5.4　第2课时　奇偶性的应用 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦奇偶性应用，分层设计从基础定义到跨知识点综合，梯度衔接合理，通过“辨析-运算-建模”路径巩固知识，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性定义、单调性关联|单选考偶函数单调性与绝对值关系（题1），填空考不等式求解（题7）| |进阶层|解析式求法、性质综合|解答题求奇函数分段解析式（题10），多选融合奇偶性与最值（题6）| |提升层|跨知识点应用（二次函数、区间）|解答题结合二次函数求参数范围（题15），综合考分类讨论（题14）|

第2课时　奇偶性的应用 1.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（a）＜f（b），则一定可得（　　） A.a＜b B.a＞b C.｜a｜＜｜b｜ D.0≤a＜b或a＞b≥0 2.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 3.若奇函数f（x）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f（－3）＋2f（－6）＝（　　） A.13 B.－13 C.5 D.－5 4.若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在（0，＋∞）上有（　　） A.最大值－ B.最大值 C.最小值－ D.最小值 5.已知函数f（x）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数，若f（t－1）＋f（2t－3）＜0，则t的取值范围为（　　） A.（0，） B.（0，） C.（，） D.（，＋∞） 6.（多选）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（　　） A.a＝2 B.f（2）＝2 C.f（x）是R上的增函数 D.f（－3）＝－12 7.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0.若f（x－1）＞0，则x的取值范围是　　　　. 8.已知函数f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x（x＋1）.则函数f（x）的解析式为　　　　. 9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增.若f（－3）＝0，则＜0的解集为　　　　. 10.已知函数f（x）的图象关于原点对称，且当x＞0时f（x）＝x2－2x＋3. （1）试求f（x）在R上的解析式； （2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间. 11.已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（4）＝0，则满足不等式f（x－1）＜0的x的取值范围是（　　） A.（－3，1） B.（1，5） C.（－3，0）∪（1，5） D.（－∞，－3）∪（1，5） 12.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，则函数y＝F（x）在（－∞，0）上有（　　） A.最大值－8 B.最小值－8 C.最小值－6 D.最小值－4 13.若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝　　　　. 14.已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2－4x＋3. （1）求函数f（x）在R上的解析式； （2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 15.已知函数f（x）＝x2－mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值为g（m）. （1）求函数g（m）的解析式； （2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）＝g（x）.若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围. 第2课时　奇偶性的应用 1.C　∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，∴由f（a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜.故选C. 2.C　法一　用“－x”代替“x”，得f（－x）－g（－x）＝（－x）3＋（－x）2＋1，化简得f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f（1）＋g（1）＝1. 法二　由于f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，而f（x）－g（x）＝x3＋（x2＋1），因此f（x）＝x2＋1，g（x）＝－x3满足条件.于是f（1）＋g（1）＝（1＋1）＋（－13）＝1. 3.B　由f（x）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f（3）＝－1，f（6）＝7.∵f（x）是奇函数，∴f（－3）＝－f（3）＝1，f（－6）＝－f（6）＝－7，∴f（－3）＋2f（－6）＝1＋2×（－7）＝－13. 4.B　法一　当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝（x＋）2－，所以f（x）有最小值－，因为f（x）是奇函数，所以当x＞0时，f（x）有最大值. 法二　当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－）2＋，所以f（x）有最大值.故选B. 5.C　因为f（x）为（－2，2）上的奇函数，所以f（t－1）＋f（2t－3）＜0可化为f（t－1）＜f（3－2t），又因为函数f（x）在（－2，2）上是增函数，所以－2＜t－1＜3－2t＜2，解得＜t＜. 6.ACD　f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D. 7.（－1，3）　解析：因为f（x）是偶函数，所以f（x－1）＝f（｜x－1｜）.又因为f（2）＝0，所以f（x－1）＞0可化为f（｜x－1｜）＞f（2）.又因为f（x）在[0，＋∞）上单调递减，所以｜x－1｜＜2，解得－2＜x－1＜2，所以－1＜x＜3. 8.f（x）＝ 解析：设－3≤x＜0，则0＜－x≤3，则有f（－x）＝x（－x＋1）＝－x（x－1），又因为f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝x（x－1），又f（0）＝0，所以f（x）＝ 9.{x｜－3＜x＜0或x＞3} 解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减.∴f（3）＝f（－3）＝0.当x＞0时，由f（x）＜0，解得x＞3；当x＜0时，由f（x）＞0，解得－3＜x＜0.故所求解集为{x｜－3＜x＜0或x＞3}. 10.解：（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0. 设x＜0，则－x＞0. 因为当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3， 所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3. 于是有f（x）＝ （2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图. 由图象可知函数f（x）的增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），减区间是[－1，0），（0，1]. 11.D　∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（4）＝－f（－4）＝0，f（－4）＝0，当x－1＞0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（4）＝0，f（x－1）＜f（4），∴0＜x－1＜4，∴1＜x＜5，当x－1＜0时，根据奇函数的性质可知f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－4）＝0，f（x－1）＜f（－4），∴x－1＜－4，∴x＜－3，∴x∈（－∞，－3）∪（1，5）.故选D. 12.D　∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，∴T（x）＝af（x）＋bx也为奇函数.又∵F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，∴T（x）＝af（x）＋bx在（0，＋∞）上有最大值6，∴T（x）＝af（x）＋bx在（－∞，0）上有最小值－6，∴F（x）＝af（x）＋bx＋2在（－∞，0）上有最小值－4. 13.－2x2＋4　解析：∵f（x）＝（x＋a）·（bx＋2a）＝bx2＋（2a＋ab）x＋2a2是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.若a＝0，则函数为f（x）＝bx2，当b为正数时，值域为[0，＋∞），不符合题意；当b为负数时，值域为（－∞，0]，不符合题意；当b＝0时，值域为{0}，不符合题意.若b＝－2，则函数为f（x）＝－2x2＋2a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，∴f（x）＝－2x2＋4. 14.解：（1）当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）2－4（－x）＋3＝x2＋4x＋3， 又∵f（x）为偶函数， ∴f（x）＝f（－x）＝x2＋4x＋3. ∴当x＜0时，f（x）＝x2＋4x＋3， ∴f（x）＝ （2）由（1）知f（x）＝（x－2）2－1（x≥0）在[0，2]上单调递减，函数f（x）是偶函数. ∴f（x）＝x2＋4x＋3（x＜0）在[－2，0]上单调递增. 又∵f（x）在[－1，a－2]上单调递增， ∴[－1，a－2]⊆[－2，0]. ∴则1＜a≤2， 故实数a的取值范围是（1，2]. 15.解：（1）f（x）＝x2－mx＝－（m＞0）， 当0＜≤2，即0＜m≤4时，g（m）＝f＝－. 当m＞4时，函数f（x）＝－在区间[0，2]上单调递减， 此时g（m）＝f（2）＝4－2m. 综上可知，g（m）＝ （2）因为当x＞0时，h（x）＝g（x）， 所以当x＞0时，h（x）＝ 易知函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减， 因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且h（t）＞h（4）， 所以0＜｜t｜＜4，解得－4＜t＜0或0＜t＜4. 综上所述，实数t的取值范围为（－4，0）∪（0，4）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $