5.3 一次函数的意义（7大基础题型+1大巩固提升）（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

5.3 一次函数的意义 题型一：判断是否为一次函数 1．(25-26八上·宁夏银川第三中学·期中)下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如 （）的函数是一次函数，逐一判断各函数是否符合. 【详解】∵ 一次函数的一般形式为 （）， ① ，符合定义； ② ，分母含自变量 ，不是整式，不符合定义； ③ ，符合定义； ④ ，符合定义； ⑤ ，最高次项为2次，不符合定义； ∴ 是一次函数的有①、③、④，共3个. 故选：C. 2．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义判断即可． 【详解】解：A.是一次函数，符合题意； B.不是一次函数，不符合题意； C.不是一次函数，不符合题意； D.不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 3．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意； B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意； D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 4．(24-25八下·河北廊坊第十六中学·月考)下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 5．(24-25八下·上海浦东新区川沙中学·期末)下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 6．有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k，b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①，变形为，符合一次函数的定义， ②不符合一次函数的定义， ③符合一次函数的定义， ④，变形为，符合一次函数的定义， ⑤不符合一次函数的定义， 综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个， 故选：C． 题型二：根据一次函数的定义求参数 1．(25-26八上·山东济南育英中学教育集团·月考)已知是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 的函数叫做一次函数；由题意得：且，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为： 2．(25-26八上·四川巴中平昌县兰草小学·月考)若函数（为常数）是一次函数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的式子，就叫做是的一次函数，据此进行列式得，计算得出，即可作答． 【详解】解：∵函数（为常数）是一次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 3．已知函数． （1）当 时，是的一次函数； （2）当 时，是的正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． （1）根据一次函数的定义可知，求出的取值范围即可； （2）根据正比例函数的定义可知且，从而可求得m的值． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义可知：， 解得：． （2）∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：． 故答案为：；． 4．对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此即可解答． 【详解】当是关于的正比例函数时，得，， 解得； 当是关于的一次函数时，得， 解得； 故答案为：， 5．(25-26八上·甘肃白银·期中)已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 6．已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 题型三：判断一个点是否在一次函数上 1．下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征.理解一次函数图像上的点的坐标一定满足关系式是解答关键． 通过将各点的坐标代入直线方程 ，计算对应的值，并与点的坐标比较，判断点是否在直线上． 【详解】解： A、时，，在直线上，故此项符合题意； B、时，，不在直线上，故此项不符合题意； C、时，，不在直线上，故此项不符合题意； D、时，，不在直线上，故此项不符合题意. 故选：A． 2．(24-25八上·福建漳州·期中)下列各点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图像，把各点代入即可求解，掌握一次函数的图像是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴不在函数图像上，不符合题意； 、当时，， ∴在函数图像上，符合题意； 、当时，， ∴不在函数图像上，不符合题意； 、当时，， ∴不在函数图像上，不符合题意； 故选：． 3．(2025九·江苏省苏州市·模拟)下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标对比，判断该点是否在函数图象上． 【详解】解：当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 故选：C． 4．(24-25八下·广东惠州惠阳区惠华学校·月考)下列的点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．依据题意，分别代入各选项中点的横坐标，求出值，再对照各点的纵坐标，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； B．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； C．当时，，点在函数的图象上，选项符合题意； D．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意． 故选：C． 题型四：已知点在一次函数图象上求代数式的值 1．(24-25八上·浙江温州苍南县·期末)已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点、代入函数解析式，联立方程消去，得到与的关系式，然后即可求解. 【详解】解：∵点在函数上， 代入得：, ∴， ∵点在函数上， 代入得：， ∴， ∴ ， 化简得 ，即 ， 故选：A. 2．点在的函数图象上，则代数式 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由点代入函数解析式可得b与a的关系，进而求出的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵点在的函数图象上， ∴， 即， ∴； 故答案为3． 3．(25-26八上·福建三明列东中学·月考)点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，代数式求值． 根据点在函数的图象上，求出，代入计算即可． 【详解】∵点在函数的图象上， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4．(24-25八下·河北唐山路南区友谊中学·月考)若点是直线上一点，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、代数式求值，整体代入是关键． 先求出，再化简代数式，最后整体代入即可． 【详解】点是直线上一点， ，即， 原式 故答案为：8． 5．(24-25九下·福建泉州五中·月考)直线过点，则值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的，再整理体代入计算即可． 【详解】解：将点代入得： ， 即：， ∴． 故答案为：2025． 6．(24-25八上·安徽宿州砀山县·期末)若点，在直线上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义．根据题意得到，将代入函数的解析式，求出函数值作差即可． 【详解】解：点，在直线上，且， ∴， ． 故答案为：． 题型五：利用待定系数法求一次函数解析式 1．(25-26八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由． 【答案】(1) (2)点在一次函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法，将点，代入一次函数，解方程组求和即可； （2）将点的横坐标代入函数解析式，计算值，与点的纵坐标比较即可判断． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 把，代入得： ，解得， 这个一次函数的关系式为； （2）解：点在一次函数的图象上，理由如下： 当时，， 点在一次函数的图象上． 2．(25-26八上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·期中)已知一次函数图象经过点 (1)求这个一次函数解析式； (2)求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)交轴于点，交轴于点 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将，分别代入，即可算得答案． 【详解】（1）解：设一次函数为，代入， ， 解得， ； （2）解：当时，； 当时，，； 那么图象交轴于点，交轴于点． 3．(25-26八上·安徽合肥五十中学西校·期中)已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质． （1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式； （2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为 （2）解：将点代入， 得： 解得： 4．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （ 1）设，然后把，代入求解即可； （ 2）把点代入表达式即可求出m的值． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：将点代入表达式得 ， 解得：． 5．已知一次函数，当自变量时，函数值；当自变量时，函数值．求出该函数的表达式，并画出它的图象． 【答案】该函数的表达式为 ；图象见解析 【分析】此题考查待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数解析式． 设该函数的表达式为，利用待定系数法可求出一次函数解析式，即可求解． 【详解】解：设该函数的表达式为， ∵当自变量时，函数值；当自变量时，函数值， ∴， 解得：， ∴该函数的表达式为 ， 画出它的图象，如图： 6．(24-25八上·安徽宿州第二初级中学·月考)已知平面直角坐标系中三点，试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由． 【答案】A、B、C三点不在同一直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，利用待定系数法求出直线的解析式，再判断点C是否在直线上即可得到结论． 【详解】解：三点不在同一直线上，理由如下： 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴不在直线上， ∴三点不在同一直线上． 7．(24-25八上·江苏新沂第二中学·月考)已知与成一次函数，当时，，当时，． (1)写出与之间的函数关系式． (2)计算时，的值． (3)计算时，的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值和自变量的值，正确求出对应的一次函数解析式是解题的关键． （1）设出对应的解析式并利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中求出y的值即可； （3）把代入（1）所求的函数解析式中求出x的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，； （3）解：在中，当时，． 题型六：判断实际问题中变量是否满足一次函数 1．(25-26八上·山东青岛五区联考·期中)下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，写出两个变量之间的函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选C． 2．(25-26八上·安徽淮北五校·期中)下列属于正比例函数关系的是（   ） A．三角形的底边是常数时，它的面积与这条边上的高 B．仓库的粮食总量为常数，每天的销量与销售的天数 C．行驶的路程是常数时，行驶的速度与时间 D．正方形的面积与它的边长 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数关系的识别，理解正比例函数关系的定义是关键． 正比例函数关系可以用数学方程式表示，其中x和y是两个变量，k是一个常数，叫做比例系数，当x增加时，y同样会增加，并且增加的幅度与x的增加幅度相同；当x减少时，y也会减少，并且减少的幅度与x减少幅度相同，即的比值一定，根据定义判定即可． 【详解】解：A、三角形的底边是常数时，它的面积与这条边上的高， ∵，是常数， ∴的比值一定，属于正比例函数关系，符合题意； B、仓库的粮食总量为常数 ，每天的销量与销售的天数， 不成正比例函数关系，不符合题意； C、行驶的路程是常数时，行驶的速度与时间， ∵，路程是常数， ∴速度与时间不成正比例函数关系，不符合题意； D、正方形的面积与它的边长， ∵， ∴正方形的面积与它的边长不成正比例函数关系，不符合题意； 故选：A ． 3．(24-25八下·广东广州番禺区·期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，分别求出每个情境中变量y与x的函数关系式，判断是否为一次函数即可． 【详解】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为㡳×高，代入底长3，得，即，是正比例函数（一次函数），符合条件； ②：泳池匀速放水，剩余水量与时间的关系为（为初始水量，为放水速度），属于一次函数，符合条件； ③：铺设总长度固定时，每日铺设长度与天数满足（为总长度），不符合一次函数． 综上，满足一次函数关系的是①和②， 故选∶A． 4．(24-25八下·北京丰台区·期末)下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（   ） A．正方形的面积随着边长的变化而变化 B．圆的周长随着半径的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化 D．矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化 【答案】B 【分析】本题主要考查正比例函数的定义．先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A.，是二次函数； B.，是正比例函数； C.，是反比例函数； D.，是一次函数； 故选：B． 5．(24-25八·北京二中教育集团·期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积； ②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间； ③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）． 其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，掌握一次函数的概念是关键；判断每个情境中的变量关系是否为一次函数，需根据一次函数的定义（形如，）逐一分析． 【详解】解：情境①：压强与受力面积的关系为（为定值），此式为反比例函数，不符合一次函数的形式，故①不符合； 情境②：温度与时间的关系为（每分钟下降），此式为，符合一次函数的形式（），故②符合； 情境③：弹簧长度与拉力的关系为（为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合； 综上，符合一次函数的是②③， 故选：B． 6．写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单位：元）与房屋产权面积x（单位：）之间的关系． (2)汽车离开车站后，再以的平均速度继续行驶了，汽车离开车站的距离y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系． 【答案】(1)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． (2)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的概念．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据每月应缴的物业费=单位面积的物业费×房屋面积即可得出答案； （2）依据汽车离开汽车站所走的路程=原来的距离+小时行驶的距离列出关系式即可． 【详解】（1）解：根据题意有，是的一次函数，也是的正比例函数． （2）解：根据题意有，是的一次函数，但不是的正比例函数． 题型七：列一次函数解析式并求值 1．(24-25八下·山东聊城阳谷县实验中学·月考)阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 【答案】(1)且为整数 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出与的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据总费用品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数计算即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，从而得到的最大值即可． 【详解】（1）解：， 与的函数关系为且为整数． （2）根据题意，得，即， 解得． 答：最多可购进品牌红富士苹果箱． 2．(24-25八下·河北石家庄正定县·期中)王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 3．(24-25八上·浙江宁波鄞州区·期末)某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【详解】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 4．(24-25八上·福建宁德霞浦县·期中)某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 5．(24-25八上·陕西咸阳兴平·期中)兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的大蒜质量（kg）与销售收入（元）之间的关系如下表所示． （kg） 1 2 3 4 5 … （元） 10.5 21 31.5 42 52.5 … (1)求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求销售收入的值． 【答案】(1)；是的正比例函数； (2)． 【分析】此题考查了列函数解析式和正比例函数、求函数值等知识． （1）由表格可知： 大蒜质量量每增加，销售收入增加10.5元，据此得到函数解析式，再根据正比例函数的定义进行判断即可； （2）把代入（1）中的函数解析式即可． 【详解】（1）解：由表格可知： 大蒜质量量每增加，销售收入增加10.5元， ∴， 即； 则是的正比例函数； （2）当时，， 即当时，销售收入的值为． 6．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 题型一：一次函数的认识综合解答题 1．【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若 则称为点的“微距值”；若 则称₂为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为． 【知识应用】 (1)点的“微距值”为 ； (2)若点的“微距值”为2， 求a的值； (3)若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标． 【答案】(1)2 (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小． （2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值． （3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标． 【详解】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离． ∵，即， ∴点的“微距值”为 故答案为:2． （2）解：点到轴的距离， ∵点的“微距值”为，且， ∴点到轴的距离． ∴或． （3）解：设点的坐标为， ∵点在直线上， ∴． 情况一：当时 此时，即． 当时，代入，得， 移项可得，即， 解得， 此时， ∵， ∴不满足，舍去． 当时，代入，得， 移项可得，即，解得， 此时，∵，满足， ∴点坐标为． 情况二：当时 此时，即． 当时，代入， 得，此时， ∵，不满足， ∴舍去． 当时，代入， 得，此时， ∵，满足， ∴点坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到轴还是轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标． 2．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标原点为O，，，． (1)作出关于y轴的对称图形，其中A，B，C分别落在点D，E，F并在图中标注出字母D，E，F； (2)写出 ； (3)如图，点P是x轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点P的位置，并求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点P的位置见解析，点P的坐标为 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）利用分割法求出三角形的面积即可； （3）作点A关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求； 由图可知点的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴， 令，则， 解得， ∴点P的坐标为． 3．(25-26八上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：． （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 4．(23-24八下·湖南株洲第二中学初中部·期中)定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 5．(24-25八下·山西临汾古县·期末)阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，． ． 当时，；当时，． ． ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5， ∴y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若，是函数图象上的两点，则 ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务 (1)填空：上述材料中的▲______，■______． (2)请说明材料中的结论是如何验证函数（k，b是常数，且）是y关于x的匀速变化一次函数的． 【答案】(1)3；k (2)见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）对于第一空，当时，，时，，据此求出的值即可得到答案；对于第二空，根据题意可得，，据此求出的值即可得到答案； （2）设，是函数图象上的另外两点，则，，求出的结果，即可验证结论． 【详解】（1）解：在中，当时，，时，， ∴， ∴该函数的平均变化速度刚好等于3； ∵，是函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）解：设，是函数图象上的另外两点， ∴，， ∴， ∵， ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度都是k， ∴函数是y关于x的匀速变化一次函数． 1．(24-25八上·广东省深圳市·期中)下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可． 【详解】解：①可化为，符合一次函数定义； ②不符合一次函数定义； ③可化为，符合一次函数定义； ④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义； ⑤展开化简为，符合一次函数定义； ⑥不符合一次函数定义． 综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C． 故选：C． 2．(2024·陕西省西安市·模拟)已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由条件可得，根据一次函数图象的性质，若点在图象上，则，将选项中的点代入函数，验证是否满足即可确定答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， A、点，代入函数得，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意； B、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，（满足），此时，故不必然经过该点，不符合题意； C、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，，此时，故不必然经过该点，不符合题意； D、点代入得，显然矛盾，故不可能经过该点， 故选：A． 3．(24-25八下·福建泉州鲤城区福建泉州外国语学校·期末)定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义．根据“生长点”的定义，点需满足方程组且，同时位于直线上，需逐一验证选项是否满足条件． 【详解】解：A、 当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； B、当时，，故点在一次函数图象上，则，，符合题意； C、当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； D、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：B． 4．(2025·江苏省南京市·模拟)记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据为正比例函数，设，由令中即可，进一步即可得出，则，代入计算即可． 【详解】解：∵为正比例函数， ∴设， ∵， ∴只需令中即可， 即， ∴， ∴， ∴要求中，令，代入得 ∴， 故选：A． 5．(24-25八下·福建福州连江县·期中)已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 6．(24-25八上·江苏宿迁沭阳县·期末)若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的图象与性质，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知点、的坐标满足，即，则点、为直线与长方形边的交点，进而求得点、的坐标，得到、的长度，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，点、的坐标满足， ， 则点、为直线与长方形边的交点，如图所示， ，， 代入得，，， ，， ，， ． 故选：C． 7．若点在函数上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是将点的坐标代入函数解析式．将坐标代入得到关于、的等式，再对所求式子进行变形求值． 【详解】解：因为点在函数的图象上，所以，整理得，两边同时乘以2得． 故答案为：2． 8．(24-25八上·辽宁本溪·期末)若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点在直线上，则，然后根据题意求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵，都是正整数， ∴，， ∴点坐标是， 故答案为：． 9．(24-25八上·江苏苏州立达中学校·月考)对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 10．(24-25八上·安徽池州·期中)定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ， ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”， ． 【答案】 1 2 6或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法． （1）由点在正比例函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，由点是y关于x的正比例函数的“阶和点”，可求出n的值； （2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：（1）∵点是y关于x的正比例函数的点， ∴， ∴， ∵点到两坐标轴的距离之和等于2， ∴点是y关于x的正比例函数的“2阶和点”， ∴． 故答案为：1，2； （2）设一次函数图象的“5阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，k的值为6或， 故答案为：6或． 11．(25-26八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)试判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特点、一次函数的图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）令点的纵坐标为即可解题； （2）将点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且点在轴上， ， 解得：， ； （2）解：点在直线上，理由如下： 当时，， ∴点在直线上． 12．(25-26九上·浙江温州实验学校·期中)已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题； （2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可； 【详解】（1）解：把代入（a为常数，且）得，， 解得； （2）解：∵， ∴当时，可有 ， ∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点， ∴． 13．(24-25七下·江苏泰州姜堰区南苑学校·期中)已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当时，，当时，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解、一元一次不等式组的求解以及一次函数的性质．熟练掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及一次函数的增减性是解题的关键． （1）本题可先求解方程组得出、关于的表达式，再将其代入中，进而求出的值． （2）根据、均为非负数，可得到关于的不等式组，求解该不等式组即可得到的取值范围． （3）先将转化为关于的表达式，再结合（2）中的取值范围，根据一次函数的性质求出的最大值和最小值． 【详解】（1）解： 得： ， ， 把代入得： ， ， ， 解得； （2）解：、均为非负数 由得， 由得 的取值范围是； （3）解： 中，随的增大而增大 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 14．如图，已知点、点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点P，使其满足，求P点的坐标． (3)在（2）的条件下，求的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离， （1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式； （2）设点P的坐标为，结合点A，B的坐标可得出，的长，结合可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标． （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为， 将A、B代入，得，解得， ∴直线AB所对应的函数表达式为； （2）解：设点P的坐标为．因为点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为 （3）解：． 15．(23-24八上·浙江杭州拱墅区·期末)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）①证明见解析，定值为-1；②当时，；当时，；当时，；③当时， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键． （1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可； （2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可； ②令，则，得；令，则得； ③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，． 【详解】解：（1）选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是． （2）①由题意，得， 所以， 因为， 所以． 所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值． ②由题意，得， 因为，所以， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，． ③当时，． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 一次函数的意义 题型一：判断是否为一次函数 1．(25-26八上·宁夏银川第三中学·期中)下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·河北廊坊第十六中学·月考)下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 5．(24-25八下·上海浦东新区川沙中学·期末)下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 6．有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型二：根据一次函数的定义求参数 1．(25-26八上·山东济南育英中学教育集团·月考)已知是一次函数，则的值为 ． 2．(25-26八上·四川巴中平昌县兰草小学·月考)若函数（为常数）是一次函数，则 ． 3．已知函数． （1）当 时，是的一次函数； （2）当 时，是的正比例函数． 4．对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 5．(25-26八上·甘肃白银·期中)已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 6．已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 题型三：判断一个点是否在一次函数上 1．下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·福建漳州·期中)下列各点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 3．(2025九·江苏省苏州市·模拟)下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·广东惠州惠阳区惠华学校·月考)下列的点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 题型四：已知点在一次函数图象上求代数式的值 1．(24-25八上·浙江温州苍南县·期末)已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．点在的函数图象上，则代数式 ． 3．(25-26八上·福建三明列东中学·月考)点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 4．(24-25八下·河北唐山路南区友谊中学·月考)若点是直线上一点，则代数式的值为 ． 5．(24-25九下·福建泉州五中·月考)直线过点，则值为 ． 6．(24-25八上·安徽宿州砀山县·期末)若点，在直线上，且，则 ． 题型五：利用待定系数法求一次函数解析式 1．(25-26八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由． 2．(25-26八上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·期中)已知一次函数图象经过点 (1)求这个一次函数解析式； (2)求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 3．(25-26八上·安徽合肥五十中学西校·期中)已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 4．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 5．已知一次函数，当自变量时，函数值；当自变量时，函数值．求出该函数的表达式，并画出它的图象． 6．(24-25八上·安徽宿州第二初级中学·月考)已知平面直角坐标系中三点，试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由． 7．(24-25八上·江苏新沂第二中学·月考)已知与成一次函数，当时，，当时，． (1)写出与之间的函数关系式． (2)计算时，的值． (3)计算时，的值． 题型六：判断实际问题中变量是否满足一次函数 1．(25-26八上·山东青岛五区联考·期中)下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 2．(25-26八上·安徽淮北五校·期中)下列属于正比例函数关系的是（   ） A．三角形的底边是常数时，它的面积与这条边上的高 B．仓库的粮食总量为常数，每天的销量与销售的天数 C．行驶的路程是常数时，行驶的速度与时间 D．正方形的面积与它的边长 3．(24-25八下·广东广州番禺区·期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．(24-25八下·北京丰台区·期末)下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（   ） A．正方形的面积随着边长的变化而变化 B．圆的周长随着半径的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化 D．矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化 5．(24-25八·北京二中教育集团·期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积； ②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间； ③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）． 其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 6．写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单位：元）与房屋产权面积x（单位：）之间的关系． (2)汽车离开车站后，再以的平均速度继续行驶了，汽车离开车站的距离y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系． 题型七：列一次函数解析式并求值 1．(24-25八下·山东聊城阳谷县实验中学·月考)阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 2．(24-25八下·河北石家庄正定县·期中)王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 3．(24-25八上·浙江宁波鄞州区·期末)某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 4．(24-25八上·福建宁德霞浦县·期中)某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 5．(24-25八上·陕西咸阳兴平·期中)兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的大蒜质量（kg）与销售收入（元）之间的关系如下表所示． （kg） 1 2 3 4 5 … （元） 10.5 21 31.5 42 52.5 … (1)求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求销售收入的值． 6．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 题型一：一次函数的认识综合解答题 1．【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若 则称为点的“微距值”；若 则称₂为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为． 【知识应用】 (1)点的“微距值”为 ； (2)若点的“微距值”为2， 求a的值； (3)若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标． 2．(24-25八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标原点为O，，，． (1)作出关于y轴的对称图形，其中A，B，C分别落在点D，E，F并在图中标注出字母D，E，F； (2)写出 ； (3)如图，点P是x轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点P的位置，并求出点P的坐标． 3．(25-26八上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 4．(23-24八下·湖南株洲第二中学初中部·期中)定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 5．(24-25八下·山西临汾古县·期末)阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，． ． 当时，；当时，． ． ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5， ∴y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若，是函数图象上的两点，则 ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务 (1)填空：上述材料中的▲______，■______． (2)请说明材料中的结论是如何验证函数（k，b是常数，且）是y关于x的匀速变化一次函数的． 1．(24-25八上·广东省深圳市·期中)下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 2．(2024·陕西省西安市·模拟)已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·福建泉州鲤城区福建泉州外国语学校·期末)定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 4．(2025·江苏省南京市·模拟)记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 5．(24-25八下·福建福州连江县·期中)已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．(24-25八上·江苏宿迁沭阳县·期末)若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A．3 B． C． D． 7．若点在函数上，则 ． 8．(24-25八上·辽宁本溪·期末)若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是 ． 9．(24-25八上·江苏苏州立达中学校·月考)对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为 ．    10．(24-25八上·安徽池州·期中)定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ， ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”， ． 11．(25-26八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)试判断点是否在直线上，并说明理由． 12．(25-26九上·浙江温州实验学校·期中)已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 13．(24-25七下·江苏泰州姜堰区南苑学校·期中)已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 14．如图，已知点、点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点P，使其满足，求P点的坐标． (3)在（2）的条件下，求的面积 15．(23-24八上·浙江杭州拱墅区·期末)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $