2.2.2　直线的两点式方程 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础概念到综合应用再到拓展创新，有效培养数学抽象、运算能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线两点式方程的概念、斜率计算、截距求解及简单应用|以选择、填空为主，直接应用公式，强化运算能力，如两点求直线方程、截距计算| |综合运用|两点式与其他直线方程的综合、实际情境应用（光线反射、截距和最值）|多选与解答结合，培养数学思维，如反射光线方程求解、面积最值问题| |拓展提高|含参数的直线方程、实际优化问题（水电站选址）|探究性问题，发展创新意识和模型意识，如正整数截距直线条数、最短电线用料设计|

2.2.2　直线的两点式方程 一、基础巩固 1.过点(1,2),(5,3)的直线的方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A.2 B.-3 C.-27 D.27 3.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 4.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程可以为(　　) A.x+y-5=0 B.x-y-5=0 C.x-4y=0 D.x+4y=0 5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线满足(　　) A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 6.两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　) 7.某地汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为(　　) A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg 8.已知点P(x,2)在过M(-2,1)和N(3,-4)两点的直线上,则x的值是　　　　.  9.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线的方程为　　　　　　.  10.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是　.  11.已知直线l过点P(4,1). (1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程; (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程. 二、综合运用 12.(多选)光线自点(2,4)射入,经y轴反射后经过点(5,0),则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有(　　) A.(-9,8) B.(3,1) C.(7,-1) D.(12,-4) 13.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若使截距之和最小,则该直线的方程为　　　　.  14.过点P(1,4)作直线l,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点. (1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程; (2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程. 三、拓展提高 15.过点(1,3)作直线l,若l经过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*,则可作出的直线l的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.多于3 16.一河流同侧有两个村庄A,B,两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用,已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m,且两村相距500 m,问:水电站建于何处送电到两村的电线用料最省? 2.2.2　直线的两点式方程 一、基础巩固 1.过点(1,2),(5,3)的直线的方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 答案　B 解析　∵所求直线过点(1,2),(5,3), ∴所求直线方程是=. 2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A.2 B.-3 C.-27 D.27 答案　D 解析　由两点式得直线方程为=, 即x+5y-27=0,令y=0,得x=27. 3.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　由两点式方程=,知直线l过点(-5,0),(3,-3), 所以l的斜率为=-. 4.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程可以为(　　) A.x+y-5=0 B.x-y-5=0 C.x-4y=0 D.x+4y=0 答案　AC 解析　当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x, 即x-4y=0; 当直线不过点(0,0)时, 可设直线方程为+=1, 把(4,1)代入,解得a=5, 所以直线方程为x+y=5. 综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0. 5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线满足(　　) A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2), 再由两点式可得直线MN的方程为=,即2x+y-8=0. 6.两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　) 答案　A 解析　将两方程化为截距式l1:+=1,l2:+=1. 假定l1的位置,判断a,b的正负,从而确定l2的位置,知A项符合. 7.某地汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为(　　) A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg 答案　C 解析　由图知点A(60,6),B(80,10), 由直线方程的两点式,得直线AB的方程是=,即y=x-6. 依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg行李. 8.已知点P(x,2)在过M(-2,1)和N(3,-4)两点的直线上,则x的值是　　　　.  答案　-3 解析　过M,N两点的直线方程为=, 又P(x,2)在此直线上,所以当y=2时,x=-3. 9.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线的方程为　　　　　　.  答案　2x-y=0或x-y+1=0 解析　当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时,得直线方程为2x-y=0; 当在坐标轴上的截距不为零时, 可设直线方程为-=1, 将x=1,y=2代入方程可得a=-1, 得直线方程为x-y+1=0. ∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0. 10.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是　.  答案　∪ 解析　设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1; 过定点A的直线经过点C(-3,0)时,直线l在x轴的截距为-3,此时k=, 满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪. 11.已知直线l过点P(4,1). (1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程; (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程. 解　(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6), ∴直线l的方程为=, 即x+y-5=0. (2)由题意知,若直线过原点, 则有=,即x-4y=0; 若直线不过原点,则直线l的斜率存在且不为0,故设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a, ∴该直线的方程可设为+=1, 即+=1, 解得a=,即2x+y-9=0, 综上,直线l的方程为x-4y=0或2x+y-9=0. 二、综合运用 12.(多选)光线自点(2,4)射入,经y轴反射后经过点(5,0),则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有(　　) A.(-9,8) B.(3,1) C.(7,-1) D.(12,-4) 答案　AD 解析　点(2,4)关于y轴的对称点为(-2,4),则反射光线所在的直线经过点(-2,4)和点(5,0),则反射光线所在直线的方程为=,即4x+7y-20=0. 将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A,D选项符合题意. 13.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若使截距之和最小,则该直线的方程为　　　　.  答案　2x+y-6=0 解析　设直线的方程为+=1(a>0,b>0), 因为直线过点P(1,4),所以+=1. 则截距之和a+b=(a+b)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,即2a=b时取得最小值, 所以+=1,解得a=3,则b=6, 所以直线的方程为+=1, 即2x+y-6=0. 14.过点P(1,4)作直线l,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点. (1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程; (2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程. 解　设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0, 则由直线的截距式方程得直线l的方程为 +=1. 将P(1,4)代入直线l的方程得, +=1.(*) (1)依题意得,ab=9,即ab=18, 由(*)式得,b+4a=ab=18,从而b=18-4a, ∴a(18-4a)=18,整理得2a2-9a+9=0, 解得a1=3,a2=,则b1=6,b2=12. 因此直线l的方程为+=1或+=1, 整理得,2x+y-6=0或8x+y-12=0. (2)由+=1≥2,得ab≥16, 从而S=ab≥8, 当且仅当=,即a=2,b=8时取等号, 因此S的最小值为8,且此时直线l的方程为+=1,即4x+y-8=0. 三、拓展提高 15.过点(1,3)作直线l,若l经过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*,则可作出的直线l的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.多于3 答案　B 解析　∵l过点(a,0)和(0,b),且a,b∈N*, ∴可设l:+=1. 又l过点(1,3), ∴+=1,整理得=. 当a=1,b∈N*时,等式显然不成立; 当a≥2且a∈N*时, b===3+. ∵b∈N*,∴a-1=1或a-1=3, 解得a=2或a=4. 当a=2时,b=6;当a=4时,b=4. ∴满足题意的直线l的方程为+=1或+=1, ∴满足题意的直线l有2条.故选B. 16.一河流同侧有两个村庄A,B,两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用,已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m,且两村相距500 m,问:水电站建于何处送电到两村的电线用料最省? 解　如图,以河流所在直线为x轴,y轴通过点A,建立直角坐标系, 则点A(0,300),B(x,700),设B点在y轴上的射影为H, 则x=|BH|==300, 故点B(300,700), 设点A关于x轴的对称点A'(0,-300), 则直线A'B的斜率k=,直线A'B的方程为 y=x-300. 令y=0得x=90,得点P(90,0), 故水电站建在河边P(90,0)处电线用料最省. 学科网（北京）股份有限公司 $