5.3 第2课时 函数的最大、最小值-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）
2025-12-01
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦函数最值与单调性，涵盖分段函数、绝对值函数、分式函数等类型。通过基础图象分析（题1）到综合参数问题（题3、9）的分层练习，构建知识支架，衔接函数性质与应用的前后脉络。
其亮点在于分层设计（基础达标到素养拓展）、题型多样（单选、多选、解答），解析注重逻辑推理（如分段函数单调性讨论）和数学语言表达（如应用题中值域子集关系）。助力学生提升数学思维，教师可直接用于分层教学，提高效率。
内容正文：
课后达标检测
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1.已知函数在 上的图象如图所示，则此
函数的最大值、最小值分别为( )
A.3，0 B.3，1 C.3，无最小值 D.3，
解析：选C.观察题中图象可知，图象的最高点坐标是 ，从而其最大
值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
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2.函数 的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.
解析：选B.当时,函数单调递减,此时在 处取得最大
值,最大值为;当时,函数在 处取得最大
值,最大值为.综上可得, 的最大值为2.故选B.
√
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3.已知函数在上的最大值为1，则 的值为( )
A.1 B. C.1或 D.6
解析：选A.当时，函数在上单调递减，所以 ，所以
；当时，函数在上单调递增，所以 ，解得
，不符合题意.故选A.
√
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4.已知函数,,若有最小值,则 的最
大值为( )
A. B.0 C.1 D.2
解析：选C.因为 ,
所以函数图象的对称轴为直线 .
所以在 上单调递增.
又因为在上的最小值为 ,
所以,即 .
所以 .
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5.函数 的最小值为( )
A.0 B.1 C. D.2
解析：选B.
由于在上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递增，
又, ，即分段处端点值相等，
故在 处取得最小值，最小值为1.
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6.（多选）（2025·苏州期末）已知函数 ，下列选项正确的是
( )
A.若，则
B.函数 在定义域内是减函数
C.若，则的值域是
D.若，则函数 有最小值也有最大值
解析：选.对于A，由，可得，解得 ，故A正确；
对于B，的定义域为 ，
所以在上单调递减，且 ，
√
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在上单调递减，且 ，
故在 上不是单调函数，故B错误；
对于C，由B可得，当时， ，
当时，，所以的值域是 ，
当时， 无意义，故C错误；
对于D，当且时， ，
当且时， ，
所以若，则函数 有最小值也有最大值，故D正确.
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7.函数在 上的最大值为__.
解析：函数在上单调递增,函数在 上单调递增,
所以函数在 上单调递增.
当时, .
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8.已知函数则 的最大值为___.
2
解析： 的图象如图所示，
则的最大值为 .
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9.已知函数在区间上的最大值是 ，
则实数 的值为_ ______.
或
解析：由题意知函数的对称轴方程为 .
当，即时，在 上单调递减，
则，解得或.又 ，则
；
当，即时，在 上单调递增，
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则 ，
解得或.又，则 不存在；
当，即 时，
,
解得.综上，或 .
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10.（13分）已知函数 .
（1）求证：在 上单调递增；（6分）
证明：任取，，且 ，
则
.
当时，， ，
所以，即 ，
所以在 上单调递增.
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（2）求函数 的最大值和最小值.（7分）
解：当 时，
， ，
所以，即 ，
所以在 上单调递减.
结合（1）可知，的最大值为 ，无最小值.
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11.当时，不等式恒成立，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题意得对 恒成立，
设，则在 上单调递减，则
，
所以 .
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12.（2025·镇江月考）规定，表示取， 中的较大者，例如
，，，，则函数 ，
的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选B.根据定义，作出函数和
的图象如图.由，解得 ，此时
，则 的图象如图中实线所示，由图可
知，当时， 有最小值2，即
， 的最小值为2.故选B.
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13.若函数在上的最大值为2，则 的取值范围是
_______.
解析：设， ，
，
因为函数在 的最大值为2，
，
所以，解得 ，
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当时，函数在上单调递减，在 上
单调递增，
而,,, ，
所以，且，即函数在 上的最大值为2，
符合题意；
当时，函数在 上单调递减，
所以 ，
而，所以函数在 的最大值为2，符合题意.
综上， .
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14.（15分）已知函数 .
（1）求在区间上的最小值 ；（7分）
解：，，，所以当 ，
即时，；当 ，
即 时，
.
所以
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（2）求 的最大值.（8分）
解：当时， 单调递增，所以
；
当时， .
综上，的最大值为 .
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15.（15分）已知函数有如下性质：如果常数 ,那么该函数在
上单调递减,在 上单调递增.
（1）已知,,利用上述性质,求函数 的单调区
间和值域；（6分）
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解： ,
设, ,
则 ,
故, .
由已知性质得,当 ,
即时, 单调递减；
当 ,
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即时, 单调递增,
所以函数的减区间为,增区间为 .
由,,,得的值域为 .
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（2）对于（1）中的函数和函数 ,若对于任意的
,总存在,使得成立,求实数 的值.（9分）
解：由于,为减函数,故 .
由题意知,的值域为的值域的子集,从而
解得 .
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