21 B.分 c.-327 D. 14 7 14 7 【答案】A 【分析】利用诱导公式得出sina的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为a是第二象限角，且cos -a =sina=v21 π 7 所以cosa=-V1-sin2a 27 7 =cosa cos+sina sin211 21 6 67 272 14 2.已知sina= 5’c0sa= 则coa-}() 4 A4V5-3 B.4V5+3 C.4-3V5 D.4+3V5 10 10 10 10 【答案】C 10 3.若cosa= 且ae引，则sma+等于( 3 4 A.反 B.72 c._72 D.-② 10 10 10 10 【答案】B 1/12 【分析】根据同角三角函数的关系，可得sia的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案 【翻】由a-}a0引得a=i-oa-号 4 所以sina+ 4 -sina cos+cosa sinx 4525210 4.己知cos(a+B)= 3cosB=5a,B均为锐角，则sina=() 4 A.3 33 B. C. 53 D. 65 65 65 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】a引 cos(a+B)= 4 ,cosβ= 5 而aB0小snla+l=owa+-号n月=-ewsF- sina sin((a+B)-B)=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sin B 1245333 13513565 故选：B π 5.已知aa+42,则ana=（） A 1 B.3 C.3 D.3 【答案】A 【详解】由tana+ tand+tan =2,得 4=2,所以tana+1=2, 4 1-tand tan 1-tano 4 1 所以tana+1=2-2tana,所以3tana=l,解得tana= 3 6.若tana-β)=2，tanB=1,则tana= 【答案】-3 【详解】由tan(a-f)=2,tanβ=1， 则a=u-+小-2-3 2/12 7已知a为第二象限角，ma=5细B-音，则ana+B1 12 【答案】-29 2 【详解】因为a为第二象限角，由sina=5可得cosa--$ina:-2y5 5 15 所以tana= -2 tan(a+B)=tanc+tanB sin a 1 =212 2 cosa 1-tanc tan B 1+ 5=29 一X 212 8已知ma-a0引 3 团求n（任-a的值： (2)求tan2a的值， 【答案】)V 10 a 【分析】(1)先求出cosa,再代入两角差的正弦公式即可； (2)先求出tana,再代入二倍角的正切公式即可： 【详解】国为naae0妈引所以esa=一ma-手所以 n=sin 4 cosa-cos sina= √24√23√2 252510 2tan a 2+3 cosa4,因此an2a= 2由a)行oa-手所以ama- 4 24 1-tan a 2 7 1- 4 考点02两角和、差公式的逆用 9.cos79°cos49°+cos11sinl31°=() A.- 2 c D.3 2 【答案】D 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得：cos79°cos49°+cosl1°sinl31°=cos90°-11)cos49°+cos11°sin180°-49） =sico49+cosl1rsin49=sin1r+49)）=si血60°=5 2 10.sin110°c0s40°-c0s70°sin40°=() 3/12 B.3 2 c号 D. 1-2 2 【答案】D 【详解】因为sinl10°=sin(180°-70）=sin70°，所以 70sin40°=sn70°cos40°-c0s70°sin40°=sin70° 11.sin400(tanl90°-√5=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】B 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式，正弦二倍角公式化简求值即可. 【详解】原式=sin40(tanl0°-tan60°） =sin40° sinl0°sin60° sinl0°cos60°-cosl0sin60) =sin40°. cosl0° c0s60° c0sl0°cos60° sin(-50) sin80 =sin40° sin40°cos40° cosl0°cos60° c0sl0°cos60° 2cos10°cos60° cosl0° 1 =-1 2cosl0°cos60° 1 2× 2 12.己知a=2cos248°-1，b=cos47°cos48°-sin47°sin48°，c=tan15°-tan75°+V3tan75°tan15°，则() A.b>c>a B.c>axb C.bx a>c D.cxb>a 【答案】c 【分析】由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断 【详解】a=2cos248°-1=cos96°<0，b=c0s47°cos48°-sin47°sin48°=c0s47°+48)=c0s95°<0， 由，tanl5°-an75o =tan(-60)=-√3， 1+tan75tan15 则tanl5°-tan75°=-√3(1+tan75tanl5）, 故c=tanl5°-tan75°+V3tan75tanl5=-V3(1+tan75tanl5)+√3tan75°.tanl5°=-√3， 显然-V3<-1<cos96°<cos95°，即b>a>c. 13.cos70°sin40°-sin110°sin50°的值为 答案】--05 【分析】利用诱导公式统一角度，再根据余弦的两角和公式进行计算， 4/12 cos70°sin40°-sinl10°sin50° =cos70°sin(90°-50°）-sin180°-70°）sin50° =cos70°cos50°-sin70°sin50° 【详解】=cos(70+50)） =cos120 1 2 14.sin100°c0s-20）+c0s260°c0s70°= 【答案】 35 22 【分析】借助诱导公式与两角差的余弦公式计算即可得. 【详解】c0s-20)=c0s70°-90)=sin70°，c0s260°=c0s360°-100)=c0s100°， 故sin100°c0s-20)+cos260°cos70°=sinl00°sin70°+c0sl00c0s70 =cos(100°-70)=c0s30°= 2 15.己知tana+tanB=2,且tana+f）=3,则tano tan B=() A.1 B. 1 3 C. 2 3 3 D. 【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式即可求解， tana+tan B 【详解】由于tan(a+β)= i-tanc tanB,代入ana+ianB=2,且tan(a+B)=3, 得3= 2 1 -tanctan,解得tandtan-3,故Bi正确， 16.tan200°+tan40°+√3tan-160）tan40°= 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案. 【详解】tan200°=tan(180°+20)=tan20°， tan-160）=tan-180°+20°）=tan20°， tan60°=tan(20°+40)=，an20°+tan40° 1-an20°.tan40=5, 所以tan20°+tan40°=√5-√5tan20°.tan40°， 所以tan200°+tan40°+√3tan(-160°）tan40° 5/12 =tan20°+tan40°+√3tan20tan40° =√3-√3tan20°.tan40°+√3tan20°.tan40°=√3. 考点03倍角公式 17.已知ncoacosP+sinasin0=,则cos2a-2pj- 【答案】弓 【详解】因co+s=cosa-B= 则es12a-29=2csa--1=2x[-1 18.己知tana=-3,则sin2a+cos2a+1的值为() 2 A.2 B. C.-2 D. 2 【答案】D 【详解】sin2a+cos2a+1=2 sinacosa+2cos'a-2 sin+2cosa_2tana+2_2x(-3)+22 sin2a+cos2a tan2a+1 (-3)2+1 5 19.已知a为钝角，且cos2a=-1, 3·则sn元+4=) 2 A.3 B. c.2v5 D._2V2 J 3 3 3 【答案】B 【详解】由二倍角公式co0s2a=2cos2a-1,代入c0s2a=-得-】=2c0s2a-l, 3 3 整理得cosa=行已知a为钝角，则cosa=V3 3 因此sin =cosa=-3 20.已知tana=2,则tan2a的值为() A.4 B.- 4 C.- D. 3 【答案】C 【分析】利用正切的二倍角公式求解即可， 【详解】tan2a= 2tan a 4 4 -ana-1-2=-3 6/12 21若0a号且2e个a君}ma+-0,则ma-引一 【答案】-y6 【分析】用换元法，设a+=0,化简方程求出am0=二，进而得出的正余弦值，化简smQ-司)即可。 6 2 【销解】由题意，0<a<子设a+后9（低 6 63即a=0- 6 即2tan20- +tan0=0, 2 :an20-见 1 =- tan 20' 2 +tan0=0, tan 20 2 tan 0 tan 20 1-2n2。，得-a1+tan0=0,则有tan0=二， tan ian6s 2 V3,s0=2V6 8引m0=方9 53 气63 3 22.已知sin +104则sin2a+ 3π-1 =() 10 A.8 B.V15 C.- 7 D.V5 8 8 8 【答案】C 【详解】由题意知sin +ma+引wa+--ama+]g 23. =则sm2a+别 cos a-6 6 【答案】25 【分析】根据题意，利用诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解 7/12 【详1 hea-引州a+君引[2如+引引ma-到 mo-引-uwa-2目-g 24.已知cos(a-B）=4,sinasinB=g'则cos(2a+2B)=（） A.4 B. D. 【答案】c 【分析】利用三角恒等变换求解。 1 【催解】因为cosa-B=cosacosp+sinasin=&,sinasin手 81 5 所以cosa cos B=。 8 511 所以cos(a+β)=cosa cos B-sina sin B=。 8821 所以cos2a+20l=com[2a+pj]-2msa+p-12xl=号 考点04利用和、差、倍角公式化简、求值 25.已知角a,Be(0,x,且sin(a-B)+cosa+B)=0，sina sinB=2 cosa cosB,则tan(a-B)=, 【答】写 【分析】根据已知条件结合同角三角函数关系可求出tana tan B=2,再利用两角和差的正余弦公式可求出 tana-tanB=l,最后利用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】角a,Be0,π，sina>0,sinp>0,而sina sin B=2 cosa cos B, 若cosa cos B=0,则sina sin B=0,则与sina sin B>0矛盾， 故cosa cosB≠0，则可得tana tan阝=2； 又sina-B+cosa+B)=0,即sin(a-β)=-cosa+β)， 则sina cosβ-cosa sinβ=-cosa cos B+sina sinβ， 结合sina sin B=2 cosa cos B,可得sina cosβ-cosa sin B=cosa cos B, 故tana-tan阝=l, 故a--号 26.在ABC中，已知sinA=3 sin BsinC,cosA=3 cos B cos C,则tanA=() A.d B. C.2 D.4 8/12 【答案】D 【分析】根据cosA=-cosB+C)及cosA=3 cos B cosC求出tan B tan C=4,同理求出tanB+tanC=12,利用 tanA=-tanB+C)即可求出答案 【详解】cosA=-cosB+C)=-cos B cosC+sin B sin C, 因为cosA=3 cos B cos C,所以sin B sin C=4 cos B cos C, 易知cosA,cosB,cosC均不为0，所以tan B tan C=4, sin A=sin(B+C)=sin B cosC cos B sin C, 因为sinA=3 sin B sin C,所以sin B cosC+cos Bsin C=3 sin B sin C, Etan B tan C 3 tan B tan C=12, 所以tanA=-tan(B+C)=- tan B+tan C 12 =4. 1-tan Btan C 1-4 27.(多选)下列各式中，值为5的是（) 2 A.sin81°cos21°+cos261°sin21 B.c0s275°-cos215 C. 2cosl0°-sin20 D.sin501+v3tanl0） 2cos 20 【答案】AC 【详解】A.cos261°=cos180°+81)=-cos81°，所以 sin81cos21°+cos261sin21°=sin81°cos21°-cos81sin21°=sin(81°-21)=sin60°= ,A正确， 2 B.c0s275-c0s215=sim215-c0s215-cos215-sin215)=-c0s30=-5,B错误 2 c.2cos10°-sim20_2c0s30-20）-sin20_5c0s20°+sin20°-sin20°-5，c正确 2c0s20° 2cos20° 2c0s20° 2 D.sin50°1+V3tanl0）=sin50 1+3 sin10 =sin50.cos10+3sin 10 cos10 cos10 因为cos10°+V3sin10°=-2 =2sin(30°+10)=2sin40, 所以原式=sin50.2sin40 2cos40°sin40°sin80° =1,D错误 cos10° cos10 sin80 28。（多选)下列代数式的值为号的是〔 A.cos275°-sin275° B.sin75°cos75° C. tan15' D.4sin10°sin50°sin70 1+tan215 9/12 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数 式的值，判断是否等于子 【详解】选项A:由二倍角余弦公式cos2a=cos2a-sin2a, 得c0s2750-5in2750=cos150=-5#,A错误， 2 4 选项B:由二倍角正弦公式sin2a=2 sina cosa, 得sin75cos75°= n150-分兮子B正镜 选项c:由同角三角函数关系1+tana= 1 cos'a 代入得， tan15 1+tan5cos1SP=sn5cos597m30°4c正雅 选项D:结合诱导公式和二倍角正弦公式计算： 4sinl0°sin50°sin70°=4sinl0°cos10c0s20°cos40°_sin80°_1,1 =≠二，D错误. cosl0° 2cos10°241 29.已0<u<B<号若cos口-]= 5c0s2a=0 则a+B= 10 答】誓 【详解】0<a<B<T→-T<a-B<0,0<2a<r, 2 2 cos(a-B)5 cos2a=10 10 io5 sin2u 5 10 co+)cos[2a-(a-p)]-co2acos(-B)+sin2asin(ap) 25-2 10510 Γ5 2 又0<a+B<元，a+B=3r 4 30若0a0<<a+p-m-》则ma+到 【答案】16 5 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，结合角的范围计算即得. 【详解】由0<a<0<B<5,可得0<a+B<元，又cosa+B)=写 3 4 sin(a+B)=1-cos2(a+B)=, 5 又由1m-到引音 10/12 则cwa-}m-哥-号 所以ea+}omlu+p-(B-】 -cos(+)cosin(+)sin 312,4516 513+5(1365 31若ao引，B径且na2,ma+=}则sB胸E是() A. 2v5 8.25 c.-25 D.-25 25 5 25 【答案】D 【解】由a0引Be侵小则a+B经》 而sina= 25 5 sin(a+B)=-3 则cosa=V1-sin2a= =5,cos(a+B)=-v1-sin (a+p)=4 所以cosB=cos[(a+β)-a=cosa+B)cosa+sin(a+B)sina 4 +3x25-25 5 5 5 32已知m=sana,n=(o.i,a,B0》,及i-专1+tnd ianp= tan(β-a）' (1)求sin(a-B)的值； (2)求c0sa+β)的值. 【答】四-号 a号 【分析】1)由向量的数量积及两角差的余弦公式可得eosa-)-；,由l+tad ta B- tan(B-a 、及两角 差的正弦公式，可得ana<mB,从而传0<a<B<受由铜角的平方关系求解即可， 3 (2)结合(1)可求得cos a cos B= 一子，血asn月=写，由两角和的余弦公式求解即可。 【i详解】(1)由题知m,n=+-sinsinB=cos(a-B)-5 4 1+tano tan B,结合已知l+-tan a tanB= tana-tan B 1 由tan(a-B)= tan(B-a）' 11/12 可得tana-tanB=-l<0, 所以tanc<tanB, 又,引所以有0<<<号 所以a-(受0 (2)由(1)知tana-tanB=sina sin B=-1, cosa cosβ 所以有sina cos B-cosa sin阝=-cosa cos B, 由①可斑aa-=子 所以sina-B)=-cosa cosB=-3 所以oscB=3 又因为cos(a-B)=cosa cosB+-sina sin B=4 所以sini=号 312 所以cos(a+β)=cosa cos B-sina sin B= 555 12/12