精品解析：河北承德市宽城满族自治县2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期期末质量监测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂直的定义 C. 点到直线，垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，根据不等式性质1，不等式两边同时加(或减)同一个数，不等号方向不变，∴，，故选项A，B错误； ∵，根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴两边同乘得，故选项C正确； ∵，根据不等式性质2，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴两边同除以得，故选项D错误． 3. 下列不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 4. 下列图形中，已知，可得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．由无法判断； B．∵，∴，无法判断； C．如图， ∵，， ∴ ∴； D．由无法判断． 5. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览．据统计，“豆包”在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据总数据条数每秒处理数据条数运行时间，列式计算后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：． 6. 下面是计算的过程： 解：原式． 在上述运算中，依据（1）（2）分别表示的是（ ） A. 合并同类项，同底数幂相乘 B. 幂的乘方，同底数幂相乘 C. 幂的乘方，乘法结合律 D. 乘法交换律，合并同类项 【答案】B 【解析】 【分析】区分幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则，对应两步运算判断． 【详解】解：第（1）步，，依据是幂的乘方； 第（2）步，，依据是同底数幂相乘． 7. 数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（ ） A. 要消去x，可以将 B. 要消去x，可以将 C. 要消去y，可以将 D. 要消去y，可以将 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项中的方法，逐一进行计算，判断即可. 【详解】解：原方程组为 对选项A： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴A错误； 对选项B： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴B错误； 对选项C： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴C错误； 对选项D： ∵ ①②中，的系数为，可以消去， ∴D正确. 8. 将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，，  ，  ，点、、在同一直线上，  ，  ，  ，  ． 9. 某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，即可得解． 【详解】解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 10. 线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 11. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理， 根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 12. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：对图①，原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证； 对图②，原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； 对图③，原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； 对图④，原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证；即可以验证的有①②③． 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. “x的平方与3的和大于5”用不等式表示为：______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到x的平方，再得到x的平方与3的和，最后结合不等关系列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可得： x的平方表示为， x的平方与3的和表示为， 由和大于5，列不等式得． 14. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知和的值整体代入计算． 【详解】解：对原式因式分解得， 将，代入，得原式 ． 15. 已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题： （1）简便运算：； （2）因式分解：； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）4 （2） （3），8 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 18. 求不等式组的解集，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 ． 【答案】（1）x＞-2； （2）x≤2； （3）见解析 （4）-2＜x≤2． 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 移项，得x＞-2， 故答案为：x＞-2； 【小问2详解】 ， 移项得，2x≤4， 系数化为，得x≤2， 故答案为：x≤2； 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 原不等式组的解集是-2＜x≤2， 故答案为：-2＜x≤2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 如图所示，完成推理过程． ①（已知）， _____（_____）． ②（已知）， _____∥_____（______）． ③（已知）， （_____） ④（已知）， _____（_____）． 【答案】①；内错角相等，两直线平行 ②；同位角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 ④；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据题意和平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：①（已知）， （内错角相等，两直线平行）． ②（已知）， （同位角相等，两直线平行）． ③（已知）， （同旁内角互补，两直线平行） ④（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 20. 下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 （1）任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法 B．换元法 C．代入法 D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合 B．公理化 C．演绎 D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； （2）任务二：请你写出正确的求解过程． 【答案】（1）①D ②D ③一；①时等号右边的4没有乘2（言之有理即可）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化； ③根据题意可得第一步错误；理由为①时等号右边的没有乘． （2）将第一步改正，再按照加减消元法的步骤求解即可． 【小问1详解】 ①根据题意可得，阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法， 故选：D； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化， 故选：D； ③根据题意可得第一步错误； 理由：①时等号右边的没有乘（言之有理即可） 【小问2详解】 解：①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，开水的温度为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）． 求该学生接的温水、开水的体积分别是多少？ 【答案】该学生接的温水是 ，开水的体积是 【解析】 【分析】先设该学生接的温水的体积是，开水的体积是，再根据温度相等列出方程组，求出解即可． 【详解】解：设该学生接的温水的体积是，开水的体积是，根据题意得： 解得：． 答：该学生接的温水是 ，开水的体积是 22. 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． （1）请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） （2）若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 【答案】（1）回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为 （2）山西大院的占地面积更大 【解析】 【分析】（1）根据图形特点，根据长方形面积公式，利用多项式乘以多项式运算法则求解； （2）根据，，分别求两个代数式的值，比较值的大小，判断哪个建筑物的占地面积更大即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：回字形福建土楼面积为： ； 山西大院的占地面积为： ． 【小问2详解】 解：当，时， 回字形福建土楼的占地面积； 山西大院的占地面积， 而， 故山西大院的占地面积更大． 23. 如图，在中，和的平分线相交于点． （1）若，求的度数； （2）把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 【小问2详解】 ，理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 24. 【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． （1）请讨论说明与的位置关系，并说明理由 （2）如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由） 解：∵_____（已知），∴（平角的定义）， ∵（已知），∴_________（_________）， ∵（已知），∴； （3）如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （2）90，，两直线平行，内错角相等； （3）解：，理由如下： ∵与入射镜筒壁平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点O作， ∴， ∵与直管壁垂直，， ∴与直管壁垂直， 即， 由题干的反射定律可知， ∴， ∵镜筒上下壁可看作分别相互平行的直线，，，， ∴， ∴， 由题干的反射定律可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，进而得到，即可得到； （2）根据垂线的定义及平行线的性质作答即可； （3）根据平行线的性质得到，进而求出，过点O作，根据平行线的性质得到与直管壁垂直，即，进而得到，证明，得到，由题干的反射定律可知，进而得到，根据平行线的性质作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末质量监测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂直的定义 C. 点到直线，垂线段最短 D. 两点确定一条直线 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，已知，可得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览．据统计，“豆包”在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下面是计算的过程： 解：原式． 在上述运算中，依据（1）（2）分别表示的是（ ） A. 合并同类项，同底数幂相乘 B. 幂的乘方，同底数幂相乘 C. 幂的乘方，乘法结合律 D. 乘法交换律，合并同类项 7. 数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（ ） A. 要消去x，可以将 B. 要消去x，可以将 C. 要消去y，可以将 D. 要消去y，可以将 8. 将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 20° 9. 某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. “x的平方与3的和大于5”用不等式表示为：______． 14. 已知，，则的值为______． 15. 已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题： （1）简便运算：； （2）因式分解：； （3）先化简，再求值：，其中，． 18. 求不等式组的解集，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 ． 19. 如图所示，完成推理过程． ①（已知）， _____（_____）． ②（已知）， _____∥_____（______）． ③（已知）， （_____） ④（已知）， _____（_____）． 20. 下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 （1）任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法 B．换元法 C．代入法 D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合 B．公理化 C．演绎 D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； （2）任务二：请你写出正确的求解过程． 21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，开水的温度为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）． 求该学生接的温水、开水的体积分别是多少？ 22. 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． （1）请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） （2）若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 23. 如图，在中，和的平分线相交于点． （1）若，求的度数； （2）把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 24. 【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． （1）请讨论说明与的位置关系，并说明理由 （2）如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由） 解：∵_____（已知），∴（平角的定义）， ∵（已知），∴_________（_________）， ∵（已知），∴； （3）如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $