第2章 有理数及其运算 基础卷 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学有理数及其运算单元基础卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合高铁载客、二维码识别等现实情境，适配单元复习，强化运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、有理数分类、绝对值|结合《九章算术》负数史料，第3题体现文化传承| |填空题|5/15|数轴应用、大小比较|第15题以二维码编码考查数感，渗透数学眼光| |解答题（一）|3/21|混合运算、数集分类|第18题通过数轴表示发展几何直观| |解答题（二）|3/27|新定义运算、实际建模|第22题苹果购买方案强化模型意识，第23题数的整除探究培养推理能力|

第2章 有理数及其运算 基础卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 2．在，，，四个数中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出元记作元，那么元表示（   ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 4．下面说法正确的是（   ） A．0的倒数还是0 B．一个数的倒数一定比这个数小 C．和0.75互为倒数 D．1、2、互为倒数 5．在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是 （    ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．如图，数轴上M，N点表示的数互为相反数，则点N表示的数为（    ）    A． B．0 C．9 D．无法确定 8．已知，，且，则的值为（    ） A．1或7 B．1或 C． D． 9．如果对于任何有理数，定义运算“”如下，如．则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，求最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．比较大小：________．（填“”“”或“”） 12．数轴上点A表示的数是3，两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点表示的数是______． 13．如图，点A、B位于数轴上原点O的两侧，线段的长度为12，点C是的中点．若点B表示的数是8，则点C表示的数是_________． 14．小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数和是______． 15．利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，例如：如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，若图3是小明的识别图案，则小明为_____班同学． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算: 17．请把下列各数填入相应集合内： ，0.618，，，，2，，0， (1)正整数集合：{                    …} (2)非负数集合：{                    …} (3)负分数集合：{                    …} (4)有理数集合：{                    …} 18．（1）在数轴上表示下列各数：，，0，． （2）将原数按从小到大的顺序用“”连接起来． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值． (2)试比较与的大小． 20．如图，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本课本的厚度为___________，课桌的高度为___________； (2)若有一摞上述规格的课本x本，整齐地叠放在桌子上，则这一摞课本的顶部距离地面的高度___________；（用含x的代数式表示） (3)在（2）的条件下，当时，求课本的顶部距离地面的高度． 21．中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______． (2)求这4天的总载客人数． 22．延庆区张山营镇是著名的“苹果之乡”，出产的苹果色泽鲜艳、品种优良，红富士苹果获得“中华名果”的称号，秋收季节，某公司打算到张山营果园基地购买一批苹果．果园基地对购买量在1000千克（含1000千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克10元，由基地送货上门；方案二：每千克8元，由顾客自己运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．设公司购买x（）千克苹果，试回答以下问题： (1)公司若按照方案一购买，需支付_____元，若按照方案二购买，需支付_____元； (2)公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (3)如果公司打算购买3000千克苹果，选择哪种方案省钱？为什么？ 23．一个三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，通常记这个数为， 则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【举例说明】 （1）请写出两个能被9整除的三位数________． 【猜想证明】 （2）由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 证明：因为 是整数 ____被9整除．（填“能”或“不能”） 因此如果____被9整除，那么就能被9整除．（填“能”或“不能”） 所以猜想成立． 【迁移运用】 （3）设是一个四位数，若可以被3整除．求证：这个四位数可以被3整除． 【拓展提升】 （4）当五位数能被9整除时，求出的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C B C C D C A 11． 12．或 13．2 14． 15．6 16． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算乘方，化简绝对值，运算除法，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】解：原式 ． 17．(1)，2 (2)0.618，，，2，0， (3)， (4)，0.618，，，，2，，0 【分析】本题考查了有理数的分类． 【详解】（1）解：正整数集合：{，2，} （2）解：非负数集合：{0.618，，，2，0，，} （3）解：负分数集合：{，，} （4）解：有理数集合：{，0.618，，，，2，，0，} 18． （1）在数轴上表示各数，如图： （2） 【分析】本题考查有理数与数轴，准确表示各数是解题的关键； （1）将各数在数轴上进行表示即可； （2）根据数轴上的数右边的数比左边的数大即可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）由图可知：． 19．(1)12 (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算，有理数的大小比较； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算，然后比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）由题意可得， ． 20．(1)，80 (2) (3) 【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值等知识点，准确找出文中各种量之间的关系是解题的关键． （1）求出高度差再除以3本书即可每本课本的厚度；用书和课桌的高度减去书的高度即可得到课桌的高度； （2）根据这一摞课本的顶部距离地面的高度等于课桌高度和书的高度之和，据此即可解答； （3）将代入（2）所得的代数式计算即可． 【详解】（1）解：每本课本的厚度为， 课桌的高度为：． 故答案为：，80． （2）解：这一摞课本的顶部距离地面的高度为． 故答案为：． （3）解：当时，． 答：课本的顶部距离地面的高度是． 21．(1) (2)这4天的总载客人数为人 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，理解题意，正确计算是解题的关键． （1）根据题意，可得答案； （2）根据图中信息，把每一天的载客人数算出，相加即可． 【详解】（1）解：根据题意可得12月7日的数据可记作； 故答案为：； （2）解：人， 答：这4天的总载客人数为人． 22．(1)， (2)2500 (3)方案二，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用． （1）根据题意设公司购买千克苹果，根据题意列出代数式，即可求解． （2）根据两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （3）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设公司购买千克苹果， 方案一：， 方案二：， 故答案为：，． （2）解：选择两种购买方案所需的费用相同，依题意得， ，解得：， 答：公司购买2500千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同． （3）解：公司打算购买3000千克苹果， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 23．（1），（答案不唯一）；（2）能，能；（3）见解析；（4）0或9 【分析】本题主要考查整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据题意写出符合要求的数即可； （2）根据题意可得， 再由能被整除，能被整除，即可． （3）根据题意可得， 再由能被整除， 能被整除，即可． （4）由， 且五位数能被整除，可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴能被整除的三位数为，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）证明： 是整数 能被9整除． 因此如果能被9整除，那么就能被9整除． 所以猜想成立． 故答案为：能，能； （3）证明： ， ∵，，是整数， ∴能被整除， 又∵能被整除， ∴能被整除； （4）解：∵ ， 且五位数能被整除， ∴能被整除， ∵是的整数， ∴或． 答案第4页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $