专题14函数基础与一次函数意义暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题14函数基础与一次函数意义暑假预习讲义 1. 能够结合实际情境辨别常量与变量，分清自变量和因变量，知晓因变量随自变量取值变化而改变。 2. 理解函数的概念，牢牢把握“自变量任取一个确定数值，因变量有唯一数值与之对应”这一核心条件，可以准确判断两个变量间是否属于函数关系。 3. 会依据实际问题列出函数解析式，代入自变量数值求解对应的函数值，结合生活场景确定自变量合理取值范围。 4. 熟记一次函数通用解析式，明晰正比例函数是特殊的一次函数，能依据定义辨别一次函数、正比例函数，借助概念求解解析式中字母参数。 5. 逐步建立变量对应思想，完成从固定算数计算向动态函数思维的转变，为后续学习一次函数图像与应用打好基础。 6. 规避常见错误：单纯把字母全部当作变量；忽略函数唯一对应要求；判定一次函数时遗漏一次项系数不等于0、自变量次数为1的条件；忽略实际情境下自变量的取值限制。 预习必备 知识梳理 1.函数完整定义 2.自变量取值范围 3.函数的三种表示方法 4.一次函数.正比例函数定义 5.函数图象画法 高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.表格表示变量间的关系 2.关系式表示变量间的关系 3.图象法表示变量间的关系 4.函数的概念 5.函数解析式 6.求自变量的取值范围 7.求自变量的值或函数值 8.函数的三种表示方法 9.函数图象识别 10.从函数图象中获取信息 11.用描点法画函数图象 12.动点问题的函数图象 13.正比例函数的定义 14.识别一次函数 15.由一次函数的定义求参数 16.求一次函数自变量或函数值 17.列一次函数解析式并求值 18.求一次函数解析式 强化题型 解答题7题 知识点 01 函数完整定义 在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数； 其中：x叫做自变量（主动变化），y叫做因变量（随x变化）。 函数两大核心判定条件（缺一不可） 1 存在两个变量； ② x取任意一个允许值，有且只有一个y与之对应（一对一、多对一可以，一对多不是函数）。 判定图像专用：垂线检验法 在坐标系内，任意作一条垂直于x轴的直线，若直线与图形最多只有 1 个交点，则y是x的函数；若出现 2 个及以上交点，不是函数。 知识点 02 自变量取值范围（必考） 分类取值规则表格 函数解析式类型 取值限制条件 举例 整式y=kx+b 全体实数，无限制 y=2x-3，x可取任意数 分式（分母含x） 分母≠0 y=，(x≠2) 二次根式（根号内含x） 被开方数≥0 y=，(x≥-1) 实际问题（长度、人数） 符合现实意义（正数、整数） 人数x：x为正整数；长度x>0 知识点03:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 知识点 04 一次函数、正比例函数定义 1. 一次函数标准形式 形如 y=kx+b（k、b为常数，k≠0），x是自变量，y是x的一次函数。 判定三要素： ① x的次数为1 次； ② x的系数(k≠0)； ③ 等号左右两边为整式（分母、根号不含x）。 2. 正比例函数（特殊一次函数） 当一次函数中常数项b=0时，解析式简化为y=kx(k≠0），叫做正比例函数。 3.两者从属关系 正比例函数 一次函数；正比例一定是一次函数，一次函数不一定是正比例。 4.正反举例 ✅是一次函数：y=5x-2、\(y=-x\)（正比例） ❌ 不是一次函数：y=x2+1（次数 2）、y=（分式）、k=0时y=2（无自变量） 知识点05:函数图象的画法（三步） 描点法画函数图象 从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 知识点 06 一次函数解析式判定步骤 1.化简式子，去掉括号、移项整理成y=… 形式； 2.检查x的次数是否为 1； 3.检查x的系数k是否不等于 0； 4.确认无分式、根式内含自变量。 知识点 07 简单实际问题列一次函数关系式 建模步骤 1.确定自变量x、因变量y； 2.找出题目等量关系； 3.整理为y=kx+b标准形式； 4.标注自变量取值范围（结合实际）。 常见模型 行程：y=vx+s0； 销售：总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本； 弹簧伸长：总长 = 原长 + 伸长量。 知识点08：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 常量与变量的相对性 脱离同一变化过程判定常量、变量；把当作变量 常量、变量依附具体变化过程定义；是固定常数，恒为常量 函数的定义判定 认为只要存在两个变量就是函数；一对多对应关系判定为函数 对于x每一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应；一对多不是函数 垂线检验法判断函数图像 竖直线与图像有多个交点，仍判定是函数图像 垂直于x轴的直线与图像最多只有 1 个交点，才是函数图像 一次函数、正比例函数判定 忽略核心条件k≠0；把x2、判定为一次函数；误认为所有一次函数都是正比例函数 一次函数：y=kx+b(k≠0)；正比例函数：b=0的特殊一次函数；x次数必须为 1，且解析式为整式 自变量与因变量区分 颠倒自变量x、因变量y x主动变化（自变量）；y随x变化（因变量） 解析式自变量取值限制 分式忘记分母0；二次根式忘记被开方数0 分式：分母整体≠0；二次根式：中被开方数A0 实际问题自变量范围 直接写全体实数，忽略现实意义约束 人数、长度、物品数量等：x>0，人数、个数还需为正整数 求函数值代入计算 负数代入缺少括号，符号运算出错；已知y反求x移项不变号 代入负数整体加括号；解方程严格遵循移项变号规则 点坐标代入解析式求参数 横纵坐标代反；正负号抄写、计算失误 图像上点(m,n)，对应代入x=m、y=n进行运算 含参数函数求值 只满足x次数为 1，遗漏k≠0、分母不为 0 等隐藏限制 所有限定条件需同时满足，不能遗漏隐藏限制 三种函数表示方法 混淆解析法、列表法、图象法优缺点；误认为只有直线是函数图像 曲线、折线、直线都可以是函数图像；三种表示方法各有适用场景 建立实际问题函数模型 等量关系分析错误；写出解析式不标注自变量取值范围 列出关系式后必须结合题意写明自变量取值范围 题型1.表格表示变量间的关系 【典例】某地区利用农业无人机进行播种作业，当无人机充满电起飞后，电池剩余电量（单位：）与航程（单位：）之间存在如下表所示的关系．当航程为时，估计无人机电池剩余电量为___________． 航程/ 0 1 2 3 4 剩余电量/（） 40 36 32 28 24 【跟踪专练1】旅客乘车按照规定可以携带一定量的行李，若超过规定，则需购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的关系如下表： 行李重量x/千克 … 80 100 120 … 行李费用y/元 … 10 15 20 … 根据表中信息，可知携带130千克行李所需费用是________元． 【跟踪专练2】某快递公司同城快递的收费标准见下表（邮寄物品的质量不足按计算）： 质量/ 1 2 3 4 5 … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是邮寄物品的质量，因变量是快递总费用 B．邮寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当邮寄物品的质量为时，快递费用为元 D．邮寄物品的质量每增加，快递费用增加元 题型2.关系式表示变量间的关系 【典例】一支签字笔的单价为2.5元，某同学拿了20元钱去购买了（）支该型号的签字笔．则剩余的钱与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】郑州市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费10元；超过3千米，超过的部分按每千米元收费，已知小王乘出租车行驶了x（）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的关系式为__________． 【跟踪专练2】如图，梯形的上底是，下底是15，高是6，面积是．下列结论正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时， C．与的关系式为 D．当每增加1时，增加6 题型3.图象法表示变量间的关系 【典例】下列图象中能大致刻画室内恒温时一玻璃杯内的开水的温度与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，有四幅图象（从左到右排列），分别表示变量之间的关系．请根据图象从左到右的顺序，将下列四个情境与图像进行匹配，并将正确的情境序号按顺序填写在横线上． 情境：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系； ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 作答：正确的顺序是______． 【跟踪专练2】《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（     ）比较符合故事情节． A．B． C．D． 题型4.函数的概念 【典例】2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（     ） A．飞船的总质量 B．飞船的飞行高度 C．剩余燃料的质量 D．飞船的飞行时间 【跟踪专练1】下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【跟踪专练2】下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型5.函数解析式 【典例】一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数与入库所需的天数之间关系如下表： 每天入库吨数 500 250 100 50 … 入库所需天数 1 2 5 10 … 用式子表示与的关系为__________． 【跟踪专练2】如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 题型6.求自变量的取值范围 【典例】下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】函数中的取值范围为___________． 【跟踪专练2】在函数y＝中，自变量x的取值范围是（    ） A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2 题型7.求自变量的值或函数值 【典例】下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【跟踪专练2】定义：对任意的，都有．例如：当时，，即；当时，，即．当时，则，解得，即．下列选项中错误的是（     ） A． B．当时，则 C． D．当时，则 题型8.函数的三种表示方法 【典例】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 39.45 根据表格可知，下列说法正确的是（    ） A．氮肥施用量越大，土豆产量越高 B．氮肥施用量是110kg时，土豆产量为32t C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg 【跟踪专练1】农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【跟踪专练2】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   题型9.函数图象识别 【典例】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【跟踪专练1】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【跟踪专练2】甲工程队铺设一条光缆，施工一段时间后，遇暴雪天气停工了一段时间．复工后为了提高工作效率，乙工程队加入了光缆铺设工作．下面能够正确反映此次光缆铺设工作情况的是图（     ） A． B． C． D． 题型10.从函数图象中获取信息 【典例】如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（     ） A．惊蛰 B．立夏 C．秋分 D．冬至 【跟踪专练1】刻漏是我国古代的一种计时工具，某小组制作了一个简易的刻漏计时工具（图①）．打开节流阀，甲容器里的水匀速流到乙容器中，甲容器中的水面高度与流水时间之间关系如图②所示，则水面高度下降的速度为___________． 【跟踪专练2】小明和父母去散步，从家走了到达一个离家的宣传亭前，他母亲因故随即按原速返回．小明父亲在该宣传亭前花对小明讲述了几个“家风家训家规”故事后，用返回家中．下面的图象中哪一个表示小明和父亲离家后的时间与离家距离之间的关系？哪一个表示小明母亲行走过程？（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型11.用描点法画函数图象 【典例】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 【跟踪专练1】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【跟踪专练2】在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 题型12.动点问题的函数图象 【典例】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【跟踪专练1】．如图1，正方形的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其中所在的直线关系式为 _____． 【跟踪专练2】如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 题型13.正比例函数的定义 【典例】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为________． 【跟踪专练2】如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 题型14.识别一次函数 【典例】下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【跟踪专练2】下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 题型15.由一次函数的定义求参数 【典例】函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【跟踪专练1】已知函数，当____________时，它是一次函数，这个一次函数是____________． 【跟踪专练2】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型16.求一次函数自变量或函数值 【典例】已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，对于函数，当___________时，． 【跟踪专练2】，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 题型17.列一次函数解析式并求值 【典例】阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是_____________； 【跟踪专练2】北京烤鸭，是享誉中外的经典名菜，更是中式美食里的代表性名片．某烤鸭店经过多次试验，得到鸭的质量（单位：）和烤制时间（单位：）之间符合一次函数关系，它们的几组对应值如下： 鸭的质量 0.5 1 1.5 烤制时间 50 60 70 当时，的值为（     ） A．100 B．102.5 C．105 D．110 题型18.求一次函数解析式 【典例】现有长、宽分别为和的矩形，若保持其宽不变，将长减少，新矩形的面积记为，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下表是加热食用油时油温随时间的变化情况： 时间 0 5 10 15 20 油温 10 10 20 30 40 则加热油温到需要时间为：__________ 【跟踪专练2】在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 解答题 1．学校组织郊外活动，两个兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离（单位：）和第一组出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)第一组步行速度为_________，第二组的步行速度为_________；第二组从出发到抵达目的地共用了_________． (2)直接写出第一组出发至的时间段的与的关系式．并求出第一组出发后多少时间，两组之间的距离为？ 2．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 3．李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又每千克降价1.6元出售．售出黄瓜的质量（）与他手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）的关系如图，结合图象解答下列问题： (1)李大爷自带的零钱是多少？ (2)黄瓜的市场价是多少？ (3)他一共批发了多少千克的黄瓜？ (4)请问：李大爷亏了还是赚了？若亏（赚）了，则亏（赚）多少钱？ 4．已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 5．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 6．通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直，（、均不为0）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： (1)若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． (2)若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 7．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14函数基础与一次函数意义暑假预习讲义 1. 能够结合实际情境辨别常量与变量，分清自变量和因变量，知晓因变量随自变量取值变化而改变。 2. 理解函数的概念，牢牢把握“自变量任取一个确定数值，因变量有唯一数值与之对应”这一核心条件，可以准确判断两个变量间是否属于函数关系。 3. 会依据实际问题列出函数解析式，代入自变量数值求解对应的函数值，结合生活场景确定自变量合理取值范围。 4. 熟记一次函数通用解析式，明晰正比例函数是特殊的一次函数，能依据定义辨别一次函数、正比例函数，借助概念求解解析式中字母参数。 5. 逐步建立变量对应思想，完成从固定算数计算向动态函数思维的转变，为后续学习一次函数图像与应用打好基础。 6. 规避常见错误：单纯把字母全部当作变量；忽略函数唯一对应要求；判定一次函数时遗漏一次项系数不等于0、自变量次数为1的条件；忽略实际情境下自变量的取值限制。 预习必备 知识梳理 1.函数完整定义 2.自变量取值范围 3.函数的三种表示方法 4.一次函数.正比例函数定义 5.函数图象画法 高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.表格表示变量间的关系 2.关系式表示变量间的关系 3.图象法表示变量间的关系 4.函数的概念 5.函数解析式 6.求自变量的取值范围 7.求自变量的值或函数值 8.函数的三种表示方法 9.函数图象识别 10.从函数图象中获取信息 11.用描点法画函数图象 12.动点问题的函数图象 13.正比例函数的定义 14.识别一次函数 15.由一次函数的定义求参数 16.求一次函数自变量或函数值 17.列一次函数解析式并求值 18.求一次函数解析式 强化题型 解答题7题 知识点 01 函数完整定义 在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数； 其中：x叫做自变量（主动变化），y叫做因变量（随x变化）。 函数两大核心判定条件（缺一不可） 1 存在两个变量； ② x取任意一个允许值，有且只有一个y与之对应（一对一、多对一可以，一对多不是函数）。 判定图像专用：垂线检验法 在坐标系内，任意作一条垂直于x轴的直线，若直线与图形最多只有 1 个交点，则y是x的函数；若出现 2 个及以上交点，不是函数。 知识点 02 自变量取值范围（必考） 分类取值规则表格 函数解析式类型 取值限制条件 举例 整式y=kx+b 全体实数，无限制 y=2x-3，x可取任意数 分式（分母含x） 分母≠0 y=，(x≠2) 二次根式（根号内含x） 被开方数≥0 y=，(x≥-1) 实际问题（长度、人数） 符合现实意义（正数、整数） 人数x：x为正整数；长度x>0 知识点03:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 知识点 04 一次函数、正比例函数定义 1. 一次函数标准形式 形如 y=kx+b（k、b为常数，k≠0），x是自变量，y是x的一次函数。 判定三要素： ① x的次数为1 次； ② x的系数(k≠0)； ③ 等号左右两边为整式（分母、根号不含x）。 2. 正比例函数（特殊一次函数） 当一次函数中常数项b=0时，解析式简化为y=kx(k≠0），叫做正比例函数。 3.两者从属关系 正比例函数 一次函数；正比例一定是一次函数，一次函数不一定是正比例。 4.正反举例 ✅是一次函数：y=5x-2、\(y=-x\)（正比例） ❌ 不是一次函数：y=x2+1（次数 2）、y=（分式）、k=0时y=2（无自变量） 知识点05:函数图象的画法（三步） 描点法画函数图象 从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 知识点 06 一次函数解析式判定步骤 1.化简式子，去掉括号、移项整理成y=… 形式； 2.检查x的次数是否为 1； 3.检查x的系数k是否不等于 0； 4.确认无分式、根式内含自变量。 知识点 07 简单实际问题列一次函数关系式 建模步骤 1.确定自变量x、因变量y； 2.找出题目等量关系； 3.整理为y=kx+b标准形式； 4.标注自变量取值范围（结合实际）。 常见模型 行程：y=vx+s0； 销售：总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本； 弹簧伸长：总长 = 原长 + 伸长量。 知识点08：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 常量与变量的相对性 脱离同一变化过程判定常量、变量；把当作变量 常量、变量依附具体变化过程定义；是固定常数，恒为常量 函数的定义判定 认为只要存在两个变量就是函数；一对多对应关系判定为函数 对于x每一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应；一对多不是函数 垂线检验法判断函数图像 竖直线与图像有多个交点，仍判定是函数图像 垂直于x轴的直线与图像最多只有 1 个交点，才是函数图像 一次函数、正比例函数判定 忽略核心条件k≠0；把x2、判定为一次函数；误认为所有一次函数都是正比例函数 一次函数：y=kx+b(k≠0)；正比例函数：b=0的特殊一次函数；x次数必须为 1，且解析式为整式 自变量与因变量区分 颠倒自变量x、因变量y x主动变化（自变量）；y随x变化（因变量） 解析式自变量取值限制 分式忘记分母0；二次根式忘记被开方数0 分式：分母整体≠0；二次根式：中被开方数A0 实际问题自变量范围 直接写全体实数，忽略现实意义约束 人数、长度、物品数量等：x>0，人数、个数还需为正整数 求函数值代入计算 负数代入缺少括号，符号运算出错；已知y反求x移项不变号 代入负数整体加括号；解方程严格遵循移项变号规则 点坐标代入解析式求参数 横纵坐标代反；正负号抄写、计算失误 图像上点(m,n)，对应代入x=m、y=n进行运算 含参数函数求值 只满足x次数为 1，遗漏k≠0、分母不为 0 等隐藏限制 所有限定条件需同时满足，不能遗漏隐藏限制 三种函数表示方法 混淆解析法、列表法、图象法优缺点；误认为只有直线是函数图像 曲线、折线、直线都可以是函数图像；三种表示方法各有适用场景 建立实际问题函数模型 等量关系分析错误；写出解析式不标注自变量取值范围 列出关系式后必须结合题意写明自变量取值范围 题型1.表格表示变量间的关系 【典例】某地区利用农业无人机进行播种作业，当无人机充满电起飞后，电池剩余电量（单位：）与航程（单位：）之间存在如下表所示的关系．当航程为时，估计无人机电池剩余电量为___________． 航程/ 0 1 2 3 4 剩余电量/（） 40 36 32 28 24 【答案】 【分析】由表中数据分析，得到航程每增加时，剩余电量就减少，从而得到答案． 【详解】解：由表中数据分析，当航程每增加时，剩余电量就减少， 当航程为时，比增加了，则无人机电池剩余电量比减少，为． 【跟踪专练1】旅客乘车按照规定可以携带一定量的行李，若超过规定，则需购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的关系如下表： 行李重量x/千克 … 80 100 120 … 行李费用y/元 … 10 15 20 … 根据表中信息，可知携带130千克行李所需费用是________元． 【答案】 【详解】解：观察可知，行李重量每增加1千克，行李费用增加元， 故携带130千克行李所需费用是元. 【跟踪专练2】某快递公司同城快递的收费标准见下表（邮寄物品的质量不足按计算）： 质量/ 1 2 3 4 5 … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是邮寄物品的质量，因变量是快递总费用 B．邮寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当邮寄物品的质量为时，快递费用为元 D．邮寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】本题考查变量的基础概念，根据表格数据逐一判断选项正误即可得到结论． 【详解】解：选项A、快递总费用随着邮寄物品质量的变化而变化， 自变量是邮寄物品的质量，因变量是快递总费用， 故A说法正确； 选项B、由表格数据可知，邮寄物品质量增大时，快递费用随之增大，故B说法正确； 选项C、由表格数据可得，质量每增加，费用增加元， 的费用为元， 的费用为元， 故C说法正确； 选项D、计算相邻费用差得元，元，可知邮寄物品的质量每增加，快递费用增加元，不是元， 故D说法不正确． 题型2.关系式表示变量间的关系 【典例】一支签字笔的单价为2.5元，某同学拿了20元钱去购买了（）支该型号的签字笔．则剩余的钱与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“剩余的钱总钱数购买签字笔花去的钱”推导关系式即可. 【详解】解：∵购买支签字笔，单价为元， ∴花去的总费用为元， 又∵带的总钱数为元，剩余钱数为， ∴. 【跟踪专练1】郑州市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费10元；超过3千米，超过的部分按每千米元收费，已知小王乘出租车行驶了x（）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】根据小王乘出租车行驶路程可得超过3千米，按超过3千米收费，根据收费规则即可列函数关系式． 【详解】解：∵， ∴按超过3千米付费， ∴， ∴， ∴所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的关系式为． 【跟踪专练2】如图，梯形的上底是，下底是15，高是6，面积是．下列结论正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时， C．与的关系式为 D．当每增加1时，增加6 【答案】B 【分析】根据梯形的面积公式列出与的关系式，进而对各选项进行判断即可． 【详解】解：由梯形的面积公式可得：， 可知当增大时，增大，故A选项错误； 当时，，故B选项正确； 与的关系式为，故C选项错误； 当每增加时，增加，故D选项错误． 题型3.图象法表示变量间的关系 【典例】下列图象中能大致刻画室内恒温时一玻璃杯内的开水的温度与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据生活常识和物理热传递规律分析：开水温度高于室温，随时间推移温度会逐渐降低，最终趋于室温并保持不变，且降温速度是先快后慢． 【详解】解：开水的初始温度较高，远高于室内温度， 图象的起点在纵轴上方某处，且随时间增加温度呈下降趋势，排除A、D， 温差越大降温越快，温差越小降温越慢， 图象应为先陡峭后平缓的曲线，排除B， 水温降至室温后，不再发生热传递，温度保持不变， 图象最终应趋于一条高于横轴的水平线，C选项符合题意． 【跟踪专练1】如图所示，有四幅图象（从左到右排列），分别表示变量之间的关系．请根据图象从左到右的顺序，将下列四个情境与图像进行匹配，并将正确的情境序号按顺序填写在横线上． 情境：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系； ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 作答：正确的顺序是______． 【答案】①③④② 【分析】根据情境描述，逐一对应题目中的图象． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系，对应图1； ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系，对应图4； ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系，对应图2； ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系，对应图3． 【跟踪专练2】《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（     ）比较符合故事情节． A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据故事情节分析水位随时间的变化趋势：初始有水、入水上升、等待不变、破缸下降． 【详解】∵瓮中原有水， ∴初始时刻水的高度不为，图象起点在轴正半轴上，排除A选项； ∵一儿登瓮，足跌没水中，小孩占据体积导致水面上升， ∴图象应有一段上升过程，排除B选项； ∵众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸， ∴缸破后水流出，水位迅速下降，图象应有一段下降过程，排除C选项； 综上所述，图D符合“起始非零上升持平下降”的变化规律． 题型4.函数的概念 【典例】2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（     ） A．飞船的总质量 B．飞船的飞行高度 C．剩余燃料的质量 D．飞船的飞行时间 【答案】B 【详解】解：∵在一个变化过程中，主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量， 又根据题意，剩余燃料的质量随飞船飞行高度的增加而减少，飞行高度是主动变化的量， ∴自变量是飞船的飞行高度. 【跟踪专练1】下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【答案】 【分析】函数定义为：在一个变化过程中，有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此对三个情景逐一判断即可. 【详解】解：对于时间的每一个确定的值，气温都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 对于正方形边长的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 由题意可得，当时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； ∴能表示是的函数的是． 【跟踪专练2】下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：前两个图象，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数， 后两个图，对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数， 所以，以上图象中，表示y是x的函数的个数有2个． 题型5.函数解析式 【典例】一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式． 【详解】根据题意可得． 【跟踪专练1】某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数与入库所需的天数之间关系如下表： 每天入库吨数 500 250 100 50 … 入库所需天数 1 2 5 10 … 用式子表示与的关系为__________． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，理解表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值的变化规律是正确解答的关键． 根据表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值的变化规律进行解答即可． 【详解】解：由表格中入库的天数d与每天入库的吨数v的对应值可得，，即入库的天数d与每天入库的吨数v的乘积相等， 所以入库的天数d与每天入库的吨数v成反比例关系， 设，所以， 所以入库的天数d与每天入库的吨数v的关系式为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】篱笆总长应恰好为25米，据此列出等式．根据题意可得，继而可得出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可知，， 所以． 题型6.求自变量的取值范围 【典例】下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不同类型函数表达式的限制条件分别判断即可，整式函数自变量可取全体实数，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 【详解】对选项A，是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数； 对选项B，是二次根式形式，要求被开方数非负， 可得，解得，不是全体实数； 对选项C，是分式，要求分母不为零，可得，不是全体实数； 对选项D，是分式，要求分母不为零，可得，即，不是全体实数． 【跟踪专练1】函数中的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 【跟踪专练2】在函数y＝中，自变量x的取值范围是（    ） A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式的意义可知：x-1≥0，即x≥1， 根据分式的意义可知：x-2≠0，即x≠2， ∴x≥1且x≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 题型7.求自变量的值或函数值 【典例】下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y值若与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在． 【详解】解：A、当时，，∴点不在函数图象上； B、当时，，∴点不在函数图象上； C、当时，，∴点不在函数图象上； D、当时，，∴点在函数图象上． 【跟踪专练1】已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 【跟踪专练2】定义：对任意的，都有．例如：当时，，即；当时，，即．当时，则，解得，即．下列选项中错误的是（     ） A． B．当时，则 C． D．当时，则 【答案】C 【分析】根据给出的函数定义，通过代入求值和解分式方程，逐一判断选项正误即可解答． 【详解】解：已知对任意，，逐一验证选项： 对选项：，正确； 对选项：当时，，解得，经检验是该分式方程的解，正确； 对选项：，错误； 对选项：当时，，解得，经检验是该分式方程的解，正确． 题型8.函数的三种表示方法 【典例】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 39.45 根据表格可知，下列说法正确的是（    ） A．氮肥施用量越大，土豆产量越高 B．氮肥施用量是110kg时，土豆产量为32t C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg 【答案】C 【分析】从表格中的变量之间的变化关系以及对应值逐项进行判断即可． 【详解】解：A．随着氮肥施用量的增大，土豆产量先是逐渐的增加，然后又逐渐减少，因此选项A不符合题意； B．氮肥施用量是101kg时，土豆产量大约为32.29t，因此选项B不符合题意； C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷,故此选项正确，符合题意； D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量为202kg或471kg，因此选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义及其变化关系是正确判断的前提． 【跟踪专练1】农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【答案】840 【分析】观察表格数据可得y=20x，可得施工8天后y的值，进而求出未铺设的管道长度． 【详解】解：观察表格数据可知： y＝20x， 当x＝8时，y＝160， 所以未铺设的管道长度为：1000﹣160＝840（米）． 故答案为：840. 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 【跟踪专练2】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义是在一个变化过程中有两个变量，对于每一个变量取一个值，有唯一值与其对应，就说是的函数，判断即可． 【详解】解：∵C选项的图象显示对于一个有两个值与其对应， ∴C选项不能表示是的函数． 题型9.函数图象识别 【典例】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察可知，只有选项A中的图象满足对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数； 其他选项中，都存在一个确定的的值，对应2个值，y不是x的函数. 【跟踪专练1】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 【跟踪专练2】甲工程队铺设一条光缆，施工一段时间后，遇暴雪天气停工了一段时间．复工后为了提高工作效率，乙工程队加入了光缆铺设工作．下面能够正确反映此次光缆铺设工作情况的是图（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：刚开始施工的速度慢，暴雪停工几天，后来施工速度加快， 故选项D符合题意. 题型10.从函数图象中获取信息 【典例】如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（     ） A．惊蛰 B．立夏 C．秋分 D．冬至 【答案】D 【分析】观察函数图象，找出纵坐标小于的点对应的节气． 【详解】解：由图象可知，惊蛰、立夏、秋分对应的白昼时长均大于小时，冬至对应的白昼时长小于小时， 白昼时长不足小时的节气是冬至 ． 【跟踪专练1】刻漏是我国古代的一种计时工具，某小组制作了一个简易的刻漏计时工具（图①）．打开节流阀，甲容器里的水匀速流到乙容器中，甲容器中的水面高度与流水时间之间关系如图②所示，则水面高度下降的速度为___________． 【答案】 【分析】由图象可得，水面高度下降，需要，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，水面高度下降，需要， ∴水面高度下降的速度为． 【跟踪专练2】小明和父母去散步，从家走了到达一个离家的宣传亭前，他母亲因故随即按原速返回．小明父亲在该宣传亭前花对小明讲述了几个“家风家训家规”故事后，用返回家中．下面的图象中哪一个表示小明和父亲离家后的时间与离家距离之间的关系？哪一个表示小明母亲行走过程？（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据题意分析小明的母亲、小明和小明父亲的行程时间与离家距离的变化关系，结合图象的上升、水平、下降阶段及对应的时间节点进行判断． 【详解】解：对于小明的母亲：从家走了到达处，随即按原速返回，返回过程没有停留，且速度与去时相同，返回也需要， ∴母亲的图象应为距离增加，距离减小至，对应图象③； 对于小明和小明的父亲：∵去程用了，在宣传亭停留了，返回用了， ∴图象特征为：距离增加至，距离保持不变，距离减小至， ∴小明和小明的父亲的图象对应图象①； 综上所述，小明和小明的父亲对应图象①，母亲对应图象③． 题型11.用描点法画函数图象 【典例】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 【答案】D 【分析】本题考查了描点法画函数图像． 根据描点法画函数图像的作法判断即可． 【详解】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来． 各步均正确． 故选：D． 【跟踪专练1】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 【跟踪专练2】在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 题型12.动点问题的函数图象 【典例】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 【跟踪专练1】．如图1，正方形的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其中所在的直线关系式为 _____． 【答案】 【分析】本题考查函数图象，读懂图意，分析动点P的运动情况及的面积变化情况是解题关键． 【详解】解：由点P的运动可知，图2中段，对应了点P在上运动，如图所示， 此时，则， ∴． 【跟踪专练2】如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐段分析变化趋势即可解答． 【详解】解：由题意得： 当蚂蚁从点O出发，在段，S随t的增大而增大； 在段，S随t的增大逐步变小；蚂蚁在中点时最小，然后逐步变大；其变化为曲线变化． 在段，即蚂蚁在圆弧上时，S不随t的变化而变化； 在段，S随t的增大逐步变小，最后S为0． 综上，选项B符合题意． 题型13.正比例函数的定义 【典例】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． 【跟踪专练1】我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据是某正比例函数的“相关数对”，设这个正比例函数为，根据正比例函数的定义可知，正比例函数的比例系数不为，正比例函数的常数项为，可得：，，从而可以求出的值． 【详解】解：是某正比例函数的“相关数对”， 设这个正比例函数为， 则有，， 由，可得：， 由，可得：， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 【答案】A 【分析】根据可得，则与成一次函数，再根据正方形的面积公式可得，则S与x满足的函数关系是二次函数关系． 【详解】解：由题意得：、 ， ∴与，与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键． 题型14.识别一次函数 【典例】下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数． 【详解】解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义； C、不是整式形式，不符合一次函数定义； D、不是整式形式，不符合一次函数定义． 【跟踪专练1】新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 【跟踪专练2】下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 题型15.由一次函数的定义求参数 【典例】函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，一次函数要求自变量的一次项系数不为，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：函数是关于的一次函数 一次项系数满足 解得， 因此的取值范围是． 【跟踪专练1】已知函数，当____________时，它是一次函数，这个一次函数是____________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为． 根据一次函数的定义，需使二次项系数为零且一次项系数不为零． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴二次项系数 ， 解得 或 ． 又∵一次项系数 ， ∴， ∴． 当 时，函数为． 故答案为：，． 【跟踪专练2】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 题型16.求一次函数自变量或函数值 【典例】已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求参数确定函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得， 一次函数解析式为， 当时，，点在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上． 【跟踪专练1】如图，对于函数，当___________时，． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，将代入解析式求解，即可解题． 【详解】解：当时，， 则或， 解得或； 故答案为：或． 【跟踪专练2】，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 题型17.列一次函数解析式并求值 【典例】阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】总金额等于购买饮水机的总费用加上固定的一次性安装费． 【详解】解：∵每台饮水机800元，购买台饮水机的费用为元，安装费为一次性固定收取1000元， ∴总金额与购买台数之间的关系式为． 【跟踪专练1】已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是_____________； 【答案】Q=50-0.10s． 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s． 故答案为：Q=50-0.10s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 【跟踪专练2】北京烤鸭，是享誉中外的经典名菜，更是中式美食里的代表性名片．某烤鸭店经过多次试验，得到鸭的质量（单位：）和烤制时间（单位：）之间符合一次函数关系，它们的几组对应值如下： 鸭的质量 0.5 1 1.5 烤制时间 50 60 70 当时，的值为（     ） A．100 B．102.5 C．105 D．110 【答案】D 【分析】已知鸭的质量和烤制时间符合一次函数关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出对应的值． 【详解】解：∵和符合一次函数关系， ∴设一次函数解析式为， 将和代入解析式得， 解得 ， ∴一次函数解析式为， 当时，． 题型18.求一次函数解析式 【典例】现有长、宽分别为和的矩形，若保持其宽不变，将长减少，新矩形的面积记为，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定新矩形的长和宽，代入面积公式整理即可得到结果． 【详解】解：∵原矩形长为， ∴长减少后，新矩形的长为， 又∵宽保持不变为， ∴， 整理得． 【跟踪专练1】下表是加热食用油时油温随时间的变化情况： 时间 0 5 10 15 20 油温 10 10 20 30 40 则加热油温到需要时间为：__________ 【答案】 【分析】观察表格数据可知，时，油温与时间满足一次函数关系，先求出函数解析式，再代入求解时间即可． 【详解】解：由表格数据可得，当时，时间每增加，油温升高，符合一次函数特征， 设与的函数解析式为，将，代入解析式得： 解得： 因此函数解析式为， 将代入得：， 解得． 【跟踪专练2】在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】由点，点在一次函数图象上，则，解得，再逐一判断即可 ． 【详解】解：∵点，点在一次函数图象上，点在第一象限内， ∴， 解得：， 、当时， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断正确，符合题意； 解答题 1．学校组织郊外活动，两个兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离（单位：）和第一组出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)第一组步行速度为_________，第二组的步行速度为_________；第二组从出发到抵达目的地共用了_________． (2)直接写出第一组出发至的时间段的与的关系式．并求出第一组出发后多少时间，两组之间的距离为？ 【答案】(1)，，15 (2)，7分钟或19分钟 【分析】（1）由图可得，则全程为，即可得第二组的速度和第二组走完全程的时间； （2）由，可得第一组出发至的时间段的与的关系式，由，可得第一组出发后至的时间段的与的关系式，令，即可求得第一组出发后多少时间，两组之间的距离为． 【详解】（1）解：由图可得，第一组的速度为， ∴全程路程为， 由图可知，当第一组抵达目的地时，第二组距离目的地还有， ∴第二组的速度为， ∴第二组走完全程的时间为． （2）解：∵， ∴由题意可得，第一组出发至的时间段的与的关系式为， ∵， ∴由题意可得，第一组出发后至的时间段的与的关系式为， ∴第一组出发至的时间段的与的关系式为， ，，解得， ，，解得， 答：第一组出发后7分钟或19分钟时，两组距离为420米． 2．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 【答案】(1) (2)当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为时，气温是 【分析】（1）根据表格中气温随海拔高度变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （2）把代入中，求出h；根据海拔高度超过11千米，气温几乎不变，求出时的t值，进行解答即可． 【详解】（1）解：在的基础上，高度每增加1千米，气温降低， ∴； （2）解：当时，由， 解得； ∵海拔高度超过11千米，气温几乎不变， ∴当海拔高度为15千米时，气温与海拔高度为11千米时相同， 将代入， 则， 答：当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为千米时，气温是． 3．李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又每千克降价1.6元出售．售出黄瓜的质量（）与他手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）的关系如图，结合图象解答下列问题： (1)李大爷自带的零钱是多少？ (2)黄瓜的市场价是多少？ (3)他一共批发了多少千克的黄瓜？ (4)请问：李大爷亏了还是赚了？若亏（赚）了，则亏（赚）多少钱？ 【答案】(1)李大爷自带的零钱为50元 (2)黄瓜的市场价是3.6元 (3)他一共批发了的黄瓜 (4)李大爷赚了，一共赚了144元钱 【分析】（1）图象与y轴的交点就是李大爷自带的零钱； （2）根据题意得到，计算即可求解； （3）根据题意计算即可求解； （4）赚的钱=总收入-批发黄瓜用的钱． 【详解】（1）解：由题图可得，李大爷自带的零钱为50元； （2）解：（元）． 答：黄瓜的市场价是3.6元； （3）解：， ． 答：他一共批发了的黄瓜； （4）解：（元）． 答：李大爷赚了，一共赚了144元钱． 4．已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． （1）先根据一次函数的定义求出m的值，进而可得解析式； （2）把代入一次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在一次函数图象上，否则不在． 【详解】（1）解：因为函数是关于的一次函数， 所以，所以． 又因为当时，，不合题意，舍去； 所以的值为， 所以． （2）解：由（1）可知，此函数的表达式为． 当时，， 所以点在此函数图象上． 5．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 【答案】函数关系式为，山高为 【分析】先求出每升高，气温下降，再根据山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温求出函数关系式，将代入函数关系式计算即可． 【详解】解：已知海拔每增加，气温下降， 因此每升高，气温下降． 山脚气温为，山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温， 因此函数关系式为：， 将山顶温度代入函数关系式得：， 解得． 6．通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直，（、均不为0）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： (1)若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． (2)若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)直线与（1）中直线不垂直．理由： 将点代入直线，可得， 因为，故两直线不垂直． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，根据两直线互相垂直的条件进行判断即可． 【详解】（1）解：设该直线的解析式为，直线过点，和点， 则， 解得， 直线的函数解析式为； （2）略 7．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，28 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）根据平行线间距离处处相等，同底等高，可知P在上时，面积不变，由图3可得出动点Q到达点A所用时间； （2）由图2得出P到B所用时间，由图3得出点Q从点C到点A所用时间，根据时间、路程、速度之间关系即可求解； （3）根据题意得出两个动点到达各拐点所用时间，结合图2，图3即可求解； （4）分情况讨论：和两种情况． 【详解】（1）解：长方形中，，， ， 当动点P在线段上运动时，，保持不变； 由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28； （2）解：由图2得，点P到达点B所用时间为：， ， 解得； 由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ， ， 解得； （3）解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D， 当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A， 结合图2，3，可得： 当时，，， 令，得：， 解得； 当时，，， 满足， 综上可得，x的取值范围为或； （4）解：设动点P，Q走过的路程为，， 当时， ，， ； 当时， ， ， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $