5.2 第1课时函数的表示方法课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示方法，涵盖列表法、解析法、图象法及函数解析式求法。通过京沪高铁路程、出生人口曲线、氰化物浓度表等情境实例导入，引导学生回忆初中知识，明确三种表示方法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是以实际情境为载体，融合数学抽象、直观想象与数学运算核心素养。通过典型例题精析表示法选择及待定系数法等求解析式方法，总结通性通法，辅以跟踪训练和随学检测。既帮助学生深化理解提升解题能力，也为教师提供系统教学资源提高教学效率。

5.2　函数的表示方法 新课程标准解读 核心素养 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解 函数图象的作用 数学抽象、直 观想象 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单 应用 数学抽象、数 学运算 目录 数学·必修第一册（SJ） 第1课时　函数的表示方法 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380 千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶 x 小时 后，路程为 y 千米，则 y 是 x 的函数，可以用 y ＝300 x 来表示，其中 y ＝300 x 叫作该函数的解析式； 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）如图是我国近五年出生人口变化曲线： 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 【问题】　根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么 方法表示函数的？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　函数的表示法 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　函数三种表示法的优缺点比较 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知 y 与 x 成反比，且当 x ＝2时， y ＝1，则 y 关于 x 的函数关系式 为（　　） B. y ＝－ x 解析：　设 y ＝ ，由题意得1＝ ，解得 k ＝2，所以 y ＝ . 故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可 知，下列说法中错误的是（　　） A. 这天15时的温度最高 B. 这天3时的温度最低 C. 这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D. 这天21时的温度是30 ℃ 解析：　这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14（℃）， 故C错误. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知函数 f （ x ）由下表给出，则 f （ f （3））＝ 　　　　. x 1 2 3 4 f （ x ） 3 2 4 1 1 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 函数的三种表示方法 【例1】　（链接教科书第113页例1）购买某种笔记本 x 本，需要 y 元.若每本2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 y 表示成 x （ x ∈{1，2，3，4}）的函数，并指出该函数的值域. 解：①解析法： y ＝2 x ， x ∈{1，2，3，4}. ②列表法： x/本 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 目录 数学·必修第一册（SJ） ③图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示. 函数的值域是{2，4，6，8}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 1. 函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函 数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采 用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义 域内自变量的个数较少. 2. 用三种表示法表示函数时的注意点 （1）解析法必须注明函数的定义域； （2）列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； （3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）＝－ x －1， x ∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列 表法表示函数 y ＝ f （ x ）. 解：用图象法表示函数 y ＝ f （ x ），如图所示. 用列表法表示函数 y ＝ f （ x ），如表所示. x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 函数解析式的求法 角度1　用待定系数法求函数解析式 【例2】　（1）已知 f （ x ）是一次函数，且 f （ f （ x ））＝16 x － 25，求 f （ x ）； 解：设 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ≠0）， 则 f （ f （ x ））＝ k （ kx ＋ b ）＋ b ＝ k2 x ＋ kb ＋ b ＝16 x －25， ∴∴或 ∴ f （ x ）＝4 x －5或 f （ x ）＝－4 x ＋ . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）已知 f （ x ）为二次函数，且 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 x2－4 x ，求 f （ x ）. 解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）， 则 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＋ a （ x －1）2＋ b （ x －1）＋ c ＝2 ax2＋2 bx ＋2 a ＋2 c ＝2 x2－4 x ， 则得∴ f （ x ）＝ x2－2 x －1. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 用待定系数法求函数解析式的步骤 （1）设出所求函数含有待定系数的解析式； （2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，得到待定系数的值； （4）将所求待定系数的值带回所设的解析式. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　利用换元法（配凑法）求函数解析式 【例3】　求下列函数的解析式： （1）已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，求 f （ x ）； 解：法一（换元法）　令 t ＝ ＋1，则 x ＝（ t －1）2， t ≥1， 所以 f （ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1（ t ≥1）， 所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）. 法二（配凑法）　 f （ ＋1）＝ x ＋2 ＝ x ＋2 ＋1－1＝ （ ＋1）2－1. 因为 ＋1≥1，所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）已知 f （ x ＋2）＝2 x ＋3，求 f （ x ）. 解：） f （ x ＋2）＝2 x ＋3＝2（ x ＋2）－1， 所以 f （ x ）＝2 x －1. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 换元法（配凑法）求函数解析式 　　已知 f （ g （ x ））＝ h （ x ）求 f （ x ），有两种方法： （1）换元法：即令 t ＝ g （ x ），解出 x ，代入 h （ x ）中，得到一个 含 t 的解析式，再用 x 替换 t ，便得到 f （ x ）的解析式.利用换元 法解题时，换元后要确定新元 t 的取值范围，即函数 f （ x ）的定 义域； （2）配凑法：即从 f （ g （ x ））的解析式中配凑出 g （ x ），用 g （ x ）来表示 h （ x ），然后将解析式中的 g （ x ）用 x 代替即可. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度3　方程组法求函数解析式 【例4】　已知 f （ x ）＋2 f （－ x ）＝ x2＋2 x ，求 f （ x ）. 解：因为 f （ x ）＋2 f （－ x ）＝ x2＋2 x ， 将 x 换成－ x ，得 f （－ x ）＋2 f （ x ）＝ x2－2 x ， 联立，得 将①、②两式消去 f （－ x ）， 得3 f （ x ）＝ x2－6 x ， 所以 f （ x ）＝ x2－2 x . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 方程组法求函数解析式 　　方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达 式，如互为相反数的 f （－ x ）， f （ x ）的函数方程，通过对称规律 再构造一个关于 f （－ x ）， f （ x ）的方程，联立解出 f （ x ）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 （1）已知函数 f （ x ）是一次函数，若 f （ f （ x ））＝4 x ＋8，求 f （ x ）； 解：设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0）， 则 f （ f （ x ））＝ f （ ax ＋ b ）＝ a （ ax ＋ b ）＋ b ＝ a2 x ＋ ab ＋ b . 又 f （ f （ x ））＝4 x ＋8，∴ a2 x ＋ ab ＋ b ＝4 x ＋8， 即解得或 ∴ f （ x ）＝2 x ＋ 或 f （ x ）＝－2 x －8. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）已知函数 f （ x ＋1）＝3 x ＋2，求 f （ x ）； 解：法一（换元法）　令 x ＋1＝ t ，∴ x ＝ t －1， ∴ f （ t ）＝3（ t －1）＋2＝3 t －1，∴ f （ x ）＝3 x －1. 法二（配凑法）　∵ f （ x ＋1）＝3 x ＋2＝3（ x ＋1）－1， ∴ f （ x ）＝3 x －1. （3）已知 f （ x － ）＝ x2＋ ，求 f （ x ）； 解：∵ f （ x － ）＝ x2＋ ＝（ x － ）2＋2， ∴ f （ x ）＝ x2＋2（ x ≠0）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （4）已知 f （ x ）＋2 f （ ）＝ x （ x ≠0），求 f （ x ）. 解：∵ f （ x ）＋2 f （ ）＝ x ，　① 用 代替 x 得 f （ ）＋2 f （ x ）＝ ，　② 由2×②－①，消去 f （ ）并整理得 f （ x ）＝ － （ x ≠0）， ∴函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ － （ x ≠0）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列各式为 y 关于 x 的函数解析式的是（　　） B. y2＝ x （ x ≥0） C. x2＋ y2＝1 D. ｜ y ｜＝ x2＋1 解析：　对于A，对任意的 x ≥0，按照对应关系 y ＝ 都有唯一 确定的 y 与之对应，符合函数的定义，而B、C、D都不符合函数的 定义，故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知函数 f （ x ）， g （ x ）分别由下表给出. x 4 5 6 f （ x ） 1 3 1 x 1 2 3 g （ x ） 4 5 4 则 g （ f （5））＝ ； f （ g （2））＝ ⁠. 解析：由题表可知 f （5）＝3， g （3）＝4，∴ g （ f （5））＝ g （3）＝4.又 g （2）＝5， f （5）＝3，∴ f （ g （2））＝ f （5）＝3. 4　 3　 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. (2025高一上保定期中)已知，则＝ _____________________ ⁠. 解析： 因为 ， 所以.   目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数 x 与销售 额 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解：（1）列表法如表： x （台） 1 2 3 4 5 y （元） 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x （台） 6 7 8 9 10 y （元） 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）图象法：如图所示. （3）解析法： y ＝3 000 x ， x ∈{1，2，3，…，10}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $