专题15一次函数图象与性质暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题15一次函数图象与性质暑假预习讲义 1. 识记：知晓一次函数的图像是一条直线，掌握两点法画一次函数图像的步骤，会求取直线与坐标轴交点坐标。 2. 掌握：分清k、b两个系数的几何意义，根据k的正负判断函数增减性，依据b的取值确定直线与y轴交点位置。 3. 理解：清楚正比例函数属于特殊一次函数，图像恒过原点；一次函数图像可通过正比例函数上下平移得到。 4. 运用：能结合函数解析式查看图像信息，对比函数值大小；可根据图像变化规律，求解自变量、函数值对应范围。 5. 辨析：熟练实现解析式和函数图像相互转化，初步学会利用图像解决简单基础题型。 6. 规避易错点：混淆k、b的作用；函数增减趋势记忆颠倒；画图选取点不合理、坐标标注出错。 7. 素养提升：树立数形结合思想，借助图像直观理解函数变化规律，为一次函数实际应用打好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.图象形状 2.两点法画一次函数图象 3.正比例函数图象性质 4.K.b几何意义 5.一次函数与平移变换 6.一次函数图象与性质 7.一次函数经过象限 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.正比例函数的图象 2.正比例函数的性质 3.判断一次函数的图象 4.函数解析式判定经过象限 5.函数经过的象限求参数范围 6.一次函数图象与坐标轴交点问题 7.画一次函数图象 8.一次函数图象平移问题 9.一次函数图象对称问题 10.判断一次函数增减性 11.由一次函数增减性求参数 12.函数增减性判断自变量变化 13.一次函数值大小比较 14.一次函数的规律探究 强化题型 解答题5题 知识点 1 图象形状 一次函数 y=kx+b（k≠0） 的图象是一条直线，因此一次函数也叫做直线y=kx+b。 特殊：正比例函数y=kx(k≠0)图象是经过原点(0,0)的直线。 知识点 2 两点法画一次函数图象（标准作图法） 原理：两点确定一条直线。 普通一次函数y=kx+b 1 令x=0，求出y=b，得到与y轴交点(0,b)； 2 令y=0，求出x=，得到与x轴交点(,0)。 正比例函数y=kx选取两点：(0,0)和 (1,k)。 作图步骤：求两点坐标→坐标系描点→过两点作直线（两端延长）→标注函数解析式。 知识点3:正比例函数的图象性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点4：k、b 的几何意义 1 系数k：决定直线倾斜方向与增减性 k的取值 图象趋势 函数增减性 k>0 直线从左向右上升 y随x的增大而增大 k<0 直线从左向右下降 y随x的增大而减小 补充拓展：|k|越大，直线倾斜程度越大（直线越陡）；|k|越小，直线越平缓。 2 系数b：决定直线与y轴交点位置 b称为纵截距，直线与y轴交点坐标固定为(0,b) b取值 交点坐标 交点位置 b>0 (0,b) y轴正半轴（原点上方） b=0 (0,0) 经过坐标原点（正比例函数） b<0 (0,b) y轴负半轴（原点下方） 知识点5:一次函数与平移变换知识点6:一次函数的性质与性质（重点） 知识点7:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 知识点8高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 k与增减性判断 k>0误认为y随x增大而减小 k>0递增，k<0递减 b的含义混淆 认为b是直线与x轴交点 b决定直线与y轴交点(0,b) 象限判断 只依靠k判断经过象限，忽略b的作用 k定倾斜方向，b定上下位置，两者结合判断象限 直线平移运算 左右平移直接在式子末尾加减m，不对x整体变形 左右平移只针对自变量x，必须添加括号变形 两直线平行条件 只记住k1=k2，忽略b1≠b2 平行要求斜率相等、截距不等；k、b全相等则直线重合 题型1.正比例函数的图象 【典例】请写出一个只过第二、四象限的正比例函数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正比例函数的定义和图象性质，正比例函数的一般形式为．确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的函数． 【详解】解：根据正比例函数的图象性质，若正比例函数图象只经过第二，四象限，则比例系数． 任意取满足的值，例如取，即可得到符合条件的正比例函数． 故答案为（答案不唯一） 【跟踪专练1】正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴该函数图象经过第二、四象限． 【跟踪专练2】在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是___________． 【答案】 甲 【分析】设身高为x，跳跃高度为y，则比值为，即正比例函数中的k值，根据k值越大，图象越陡进行判断即可． 【详解】解：设每位同学的身高为x，跳跃高度为y， 根据题意得， ， 根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡， 如图，连接原点与甲、乙、丙、丁四点，观察图象可知，甲点与原点的连线最陡， ∴甲同学的跳跃高度与自己身高的比值最大， ∴获胜的同学是甲． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数和（m，n为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数图象判断的正负，根据一次函数图象判断m，n的正负，逐项判断是否存在矛盾即可． 【详解】解：A．由正比例函数图象经过第一、三象限，得， 由一次函数图象经过二、三、四象限，得，，满足， 故该选项符合题意； B．由正比例函数图象经过第一、三象限，得， 由一次函数图象经过一、二、四象限，得，，不满足， 故该选项不合题意； C．由正比例函数图象经过第二、四象限，得， 由一次函数图象经过一、二、三象限，得，，不满足， 故该选项不合题意； D．由正比例函数图象经过第二、四象限，得， 由一次函数图象经过二、三、四象限，得，，不满足， 故该选项不合题意． 题型2.正比例函数的性质 【典例】对于正比例函数，随的增大而增大，则的值可以是__________．（写一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据正比例函数的性质，当比例系数大于时，随的增大而增大，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：在正比例函数中，比例系数， 由随的增大而增大，得， 解得， 任取满足的值即可，例如（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 【答案】720 【分析】根据公式及，为定值，可知与成正比例关系．利用已知条件求出的值，确定与的函数关系式，再代入计算即可． 【详解】解：，且与值一定， 是的正比例函数． 当时，转/分钟， ， ． 当时，． 【跟踪专练2】已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的增减性得到，再根据一次函数的一次项系数大于0，常数项小于0可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∵在一次函数中，一次项系数为1，大于0，常数项为k，小于0， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意． 题型3.判断一次函数的图象 【典例】在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图像与之间的关系求解即可． 【详解】解：∵一次函数为， ∴一次项系数， ∴随的增大而增大，排除选项， ∵常数项， ∴一次函数图像与轴相交于负半轴． 【跟踪专练1】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 题型4.函数解析式判定经过象限 【典例】已知一次函数（，），则该函数的图像不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】根据已知的和的符号，结合一次函数的性质判断函数图像经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：在一次函数中，， 函数图像经过第二，四象限， 又， 函数图像与轴交于正半轴，图像又经过第一象限． 一次函数的图像经过第一，二，四象限，即该函数图像不经过第三象限． 【跟踪专练1】已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵一次函数中，函数值随自变量的增大而增大， ∴， ∴该函数图象必经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象经过第一、二、三象限． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 【答案】 四 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定已知直线经过的象限，结合交点在直线上，即可得到结论． 【详解】解：对于直线，由一次函数图象与系数的关系可知，，， 因此直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 因为直线与的交点一定在直线上，所以交点不可能在第四象限． 【跟踪专练3】已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据随的变化情况判断的符号，再结合判断的符号，从而确定直线经过的象限． 【详解】解：点，在直线上，当时，， ∴随的增大而增大， ， ， ， 直线经过第一、二、三象限，观察选项，只有A选项符合． 题型5.函数经过的象限求参数范围 【典例】若一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是_______．（写出一个符合题意的值即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数图象经过的象限，可确定一次项系数的符号，得到的取值范围后，任取一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴在范围内任取一个值，可得（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知一次函数（）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， 若，当时，图象经过一、二、四象限；当时，图象经过二、三、四象限；两种情况均经过第二象限，不符合题意， ∴，B错误，A正确． 当时，若图象不经过第二象限，可得，故C、D错误． 【跟踪专练2】当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】直线不经过第一象限，说明一次项系数小于等于0，常数项小于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴， 解得． 【跟踪专练3】一次函数和（均为不等于0的常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ）． A．B．C．D． 【答案】A 【分析】在选项中标出对应的、，判断的取值范围，再做比较即可． 【详解】选项A，如图，在中，，，在中，，，即，前后一致，故符合题意； 选项B，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意； 选项C，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意； 选项D，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意． 题型6.一次函数图象与坐标轴交点问题 【典例】函数的图象如图所示，当时，_________． 【答案】3 【详解】解：由图象可知：当时，． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 先将点A的坐标代入一次函数解析式求出参数，再求函数与轴交点的坐标． 【详解】解：点在上， ， ， ， 一次函数解析式为， 点在轴上令，则， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，设直线与坐标轴围成的直角三角形的面积为，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求得交点并利用分数的减法进行变形化简是解题的关键．分别令和，求得直线与坐标轴的交点坐标，再分别求得、和的面积，再进行化简计算即可． 【详解】解：令，可得， 令，可得， ∴直线与坐标轴的交点为，， ∴， ， …… ， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】直线与直线在同一坐标系中的位置可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的解析式，要求学生会根据一次函数的解析式，分析判断函数的图象的性质． 根据题意，联立两直线的方程可得，，解得，，即两直线的交点的横坐标为，且两直线的比例系数异号，即直线的倾斜方向不一致，分析选项，可得答案． 【详解】解：根据题意，联立两直线的方程可得，， 解得，， 即两直线的交点的横坐标为， 且两直线的比例系数异号，即直线的倾斜方向不一致， 分析选项，B符合； 故选：B． 题型7.画一次函数图象 【典例】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（　　） x 2 1 1 2 y 12 10 8 4 A．（2，4） B．（1，8） C．（1，10） D．（2，12） 【答案】B 【分析】在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 则点（−2，12），（−1，10），（2，4）在同一直线上， 点（1，8）没在这条直线上， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 【跟踪专练1】一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 【答案】c＞a＞b 【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断． 【详解】解：∵＞0，＜0， 点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等 ∴ y＝n﹣1是一条水平线 画出满足题意位置关系的函数图像如下， 由图像易得：c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键． 【跟踪专练2】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 题型8.一次函数图象平移问题 【典例】若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵原一次函数解析式为，需向上平移3个单位长度， 根据平移规律“上加下减”， ∴平移后所得图象的解析式为． 【跟踪专练1】如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． 【答案】/ 【详解】解：设所求一次函数的表达式为， 将点代入得：， 则这个一次函数的表达式为：． 【跟踪专练2】若将直线向下平移3个单位长度后，经过点，则k的值为___________． 【答案】2 【分析】根据平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点的坐标代入即可求出的值． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的函数解析式为，即， 把代入，得， 解得． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 题型9.一次函数图象对称问题 【典例】若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，代入计算即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点， ∴一次函数的图象经过点， ∴， 解得． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 【跟踪专练2】若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意易得直线与x轴、y轴的交点坐标为，然后可得点关于直线的对称点坐标分别为，进而问题可求解． 【详解】解：当时，则有，解得：，当时，则有， ∴直线与x轴、y轴的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点坐标分别为， ∵直线与直线关于直线对称， ∴把点代入得： ， 解得：． 题型10.判断一次函数增减性 【典例】已知点，都在一次函数的图象上．若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数解析式判断一次项系数的符号，得到随的变化规律，再结合的大小关系推出的大小关系． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数， ∴该函数的随的增大而减小， 又， ． 【跟踪专练1】已知下列函数：①y＝x＋1；②y＝x-2；③y＝-x＋1；④y＝-x-2．其中，y随x的增大而增大的有_______________（填写所有正确选项的序号）． 【答案】①② 【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：①y＝x＋1中，，所以 y随x的增大而增大，故①符合题意； ②y＝x-2中，，所以 y随x的增大而增大，故②符合题意； ③y＝-x＋1中，，所以 y随x的增大而减小，故③不符合题意； ④y＝-x-2中，，所以 y随x的增大而减小，故④不符合题意， 所以，正确的结论是①②， 故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据不等式判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可． 【详解】解：， 与同号， 即当时，， 当时，， ∴函数图象上随的增大而增大． 由图①可知，随的增大而减小，故不符合题意； 由图②可知，随的增大而增大，故②符合题意； 由图③可知，当时，随的增大而减小，故③不符合题意； 由图④可知，在图象所示范围内，随的增大而增大，故④符合题意； 综上所述，正确的函数图象序号是②④． 题型11.由一次函数增减性求参数 【典例】若一次函数的函数值随自变量的增大而减小，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小， ，解得． 【跟踪专练1】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数中，当一次项系数时，函数值随的增大而增大，当一次项系数时，函数值随的增大而减小，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大， ， 解得． 【跟踪专练2】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 【答案】 【分析】由函数图象可得，，，，再结合函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大，得出，即可得出结果． 【详解】解：由函数图象可得，，，， ∵函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知，一次函数中随的增大而减小，把四个选项中的点分别代入解析式求出值验证即可． 【详解】解：和是一次函数的图象上的两点，且，， 一次函数中随的增大而减小， ， A选项：把点代入， 可得：， ， 故A选项不符合题意； B选项：把点代入， 可得：， ， 故B选项符合题意； C选项：把点代入， 可得：， 故C选项不符合题意； D选项：把点代入， 可得：， ， 故D选项不符合题意． 题型12.函数增减性判断自变量变化 【典例】．点，都在直线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据一次项系数的符号判断函数的增减趋势，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小即可． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵点都在直线上，且，即， ∴． 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，的最大值是______． 【答案】5 【分析】根据一次函数的增减性确定． 【详解】∵一次函数中，k= -2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当x=-1时，函数y有最大值， 此时y=2+3=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】A 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 题型13.一次函数值大小比较 【典例】已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵，，且， ∴． 【跟踪专练1】已知，如果，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可． 【详解】解：依题意，， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【跟踪专练2】已知，，是直线上的三点，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的增减性，先根据一次函数的一次项系数判断y随x的变化规律，再比较三点横坐标的大小，即可推出纵坐标的大小关系； 【详解】解：∵直线解析式为，一次项系数， ∴y随x的增大而减小. ∵三个点的横坐标满足， ∴对应纵坐标满足； 题型14.一次函数的规律探究 【典例】如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，直线的解析式为，点坐标为，过作轴交于，过作交轴于，过作轴交于，过作交轴于，，按此规律进行下去，则的坐标为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质和直线解析式求出的坐标规律，即可解答； 【详解】解：直线解析式为， ∴， ∵，轴交于，直线解析式为， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴坐标为； 同理可得：，， 观察可得，的坐标满足规律：， 当时，横坐标为， ∴的坐标为． 【跟踪专练2】小明同学在研究某一次函数的图象时，发现表中有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值的坐标是     x … 1 2 … y … 12 10 4 1 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据x的值每增加1，y的值相应的减少3；即点不符合该规律，即可解答． 【详解】解：由表发现， x的值从到，x的值增加1，y的值减少2； x的值从到1，x的值增加2，y的值减少6，即x的值增加1，y的值减少3； x的值从1到2，x的值增加1，y的值减少3； ∴x的值每增加1，y的值相应的减少3； 即点不符合该规律． 故选A． 解答题 1．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中随的增大而减小，求的值； (2)若函数的图象过第一，三象限，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义． （1）先根据正比例函数的定义求出的所有可能值，再结合(1)中描述的函数性质，从可能值中筛选出符合条件的值； （2）先根据正比例函数的定义求出的所有可能值，再结合(2)中描述的函数性质，从可能值中筛选出符合条件的值． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． ∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． ∵函数的图象过第一、三象限， ∴， ∴． 2．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 【答案】(1) (2)不在 (3) (4)11 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出时的值即可判断求解； （3）利用一次函数的性质解答即可； （4）将点代入平移后的解析式，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为 （），将、 代入： 解得：． ∴函数表达式为． （2）解：将代入，得． 故点C不在函数图象上． （3）解：∵函数表达式中， ∴一次函数y随x的增大而减小． ∵，在函数的图象上，， ∴． （4）解：∵函数图象向下平移m个单位后， ∴表达式为． 将代入得： ，即， 解得． 3．已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 【答案】(1) (2)一次函数图象，如图所示： (3) 【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于的不等式组，再结合m为正整数即可求解； （2）根据一次函数解析式，描点和连线即可； （3）由函数图象，随增大而减小，令时，，令时，，即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限， ，解得， m为正整数， ； （2）解：由（1）得一次函数， 令，则；令，则， 一次函数过点和， 在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可． （3）解：一次函数， 由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围为． 4．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)的值为1，的值为2 (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）先分别求出当时和当时，的值，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴的值为1，的值为2． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴轴， ∴一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为． （3）解：∵一次函数的解析式为， ∴当时，；当时，， 又∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，． 5．已知一次函数（，是常数，且）． (1)若该一次函数的图象经过点和，求该一次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，求该一次函数的函数值的取值范围； (3)当时，设该一次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的增减性求解； （3）分和两种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵中， ∴随着的增大而增大， ∵时， 时，， ∴； （3）解：情况1：当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当时，；当时， ∵ ∴ 解得（舍去）； 情况2：当时，随着的增大而减小， ∵ ∴当时，；当时， ∵ ∴ 解得，符合题意， 综上：的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15一次函数图象与性质暑假预习讲义 1. 识记：知晓一次函数的图像是一条直线，掌握两点法画一次函数图像的步骤，会求取直线与坐标轴交点坐标。 2. 掌握：分清k、b两个系数的几何意义，根据k的正负判断函数增减性，依据b的取值确定直线与y轴交点位置。 3. 理解：清楚正比例函数属于特殊一次函数，图像恒过原点；一次函数图像可通过正比例函数上下平移得到。 4. 运用：能结合函数解析式查看图像信息，对比函数值大小；可根据图像变化规律，求解自变量、函数值对应范围。 5. 辨析：熟练实现解析式和函数图像相互转化，初步学会利用图像解决简单基础题型。 6. 规避易错点：混淆k、b的作用；函数增减趋势记忆颠倒；画图选取点不合理、坐标标注出错。 7. 素养提升：树立数形结合思想，借助图像直观理解函数变化规律，为一次函数实际应用打好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.图象形状 2.两点法画一次函数图象 3.正比例函数图象性质 4.K.b几何意义 5.一次函数与平移变换 6.一次函数图象与性质 7.一次函数经过象限 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.正比例函数的图象 2.正比例函数的性质 3.判断一次函数的图象 4.函数解析式判定经过象限 5.函数经过的象限求参数范围 6.一次函数图象与坐标轴交点问题 7.画一次函数图象 8.一次函数图象平移问题 9.一次函数图象对称问题 10.判断一次函数增减性 11.由一次函数增减性求参数 12.函数增减性判断自变量变化 13.一次函数值大小比较 14.一次函数的规律探究 强化题型 解答题5题 知识点 1 图象形状 一次函数 y=kx+b（k≠0） 的图象是一条直线，因此一次函数也叫做直线y=kx+b。 特殊：正比例函数y=kx(k≠0)图象是经过原点(0,0)的直线。 知识点 2 两点法画一次函数图象（标准作图法） 原理：两点确定一条直线。 普通一次函数y=kx+b 1 令x=0，求出y=b，得到与y轴交点(0,b)； 2 令y=0，求出x=，得到与x轴交点(,0)。 正比例函数y=kx选取两点：(0,0)和 (1,k)。 作图步骤：求两点坐标→坐标系描点→过两点作直线（两端延长）→标注函数解析式。 知识点3:正比例函数的图象性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点4：k、b 的几何意义 1 系数k：决定直线倾斜方向与增减性 k的取值 图象趋势 函数增减性 k>0 直线从左向右上升 y随x的增大而增大 k<0 直线从左向右下降 y随x的增大而减小 补充拓展：|k|越大，直线倾斜程度越大（直线越陡）；|k|越小，直线越平缓。 2 系数b：决定直线与y轴交点位置 b称为纵截距，直线与y轴交点坐标固定为(0,b) b取值 交点坐标 交点位置 b>0 (0,b) y轴正半轴（原点上方） b=0 (0,0) 经过坐标原点（正比例函数） b<0 (0,b) y轴负半轴（原点下方） 知识点5:一次函数与平移变换知识点6:一次函数的性质与性质（重点） 知识点7:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 知识点8高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 k与增减性判断 k>0误认为y随x增大而减小 k>0递增，k<0递减 b的含义混淆 认为b是直线与x轴交点 b决定直线与y轴交点(0,b) 象限判断 只依靠k判断经过象限，忽略b的作用 k定倾斜方向，b定上下位置，两者结合判断象限 直线平移运算 左右平移直接在式子末尾加减m，不对x整体变形 左右平移只针对自变量x，必须添加括号变形 两直线平行条件 只记住k1=k2，忽略b1≠b2 平行要求斜率相等、截距不等；k、b全相等则直线重合 题型1.正比例函数的图象 【典例】请写出一个只过第二、四象限的正比例函数_____________． 【跟踪专练1】正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【跟踪专练2】在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是___________． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数和（m，n为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型2.正比例函数的性质 【典例】对于正比例函数，随的增大而增大，则的值可以是__________．（写一个即可） 【跟踪专练1】如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 【跟踪专练2】已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 题型3.判断一次函数的图象 【典例】在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【跟踪专练2】已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型4.函数解析式判定经过象限 【典例】已知一次函数（，），则该函数的图像不经过第_________象限． 【跟踪专练1】已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 【跟踪专练3】已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型5.函数经过的象限求参数范围 【典例】若一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是_______．（写出一个符合题意的值即可） 【跟踪专练1】已知一次函数（）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 【跟踪专练3】一次函数和（均为不等于0的常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ）． A．B．C．D． 题型6.一次函数图象与坐标轴交点问题 【典例】函数的图象如图所示，当时，_________． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，设直线与坐标轴围成的直角三角形的面积为，则________________． 【跟踪专练3】直线与直线在同一坐标系中的位置可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 题型7.画一次函数图象 【典例】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（　　） x 2 1 1 2 y 12 10 8 4 A．（2，4） B．（1，8） C．（1，10） D．（2，12） 【跟踪专练1】一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 【跟踪专练2】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 题型8.一次函数图象平移问题 【典例】若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． 【跟踪专练2】若将直线向下平移3个单位长度后，经过点，则k的值为___________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9.一次函数图象对称问题 【典例】若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【跟踪专练2】若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 题型10.判断一次函数增减性 【典例】已知点，都在一次函数的图象上．若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知下列函数：①y＝x＋1；②y＝x-2；③y＝-x＋1；④y＝-x-2．其中，y随x的增大而增大的有_______________（填写所有正确选项的序号）． 【跟踪专练2】如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 题型11.由一次函数增减性求参数 【典例】若一次函数的函数值随自变量的增大而减小，则实数的取值范围是___________． 【跟踪专练1】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 【跟踪专练3】已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 题型12.函数增减性判断自变量变化 【典例】．点，都在直线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较大小 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，的最大值是______． 【跟踪专练2】已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 题型13.一次函数值大小比较 【典例】已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练1】已知，如果，则的取值范围是___________． 【跟踪专练2】已知，，是直线上的三点，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 题型14.一次函数的规律探究 【典例】如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线的解析式为，点坐标为，过作轴交于，过作交轴于，过作轴交于，过作交轴于，，按此规律进行下去，则的坐标为______． 【跟踪专练2】小明同学在研究某一次函数的图象时，发现表中有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值的坐标是     x … 1 2 … y … 12 10 4 1 … A． B． C． D． 解答题 1．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中随的增大而减小，求的值； (2)若函数的图象过第一，三象限，求的值． 2．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 3．已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 4．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 5．已知一次函数（，是常数，且）． (1)若该一次函数的图象经过点和，求该一次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，求该一次函数的函数值的取值范围； (3)当时，设该一次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $