第24练 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

第24练　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 1.已知角α的终边不在坐标轴上,且3sin 2α=sin α,则cos α= (　 )　 A. B.- C. D.- 2.sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°= (　 ) A.- B. C.- D.1 3.[2025·浙江温州三模] 已知tan=2,则tan θ= (　 ) A.3 B.2 C. D. 4.已知角α的终边经过点P,则cos= (　 ) A. B.- C. D.- 5.已知0<α<π,cos=,则sin= (　 ) A. B. C. D. 6.(多选题)下列等式正确的是 (　 ) A.cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=- B.sin 15°sin 30°sin 75°= C.=tan D.tan 48°+tan 72°-tan 48°tan 72°=- 7.[2025·浙南名校联盟联考] 已知sin α-·cos α=,则cos=　　　　.  8.[2026·山东青岛适应性考试] 若sin α-cos β=,cos α+sin β=,则sin(α-β)=　　　　.  9.已知sin(α-β)=,sin(α+β)=. (1)证明:tan α+5tan β=0; (2)求的值. 10.[2025·广东肇庆三模] 已知α为锐角,且cos=,则cos 2α= (　 ) A. B. C.- D.- 11.[2026·湖南常德模拟] 已知sin(α+β)=,tan α=,则sin(α-β)= (　 ) A.- B.- C. D. 12.(多选题)已知α,β均为锐角,cos(α+β)=,tan αtan β=,则 (　 ) A.cos αcos β= B.cos(α-β)=1 C.tan α+tan β= D.cos αsin β= 13.[2026·汉中联考] 已知2sin=sin,则cos 2α的值为　　　　.  14.[2025·湖南长沙长郡中学月考] 已知A+B=,cos A+cos B=,则cos(A-B)的值为　　　　.  15.如图,已知点A(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)). (1)证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (2)利用(1)中的结果证明cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算cos 37.5°cos 37.5°的值. 16.[2025·广西南宁三模] 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别是边AB,DA上的点,那么当△APQ的周长为2时,∠PCQ= (　 ) A. B. C. D. 17.(多选题)对于任意角α,β,下列结论正确的是 (　 ) A.(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2cos(α-β) B.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β C.sin α-sin β=2cossin D.sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] 第24练　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 1.A　[解析] 因为角α的终边不在坐标轴上,所以sin α≠0,cos α≠0, 由sin α=3sin 2α=6sin αcos α,可得cos α=.故选A. 2.B　[解析] sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°= cos 43°sin 77°+sin 43°cos 77°=sin(77°+43°)=sin 120°=. 3.C　[解析] 方法一:由题意知tan==2,解得tan θ=.故选C. 方法二:∵tan=2,∴tan θ=tan= ==,故选C. 4.B　[解析] 因为角α的终边经过点P,所以sin α=,cos α=,所以cos=coscos α-sinsin α=×-×=-.故选B. 5.D　[解析] 由题意知cos α=2cos2-1=2×-1=-,因为0<α<π, 所以sin α===,则sin=sin αcos-cos αsin=×-×=.故选D. 6.ABD　[解析] 对于选项A,cos 82°sin 52°- sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)= sin(-30°)=-,故A正确;对于选项B,sin 15°sin 30°sin 75°= sin 15°sin 30°cos 15°=sin230°=,故B正确;对于选项C,===,故C错误;对于选项D,tan 48°+tan 72°-tan 48°tan 72°=tan(48°+72°)(1-tan 48°tan 72°) -tan 48°tan 72°=-+tan 48°tan 72°-tan 48°tan 72°=-,故D正确.故选ABD. 7.-　[解析] 由sin α-cos α=,得2=,故sin=,所以cos=sin=sin=-. 8.　[解析] 由题意可得(sin α-cos β)2=sin2α+cos2β-2sin αcos β=,(cos α+sin β)2 =cos2α+sin2β+2cos αsin β=,两式相加得,2+2cos αsin β-2sin αcos β=,故sin αcos β- cos αsin β=,即sin(α-β)=. 9.解:(1)证明:方法一:由sin(α-β)=,sin(α+β)=,得2sin(α-β)=3sin(α+β), 即2sin αcos β-2cos αsin β=3sin αcos β+3cos αsin β,整理得sin αcos β=-5cos αsin β, 即tan α=-5tan β,故tan α+5tan β=0,得证. 方法二:由sin(α-β)=,sin(α+β)=,得sin αcos β-cos αsin β=,sin αcos β+cos αsin β=, 故sin αcos β=,cos αsin β=-,两式相除可得=-5,故tan α+5tan β=0,得证. (2)因为tan(α-β)=,所以tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β), 所以===-=. 10.B　[解析] 因为α为锐角,所以<α+<,又cos=,所以sin==,故cos 2α=sin=sin 2=2sincos=2××=,故选B. 11.C　[解析] 由sin(α+β)=,得sin αcos β+cos αsin β=①.由tan α=,得=, 即sin αcos β=3cos αsin β②.由①②得cos αsin β=,sin αcos β=, 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=.故选C. 12.BCD　[解析] 对于A,由tan αtan β==,得sin αsin β= cos αcos β,则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β=,故cos αcos β=,故A错误;对于B,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β=1,故B正确;对于C,因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=±,因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),故sin(α+β)=,故tan(α+β)=2=,所以tan α+tan β=2×(1-tan αtan β)=,故C正确;对于D,由cos(α-β)=1,得sin(α-β)=0,所以sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β=,故cos αsin β=,故D正确.故选BCD. 13.-　[解析] 由两角和与差的正弦公式得,sin=sin αcos+cos αsin=sin α·+ cos α·=(sin α+cos α),sin=sin αcos-cos αsin=sin α·-cos α·=(sin α-cos α),由题意得2×(sin α+cos α)=(sin α-cos α),得sin α+3cos α=0,故tan α==-3, 故cos 2α====-. 14.0　[解析] 不妨令A≥B,α≥0,设A=+α,因为A+B=,所以B=-α,A-B=2α,由cos A+ cos B=可得cos+cos=cos α-sin α+cos α+sin α=cos α=,故cos(A-B)=cos 2α=2cos2α-1=2×-1=0. 15.解:(1)证明:连接PA,P1P2,如图,易知|PA|=|P1P2|, ∴[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cos α-cos β)2+(sin α+sin β)2, 即2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. (2)由(1)知,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, ∴cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],故cos 37.5°cos 37.5° =[cos(37.5°+37.5°)+cos(37.5°-37.5°)]=(cos 75°+1)= (cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°)+=+. 16.B　[解析] 设AP=x,AQ=y,∠BCP=α,∠DCQ=β,则tan α=1-x,tan β=1-y,故tan(α+β)==.由△APQ的周长为2,得x+y+=2,变形可得xy=2(x+y)-2,故tan(α+β)==1,又0<α+β<,所以α+β=,故∠PCQ=-(α+β)=.故选B. 17.CD　[解析] 对于A,(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=cos2α+2cos αcos β+cos2β+sin2α+ 2sin αsin β+sin2β=2+2cos(α-β),故A错误;对于B,sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+ cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)= sin2αcos2β-cos2αsin2β,故B错误;对于C,sin α-sin β=sin-sin= sincos+cossin-= 2cossin,故C正确;对于D,[sin(α+β)+sin(α-β)]=(sin αcos β+cos αsin β+ sin αcos β-cos αsin β)=sin αcos β,故D正确.故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 $