2.2 第2课时 充分、必要、充要条件的应用 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦充分、必要、充要条件应用，通过基础判断、关系辨析到综合证明的三阶设计，适配新授课知识巩固，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一条件判断|直接考查充分/必要条件定义（如第1-4题）| |能力提升|条件关系与集合转化|设置多选（第5-6题）、开放题（第8题）深化辨析| |综合应用|跨知识综合证明|结合方程、三角形等（第14-15题）培养证明能力|

第2课时　充分、必要、充要条件的应用 1.若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是（　　） A.a≤1 B.a≤－1 C.a≥2 D.a＜2 2.若命题p：x≥1，命题q：≤1，则q是p的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（　　） A.a≤－1 B.a≤－1或a≥2 C.a≥2 D.－1≤a＜2 4.若“x＞1或x＜－2”是“x＜a”的必要条件，则a的最大值为（　　） A.2 B.－2 C.－1 D.1 5.（多选）使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的一个充分不必要条件是（　　） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 6.（多选）已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的值为（　　） A.－ B.0 C. D. 7.“x＜5”是“x＜3”的　　　　　　条件.（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空） 8.写出使x2＜1成立的一个充分不必要条件是　　　　. 9.已知p：A＝{x｜－1≤x≤5}，q：B＝{x｜－m＜x＜2m－1}，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　　. 10.已知集合M＝{x｜x＜－3或x＞5}，P＝{x｜a≤x≤8}. （1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件； （2）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的一个必要不充分条件. 11.若不等式1－a＜x＜a＋1成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（　　） A.[0，＋∞） B.[1，＋∞） C.[3，＋∞） D.[1，3] 12.实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是（　　） A.ab＝0 B.ab＞0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0 13.已知当a＜0时，设p：3a＜x＜a，q：x＜－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　. 14.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由. 15.设a，b，c为△ABC中角A，B，C的对边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 第2课时　充分、必要、充要条件的应用 1.A　由题意，得{x｜x＞1}⊆{x｜x＞a}，故a≤1.故选A. 2.B　由≤1得，x≥1或x＜0，因为{x｜x≥1}⫋{x｜x≥1或x＜0}，所以q是p的必要不充分条件.故选B. 3.C　因为q是p的必要条件，所以{x｜－1≤x＜2}⊆{x｜x＜a}，在数轴上画出－1≤x＜2，借助数轴可知a≥2.故选C. 4.B　∵“x＞1或x＜－2”是“x＜a”的必要条件，∴{x｜x＜a}⊆{x｜x＞1或x＜－2}，如图所示，∴a≤－2，∴a的最大值为－2.故选B. 5.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集即可，只有B、C满足题意.故选B、C. 6.ABC　p：x∈{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，q：x∈{x｜mx＋1＝0}，因为p是q的必要不充分条件，所以{x｜mx＋1＝0}⫋{2，－3}.当{x｜mx＋1＝0}＝⌀，即m＝0时，符合题意；当{x｜mx＋1＝0}≠⌀时，由{x｜mx＋1＝0}⫋{2，－3}，得－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝.综上，m＝0或－或.故选A、B、C. 7.必要不充分　解析：设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为A⫌B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件. 8.x＝0（答案不唯一）　解析：由x2＜1，得－1＜x＜1，则x＝0可以作为x2＜1的充分不必要条件. 9.{m｜m＞3} 解析：因为p是q的充分条件，所以A⊆B，如图，则解得m＞3.则m的取值范围为{m｜m＞3}. 10.解：（1）M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a｜－3≤a≤5}. （2）结合数轴可知a＜－3时符合题意，则实数a的取值范围是{a｜a＜－3}. 11.C　由题意得，（0，4）⊆（1－a，a＋1），所以⇒⇒a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞）.故选C. 12.D　由“a，b中至少有一个不为零”可知，a，b都不为0，或a，b中有一个为0.选项A中，由ab＝0，可得a＝0或b＝0或a，b均为0，不满足条件.选项B中，由ab＞0，可得a，b都不为0，不满足条件.选项C中，由a2＋b2＝0，可得a＝b＝0，不满足条件.选项D中，a2＋b2＞0⇔a，b中至少有一个不为零，满足条件.故选D. 13.{a｜a≤－4或－≤a＜0} 解析：设A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x｜x＜－4，或x≥－2}.∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.又∵a＜0，∴a≤－4或－≤a＜0，即实数a的取值范围为{a｜a≤－4或－≤a＜0}. 14.解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则x＝－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件， 若“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件， 综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件. 15.证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则＋2ax0＋b2＝0，＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝，将此式代入＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2. ① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即（x＋a－c）（x＋a＋c）＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即（x＋c－a）·（x＋c＋a）＝0. 故两方程有公共根x＝－（a＋c）. ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $