2.2.2　直线的两点式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“直线的两点式方程”，设“基础巩固”“更上层楼”“探究发现”三层，以“概念理解—综合应用—探究创新”递进，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|截距式方程、两点式表示、方程与图像对应、简单应用|8选择2填空1解答，如截距计算（题1）、方程转化（题5），夯实概念与运算| |更上层楼|动点最值、方程曲线判断、面积问题|4题含选择与填空，如线段上动点xy最值（题11），提升推理与空间观念| |探究发现|含参数直线方程及面积最值|1解答题（题15），需分类讨论截距相等及面积最小值，培养创新与应用意识|

2.2.2　直线的两点式方程课时作业(十八) 1．在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2．经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(　　) A.＝ B.＝ C．(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) D．y－y1＝(x－x1) 3．两条直线－＝1与－＝1的图象可能是(　　) 4．已知点M(1，－2)，N(m，2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 5．已知直线l的两点式为＝，则(　　) A．直线l经过点(5，2) B．直线l的斜截式为x＝y－ C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的点斜式为y－2＝(x－5) 6．某汽车客运公司托运行李的费用y(元)与行李质量x(kg)之间的关系如图所示，根据图象可知，乘客最多可免费携带行李的质量为(　　) A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．35 kg 7．过点作直线l，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程为________． 9．已知直线l过点(2，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为________． 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)． (1)求边AC和AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程； (3)求边AC的垂直平分线的方程； (4)求边AC上的高所在的直线方程； (5)求经过边AB的中点和AC的中点的直线方程． 11．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　) A．无最小值，且无最大值 B．无最小值，但有最大值 C．有最小值，但无最大值 D．有最小值，且有最大值 12．在平面直角坐标系中，方程＋＝1所表示的曲线是(　　) A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆 13．过点P(1，1)作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积S＝4，则直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 14．过点(－2，0)且在两坐标轴上的截距之差的绝对值为3的直线的截距式方程是________． 15．已知定点P(－4，2)． (1)求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线l过点P且交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，记△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后，关闭 Word 文档返回原板块。 课时作业(十八) 1．在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　由直线的截距式方程可得＋＝1. 2．经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(　　) A.＝ B.＝ C．(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) D．y－y1＝(x－x1) 答案　C 解析　当x1≠x2且y1≠y2时，由两点式，得直线方程为＝，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，直线P1P2平行于y轴或与y轴重合，直线方程为x＝x1，满足(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当y1＝y2时，直线P1P2平行于x轴或与x轴重合，直线方程为y＝y1，也满足(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示． 3．两条直线－＝1与－＝1的图象可能是(　　) 答案　B 解析　两直线方程可分别化为＋＝1和＋＝1，结合图形知选B. 4．已知点M(1，－2)，N(m，2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 答案　C 解析　由中点坐标公式，得线段MN的中点是.又点在线段MN的垂直平分线上，所以＋0＝1，所以m＝3，选C. 5．已知直线l的两点式为＝，则(　　) A．直线l经过点(5，2) B．直线l的斜截式为x＝y－ C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的点斜式为y－2＝(x－5) 答案　C 解析　由题意，直线l经过两点(8，9)，(2，5)，故A、D错误；将两点式化为斜截式为y＝x＋，故B错误；直线l的斜率为>0，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确． 6．某汽车客运公司托运行李的费用y(元)与行李质量x(kg)之间的关系如图所示，根据图象可知，乘客最多可免费携带行李的质量为(　　) A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．35 kg 答案　A 解析　由图象可得直线过点(60，10)，(80，15)，由直线方程的两点式可得＝，化简可得y＝x－5，令y＝0，解得x＝20，即乘客最多可免费携带行李的质量为20 kg. 7．过点作直线l，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　设直线l的方程为＋＝1(a≠0)，将点代入，可得＋＝1(a≠0)，即3a2－6a＋2＝0，由于Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3a2－6a＋2＝0有两个根，故满足题意的直线l的条数为2. 8．若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程为________． 答案　3x－5y＋6＝0 9．已知直线l过点(2，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为________． 答案　x－y－1＝0或x－2y＝0 解析　当直线过原点时，直线l的方程为x－2y＝0；当直线不过原点时，设其方程为－＝1，即x－y＝a，又过点(2，1)，可解得a＝1，故方程为x－y－1＝0. 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)． (1)求边AC和AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程； (3)求边AC的垂直平分线的方程； (4)求边AC上的高所在的直线方程； (5)求经过边AB的中点和AC的中点的直线方程． 解析　(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)， 由两点式，得BD所在直线的方程为＝，即2x－y＋10＝0. (3)由kAC＝＝，得边AC的垂直平分线的斜率为－2. 又AC的中点坐标为(－4，2)， 由点斜式，得边AC的垂直平分线的方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0. (4)由(3)可知边AC上的高所在直线的斜率为－2， 又该直线过点B(－2，6)，则由点斜式，得边AC上的高所在直线的方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0. (5)因为AB的中点为M(－1，5)，AC的中点为D(－4，2)， 所以直线DM的方程为＝，即x－y＋6＝0. 11．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　) A．无最小值，且无最大值 B．无最小值，但有最大值 C．有最小值，但无最大值 D．有最小值，且有最大值 答案　D 解析　线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)， ∴y＝4，∴xy＝4x＝－＋3. ∴当x＝时，xy取最大值3；当x＝0或x＝3时，xy取最小值0. 12．在平面直角坐标系中，方程＋＝1所表示的曲线是(　　) A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆 答案　C 解析　当x≥0，y≥0时，方程为＋＝1；当x≥0，y≤0时，方程为－＝1；当x≤0，y≤0时，方程为＋＝－1；当x≤0，y≥0时，方程为－＋＝1，因此原方程所表示的曲线是一个以(3，0)，(0，2)，(－3，0)，(0，－2)为顶点的菱形．故选C. 13．过点P(1，1)作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积S＝4，则直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　D 解析　由题意设直线l的方程为＋＝1，直线过点P(1，1)，则＋＝1， 直线与两坐标轴的交点为(a，0)，(0，b)， 又S＝|ab|＝4，所以ab＝±8， 又＋＝＝1，所以a＋b＝ab， 当ab＝8时，a＋b＝8，由 得或 当ab＝－8时，a＋b＝－8，由 得或 所以直线l共有4条．故选D. 14．过点(－2，0)且在两坐标轴上的截距之差的绝对值为3的直线的截距式方程是________． 答案　＋y＝1或＋＝1 解析　由题可知，直线过点(－2，0)，所以直线在x轴上的截距为－2，又直线在两坐标轴上的截距之差的绝对值为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5，则所求直线的截距式方程为＋y＝1或＋＝1. 15．已知定点P(－4，2)． (1)求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线l过点P且交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，记△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程． 解析　(1)当截距为0时，设直线方程为y＝kx， 因为直线过点P(－4，2)，则2＝－4k， 解得k＝－， 所以直线方程为y＝－x； 当截距相等且不为0时，设直线方程为＋＝1， 因为直线过点P(－4，2)，则代入直线方程，得a＝－2， 则直线方程为x＋y＋2＝0. 所以直线方程为y＝－x或x＋y＋2＝0. (2)由题意画出示意图如图，可知直线的斜率存在且大于0， 设直线方程为y－2＝k(x＋4)(k>0)， 令x＝0，得y＝4k＋2；令y＝0，得x＝－， 则S＝|x|y＝＝＝8k＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当k＝时，等号成立． 所以S的最小值为16，此时的直线方程为x－2y＋8＝0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $