专题13一元一次方程的应用暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题13一元一次方程的应用暑假预习讲义 1. 熟记流程：掌握列方程解应用题完整步骤：审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验结果、规范作答。 2. 核心能力：读懂题目文字信息，精准梳理出题中等量关系，学会直接设元与间接设元两种方法。 3. 题型认知：熟悉和差倍分、行程、数字、调配等基础常见应用题题型，掌握各类题型固定等量关系。 4. 检验意识：双重检验答案，既要核对方程计算是否正确，还要判断结果符合现实生活实际意义。 5. 细节规范：统一题目中各类单位，答题书写完整，不省略文字作答。 6. 规避易错点：找不到等量关系式；单位前后不统一；解出数值忽略实际场景限制；答题缺少收尾文字。 7. 数学素养：建立数学建模思想，学会利用方程工具解决生活实际问题。 预习必备 知识梳理 1.解决实际问题的步骤 2.分析问题中的等量关系 3.常见问题中的等量关系 4.设未知数两种方法对比 5.寻找等量关系的4种方法 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售盈亏问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9.和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 15.其他实际问题 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） 步骤 名称 操作要点 核心注意事项 ① 审 通读题目，区分已知量、未知量，找准题目中的等量关系 等量关系是列方程根本，优先寻找不变量 ② 设 设未知数，优先直接设元；复杂题目选用间接设元 规范写法：设x，不要附带单位 ③ 列 根据找到的等量关系，列出一元一次方程 等式左右两边含义保持一致，单位统一 ④ 解 按照一元一次方程标准解法解方程 计算仔细，规范书写解方程过程 ⑤ 检 双重检验：①检验数值满足方程；②检验结果符合现实实际意义 人数、物品数量不能为负数、小数；长度不能为负 ⑥ 答 写出完整答句，带上对应单位 回答内容对应题目所求，语句完整 核心思想：用字母代替未知量，抓住不变的等量关系建立等式。 知识点 02 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法： 例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点03常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 题型 5 储蓄利息问题 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 题型 6 数字、日历问题 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 题型 7等积变形问题（几何题型） 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 题型 8 配套问题 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 题型 9 方案选择问题 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点04：设未知数两种方法对比 方式 适用场景 优点 直接设元 题目求什么，直接设什么为x 最后不需要换算，答题简便 间接设元 直接设元难以列出方程；数字、复杂比例、配套问题 更容易列出简洁方程，降低列式难度 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 等量关系寻找 把题目中的不等关系当作等量关系；漏看条件 圈画关键词，找到不变量建立等式 单位不统一 路程问题时间、长度单位混用 列式前统一所有物理量单位 设、答书写错误 设未知数时附带单位；答句遗漏单位 设：设x（不带单位）；答必须写完整单位 数字类列式错误 十位数字为a，直接把两位数写成ab 两位数：10×十位数字+个位数字 折扣理解出错 误将 8 折理解为原价 ×0.2 8 折 = 原价 × 0.8 检验步骤缺失 解方程后不检验结果是否符合实际 人数、个数不能为负数、小数 工程问题列式错误 多人合作直接相加时间 合作是效率相加，不是时间相加 配套问题比例列式颠倒 把零件比例左右写反 严格对照 “产品：配件” 比例列出等式 方案选择问题 只算出临界点，不分区间讨论选择 算出相等点后，分情况说明不同范围最优方案 题型1.配套问题 【典例】某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 【跟踪专练1】一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，若木料可制作50个桌面或300条桌腿，现有木料，使得生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，则用来生产桌面的木料有_______． 【答案】3 【分析】设用来生产桌面的木料为，则生产桌腿的木料为，根据“一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，若木料可制作50个桌面或300条桌腿”列方程求解即可． 【详解】解：设用来生产桌面的木料为，则生产桌腿的木料为． ∵桌腿总数量桌面总数量， ∴， 解得：， 因此用来生产桌面的木料为． 【跟踪专练2】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架． 【答案】12名工人生产镜片，10名工人生产镜架 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设应该分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设应该分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 由题意，得：， 解得：； ∴； 答：应该分配12名工人生产镜片，10名工人生产镜架． 【跟踪专练3】完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 题型2.工程问题 【典例】现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 【跟踪专练1】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需小时，乙组单独布置需小时，如果甲、乙两组合作了小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为______________________． 【答案】 【分析】把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程即可． 【详解】解：设乙单独完成剩下的任务还需要x小时， 由题意得∶ ． 【跟踪专练2】完成一项工程，甲队单独做需要60天，乙队单独做需要90天，若由甲先做20天，剩下的两队合作，则完成这项工程两队合作需要多少天？ 【答案】完成这项工程两队合作需要24天． 【分析】设完成这项工程两队合作需要x天，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设完成这项工程两队合作需要x天， 根据题意得：， 解得：． 答：完成这项工程两队合作需要24天． 【跟踪专练3】根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ (2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？ 【答案】(1)设应从第一组调人到第二组去，所列方程为 (2)设一盒零件有个，所列方程为 【分析】（1）设所求未知量为未知数，再根据调整后第一组人数是第二组的一半，列出一元一次方程即可； （2）设所求未知量为未知数，再根据师傅加工总时间比徒弟少，列出一元一次方程即可； 【详解】（1）解：设应从第一组调x人到第二组去，调动后第一组人数为，第二组人数为，根据题意第一组人数为第二组的一半得 ． （2）设一盒零件有个，徒弟加工完一盒零件的时间为，师傅加工完一盒零件的时间为，根据师傅比徒弟少用，得 ． 题型3.销售盈亏问题 【典例】某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“售价=成本+利润”，依次表示出标价和实际售价，即可列出方程． 【详解】解：设这种商品每件的成本是元， ∵商品按成本价提高后标价， ∴标价为元， ∵又按标价的打折卖出， ∴实际售价为元， ∵获利85元，根据“售价=成本+利润”， ∴列方程得． 【跟踪专练1】某超市在“十一”期间推出如下优惠方案：（）一次性购物不超过元不享受优惠；（）一次性购物超过元，但不超过元一律八折；（）一次性购物超过元一律七折．李明两次购物分别付款元，元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款______． 【答案】元或元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分情况进行两种优惠方案的分类讨论，结合第一次购物的原价计算总金额后，按对应优惠方案计算付款额，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：首先分析第一次购物付款元： 若享受八折优惠， 设原价为元，则有，付款金额为， 则， 因为实际付款为元，不在此范围内，所以不能是八折优惠； 若享受七折优惠，设原价为元，则， 付款金额为元，与元不符， 因此，第一次购物没有享受优惠，原价即为元； 然后分析第二次购物付款元，分两种情况： 情况：若购物金额超过元但不超过元，享受八折优惠， 设原价为元，根据题意得， 解得， 因为元在元到元之间， 所以符合条件； 情况：若购物金额超过元，享受七折优惠， 设原价为元，根据题意得， 解得元， 因为元超过元，符合条件； 接下来计算一次性购买的应付款： 当两次购物原价总和为（元）时， 因为元超过元，享受七折优惠， 所以应付款（元）； 当两次购物原价总和为（元）时， 因为元超过元，享受七折优惠， 所以应付款（元）； 综上可得：李明一次性购买与上两次相同的物品应付款元或元， 故答案为：元或元． 【跟踪专练2】某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，批发了黑、白两种颜色的文化衫共200件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，已知黑、白两种颜色文化衫的批发价分别为20元/件、16元/件，若学校恰好用完预计的进货款3500元，则购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件． 【答案】学校购进黑文化衫75件，白文化衫125件 【分析】设学校购进黑文化衫件，白文化衫件，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设学校购进黑文化衫件，白文化衫件． 依题意，得， 解得． （件）． 故学校购进黑文化衫75件，白文化衫125件． 【跟踪专练3】某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 题型4.比赛积分问题 【典例】2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可； 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 【跟踪专练1】在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了_______场比赛． 【答案】85 【分析】本题主要考查的知识点是常规赛和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段常规赛的比赛场次，再根据第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次． 【详解】解：设总比赛场次为场 第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次． （场） 第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军， 因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次， （场）， 故答案为：． 【跟踪专练2】某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 【跟踪专练3】某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 【答案】(1)，； (2)道 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是先通过已知数据确定答对和答错的分值，再利用方程求解未知量． （1）首先利用参赛者的满分情况直接计算答对一题的得分，再结合其他参赛者的得分求出答错一题的分值； （2）设同学答对题数为未知数，根据“总得分答对题得分答错题得分”的等量关系建立一元一次方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵参赛者答对题得分， ∴每答对一题得分； 设每答错一题得分，由参赛者的得分情况可得：， 解得； 故答案为：；； （2）解：设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意列方程：， 解得：； 答：参赛者答对了道题． 题型5.方案问题 【典例】甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：甲单位花的钱数的乙单位花的总钱数，然后列出方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【跟踪专练1】某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 【答案】63人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得：， 解方程得：． 故答案为：人 【跟踪专练2】某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【答案】王强购买A类票4张，购买C类票6张 【分析】设购买A类票x张，则购买C类票张，根据题意列方程即可解答． 【详解】解：设购买A类票x张，则购买C类票张． 根据题意，得． 解得． 则． 答：王强购买A类票4张，购买C类票6张． 【跟踪专练3】为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)710 (2)甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演 (3)最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 【详解】（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 题型6.数字问题 【典例】幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵幻方中各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， 观察右上到左下的对角线，三个数和为：， ∴所有行、列、对角线的和均为 ， 又第一列三个数的和为：， ∴可得方程， 解得 ． 【跟踪专练1】在图中的7个圆圈内各填一个数，要求在每一条直线上的3个数中，中间的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么，_____． 【答案】14 【分析】设中间的数为y，则上边的数为，得出左上角的数为，然后列出方程求解即可． 【详解】解：， 设中间的数为y，则上边的数为， 左上角的数为， 由题意可得：， 解得：， ∴． 【跟踪专练2】一个三位数的百位数字是1，若把百位数字移到个位，则新数比原数的2倍还多1，则原来的三位数是多少？（填空并解答完毕） 解：若设这个三位数的后两位数为x，原数为______，新数为______. 根据题意，得 【答案】，，原数为，解答见解析 【分析】若设这个三位数的后两位数为x，原数为，新数为，根据“新数比原数的2倍还多1”建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：若设这个三位数的后两位数为x，原数为，新数为 根据题意，得 解得 所以原数为． 【跟踪专练3】依据图中呈现的运算关系，求的值． 【答案】 【分析】根据图中呈现的运算关系得出，即可求出a的值． 【详解】解：由题意得，， 解之得，． 题型7.几何问题 【典例】如图，一块边长为的正方形绿地沿某一方向加宽，扩大后绿地面积是，则根据题意列出方程正确的是（　　）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（几何面积问题）． 【详解】解：原正方形绿地边长为，沿某一方向加宽后，绿地变为长方形， ∴其中一边长仍为，另一边长为， ∵扩大后面积为， ∴可列方程：． 故选：． 【跟踪专练1】如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剪去两个长条后所剩部分的面积（即空白部分）为__________． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则宽为的长条的面积为， 宽为的长条的面积为， ∵这两个长条的面积相等， ∴，解得， ∴宽为的长条的面积为，宽为的长条的面积为， 空白面积正方形的面积两个长条的面积． 【跟踪专练2】榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【答案】 【分析】设榫头长为，则榫身长为，根据榫身长与榫头长之和为求出的值，进而根据比例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设榫头长为， 榫身长榫头长， 榫身长为， 榫身长与榫头长之和为， ， 解得， 榫头长为，则榫身长为， 榫头长榫头宽， 榫头宽为， 榫身宽榫头宽， 榫身宽为， 此面的表面积为：． 【跟踪专练3】毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为，(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，需要为缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2(虚线为缝合时的走线位置)，求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 【答案】该毛毡包的长、宽、高分别是，， 【分析】设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，，根据题意，得到长方形毛毡料的长为，宽为，列一元一次方程并求解，即可解答． 【详解】解∶设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，， 根据题意，有长方形毛毡料的长为，宽为， 列方程，得， 解得． ，，． 答∶该毛毡包的长、宽、高分别是，，． 题型8.动点问题 【典例】如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 【答案】C 【分析】本题主要考查一次方程的应用，甲的速度为每秒1个单位长度，则乙的速度为每秒4个单位长度，正方形的边长为12，第一次需要t秒相遇，根据题意列方程得出t的值即可． 【详解】解：设第一次需要t秒相遇， 根据题意得， 解得， ∴它们第1次相遇的时间为秒， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为．数轴上点对应的数为1，点，均在点的左侧．若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________． 【答案】 【分析】设点对应的数为，则点对应的数为，由点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设点对应的数为，则点对应的数为， 根据题意得：， 解得． 【跟踪专练2】如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)4； (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论． （1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为8和在相遇之后距离为8，求出即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． 即运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为， 故答案为：4；． （2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了， ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和6， ∴A、B的距离为， 若在相遇之前距离为8，则 ， 解得：． 若在相遇之后距离为8，则 ， 解得：． 综上所述：t的值为或． 【跟踪专练3】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 【答案】(1)8；0.7 (2) (3)或 【分析】（1）用右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，从尺子上读出线段实际长度除以对应的长度单位，即可求出一个长度单位对应实际的长度． （2）从尺子读出的实际长度，再结合（1）中的结论列方程计算即可． （3）右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，由图2可得， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的实际长度； （2）解：依题意有， 解得， 即数轴上点B所对应的数b为； （3）解：设点Q所表示的数是x， ①当Q在延长线上时， ， 解得， ②当Q在之间时， ， 解得， 综上所述点Q表示的数为或． 题型9.和差倍分问题 【典例】某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【答案】A 【分析】设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，根据方程进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据方程，可知年拥有新能源汽车的家庭数量比年拥有新能源汽车的家庭数量多． 【跟踪专练1】如图是某饮水设备示意图，已知该设备的温水出水速度为，开水出水速度为，小伟某次接开水的时间比接温水的时间少，接出的开水量和温水量恰好相同，若设小伟接开水的时间为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据公式：总水量出水速度出水时间，且题目说明接出的开水量和温水量相等，因此开水总水量等于温水总水量，即可列方程． 【详解】解：设小伟接开水的时间为 ， 由“接开水的时间比接温水的时间少”，可得接温水的时间为， 根据题意可得． 【跟踪专练2】甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均成绩要比甲班的平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？ 【答案】 乙班的平均成绩是84.57分． 【详解】解：两班总人数为（人）， 两班总成绩为（分）， 设乙班平均成绩为分，则甲班平均成绩为分， 根据题意得， 解得， 答：乙班的平均成绩是84.57分． 【跟踪专练3】黑、白两种棋子共62枚，把它们分成3堆：在第一堆中，黑子数量是白子的2倍，在第二堆中，黑子数量是白子的3倍，在第三堆中，黑子数量是白子的4倍，如果第二堆白子是第一堆白子的2倍，第三堆黑子是第二堆总数的2倍，那么第三堆有几枚白子，几枚黑子？ 【答案】第三堆有8枚白子，32枚黑子 【分析】设第一堆白子的数量为x，根据题干给出的各堆棋子间的倍数关系，用含x的代数式表示出所有棋子的数量，再结合总棋子数列出一元一次方程求解即可，用到一元一次方程应用和倍数的性质． 【详解】解：设第一堆白子有x枚，则第一堆黑子数量为枚， 第二堆白子是第一堆白子的2倍，因此第二堆白子为枚，第二堆黑子是白子的3倍，因此第二堆黑子为（枚），第二堆棋子总数为（枚）． 第三堆黑子是第二堆总数的2倍，因此第三堆黑子为（枚），第三堆中黑子数量是白子的4倍，因此第三堆白子为（枚）， 根据题意可列方程：， 解得：． 因此第三堆白子数量为（枚），黑子数量为（枚）． 答：第三堆有8枚白子，32枚黑子． 题型10.电费和水费问题 【典例】为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用水立方米（），根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用水立方米（），根据题意得 故选：B． 【跟踪专练1】为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答， （2）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列方程求解，即可作答． 【详解】解：（1）用水量在第二档范围内（）， ∴水费为（元）， 故该户水费为元， 故答案为：1040． （2）水费元， 先判断档位：第一档最大水费元， 第二档最大水费元，由于，故属第三档， 第三档水费公式为， 解得， 故用水量为． 故答案为：290． 【跟踪专练2】为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 【答案】度 【分析】先分别求出当用电150度时的费用，从而得出李明家上月用电超过150度，设李明家上月用电x度，根据电费列出方程求解即可． 【详解】当用电150度时，费用为(元)， 因为， 故李明家上月用电超过150度， 设李明家上月用电x度， 则， 解得， 答：李明家上月用电174度． 【跟踪专练3】为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【答案】(1)78元 (2)吨 【分析】（1）因为已知用水量为28吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过20吨时的最高水费，每月用水量不超过30吨时的最高水费 ，推出小李家用水量超过30吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家3月份用水28吨，应缴水费78元． （2）解：当每月用水量不超过20吨，最高水费为（元）， 当每月用水量不超过30吨，最高水费 为（元）， ∵小李家4月份缴水费87元，， ∴小李家用水量超过30吨， 设小李家用水量为x吨， 则， 解得． 答：4月份用水吨． 题型11.行程问题 【典例】某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 【答案】B 【分析】题目已定义x为时间，解一元一次方程得到x的值，结合变量定义即可判断解的实际意义． 【详解】解：原方程为， 解得：． ∵题目中明确x代表时间（单位：分钟）， ∴该方程的解的实际意义是对应匀速慢跑的训练时间． 【跟踪专练1】小亮和田径队的叔叔每天都会去体育场晨练．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈．若两人同时同地出发，反向而跑，后两人第一次相遇．给出下面四个结论： ①叔叔的速度是小亮速度的倍； ②若两人同时同地同向出发，叔叔第1次追上小亮需要； ③若两人同时同地同向出发，叔叔第2次追上小亮时，小亮跑了5圈； ④若两人同时同地反向出发，后两人第3次相遇． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【分析】设小亮的速度为，推导出叔叔的速度为，故①正确，求出，叔叔的速度为，分别求出叔叔第1次，第2次追上小亮时的时间与路程，即可判断出结论②正确，结论③错误，最后求出两人同时同地反向出发，两人第3次相遇的时间，可得到结论④正确，即可解答． 【详解】解：设小亮的速度为，由“小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈”，相同时间内路程比等于速度比，因此叔叔的速度为，故①正确， 两人反向而跑，第一次相遇，此时两人路程和为一圈： ， 解得，因此叔叔的速度为， 同向出发，叔叔第一次追上小亮时，叔叔比小亮多跑一圈（），速度差为， 追及时间，故结论②正确． 同向出发，叔叔第2次追上小亮时，叔叔比小亮多跑2圈（）， 追及时间， 小亮跑的路程：， 圈数：圈，故结论③错误． 反向出发，每次相遇两人路程和为一圈，第3次相遇时路程和为， 速度和为， 时间，故结论④正确． 综上所述，正确的序号为：①②④． 【跟踪专练2】小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 【答案】8千米 【分析】根据相向阶段，小明与爸爸的路程和为12千米，设出未知数，列式求解即可． 【详解】解：∵小明骑自行车速度是12千米/小时，骑行1小时后立即调转车头， ∴小明掉头前行驶12千米， 设爸爸总共步行了x小时，则小明掉头后骑行了小时, 则有，解得， 则千米． 答：爸爸总共步行了8千米． 【跟踪专练3】下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【答案】(1) 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ (2)解：由（1）得， 解得， 答：A、B两地之间的路程为． 【分析】（1）根据时间路程速度，结合题意求解即可； （2）根据（1），结合回到A码头比去时少花了建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，去程的时间为， 回程的速度为，则回程的时间为， 填表见解析 （2）略 题型12.比例分配问题 【典例】程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程． 根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数，依此列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人，根据题意得：， 故选：C． 【跟踪专练1】山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 【跟踪专练2】甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【答案】分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设分配x名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点，根据“要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍”列出方程，求解即可． 【详解】解：设分配名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点． 根据题意得：， 解得， ． 答：分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【跟踪专练3】如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 题型13.日历问题 【典例】如图是某年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数来研究，发现这三个数的和不可能是（   ） A．69 B．54 C．40 D．27 【答案】C 【分析】设中间的数为，则上面的数为，下面的数为，求出三个数的和为，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设中间的数为，则上面的数为，下面的数为， 三个数的和为， 令，解得，故A选项不符合题意； 令，解得，故B选项不符合题意； 令，解得，不是整数，故C选项符合题意； 令，解得，故D选项不符合题意． 【跟踪专练1】如图是年元月的日历，用图中的“工”字形图案盖住图中的个数，若“工”字型图案盖住的个数的和为，则“工”字图中最大的数为______． 【答案】 【详解】解：设“工”字图中最大的数为，则其他个数分别为，，，，，， 根据题意得：， 解得：， 则“工”字图中最大的数为． 【跟踪专练2】如下图是2025年某月的月历． (1)如果用带阴影形状的框任意框住4个数分别为a、b、c、d，设框中的日期a为x．用含x的代数式表示： ， ， ， ． (2)若框出的4个数的和为26，求框出的是这个月哪几天？ (3)框出的4个数的和可能是62吗？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)框出的是这个月的，，，； (3) 不能，理由如下， 根据题意，， 解得，， 根据日历图示得到，是（从上往下）第二行的结尾，是第三行的首部，不符合题目中阴影图形， ∴框出的4个数的和不可能是62． 【分析】本题主要考查一元一次方程与日历的计算，理解图示，掌握一元一次方程解实际问题的方法是关键． （1）根据表格，运用字母表示数即可； （2）根据题意，结合（1）得，，解方程即可； （3）根据题意列式求解，结合日历图示判定即可． 【详解】（1）解：设框中的日期a为x， ∴，，， ∴， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得，， 解得，， ∴，，， ∴框出的是这个月的，，，； （3）略 【跟踪专练3】如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 (5)日 【分析】（1）根据右边的数比左边的数大1求解即可； （2）根据上方的数比下方的数小7求解即可； （3）先根据左上方的数比中间的数小8，右下方的数比中间的数大8表示出各数，再求和即可； （4）设中间的数为b，表示出其余4个数，然后求和，再结合日历特点求解； （5）设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为，然后列方程求出，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵右边的数比左边的数大1， ∴中间的数为，则右边的数为； （2）解：∵上方的数比下方的数小7， ∴若中间的数为，则上方的数为； （3）解：若中间的数为，则左上方的数为，右下方的数为， ∴这3个数的和为：； （4）解：设中间的数为b，则其余4个数分别是， ∴， ∴要使这5个数的和最小，只要中间的数最小即可， 观察日历表可知，满足条件的最小中间数是8． （5）解：设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为， 五个星期一的和为：， 解得，即2号是星期一， ∴16号是星期一， ∴15号是星期日． 题型14.古代问题 【典例】在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 【跟踪专练1】我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八钱，盈三钱；人出七钱，不足四钱，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问有多少人？设有x人，根据题意，列出方程是________． 【答案】 【分析】分别用含的代数式表示出两种情况下的物价，根据物价不变即可列出方程． 【详解】解：设有人， 每人出8钱时，总出钱数为，多出3钱，因此物价为， 每人出7钱时，总出钱数为，缺少4钱，因此物价为， 因为物价固定不变，因此可得方程． 【跟踪专练2】《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” 【答案】总人数为39人，车辆数为15辆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．是一个典型的古代数学应用题，可通过设未知数，根据两种乘车方式下人数不变的关系来建立方程求解． 【详解】解：设车辆数为辆， 则， 解得， 总人数为（人）， 答：总人数为39人，车辆数为15辆． 【跟踪专练3】一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 【答案】老人一共有56头羊 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的，每个小家庭却分到相同多的羊，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设老人一共有x只羊，根据题意得 解得， 答：老人一共有56头羊． 题型15.其他实际问题 【典例】学校组织八年级学生开展植树活动，若每人植树棵，还剩棵；若每人植树棵，还差棵，设参与植树的学生有人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抓住树的总棵数不变，根据两种植树情况分别表示出总棵数，即可列出方程． 【详解】解：设参与植树的学生有人， 由题意得：． 【跟踪专练1】将若干张长为的相同的长方形纸片，按如图所示的方法粘合成纸带，粘合部分的宽为．小颖需要粘合长为的纸带，需要这样的长方形纸片__________张． 【答案】 【分析】设需要这样的长方形纸片张，则粘合部分为个，根据要粘合长为的纸带，列出一元一次方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设需要这样的长方形纸片张， 由图可知，粘合部分比长方形纸片的数量少，即有个， ∵小颖需要粘合长为的纸带，， ∴， 解得：． ∴需要这样的长方形纸片张． 【跟踪专练2】梧州六堡茶是广西国家级非物质文化遗产，深受南宁市民喜爱．爸爸从本地茶城买回一罐六堡茶，第一周喝了这罐茶叶的，第二周喝了这罐茶叶的，还剩千克，这罐茶叶原来有多少克？ 【答案】 这罐茶叶原来有克． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列方程，本题等量关系是：整体=部分之和． 设这罐茶叶原来有千克，可列方程，求解即可． 【详解】解：设这罐茶叶原来有千克， 可列方程， 解得, ， 答：这罐茶叶原来有克． 【跟踪专练3】为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 【答案】(1)引导组60人，物资组80人 (2)租用7辆A型车 【分析】（1）设引导组有人，根据“引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组”，列一元一次方程求解即可； （2）分别求出租用两种型号车辆的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设引导组有人，物资组有人， 由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：引导组60人，物资组80人 （2）解：若租用A型车辆，则需要租用（辆），费用为（元）， 若租用B型车辆，（辆），即需要租用辆，费用为（元）， 因为， 所以租用7辆A型车合算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13一元一次方程的应用暑假预习讲义 1. 熟记流程：掌握列方程解应用题完整步骤：审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验结果、规范作答。 2. 核心能力：读懂题目文字信息，精准梳理出题中等量关系，学会直接设元与间接设元两种方法。 3. 题型认知：熟悉和差倍分、行程、数字、调配等基础常见应用题题型，掌握各类题型固定等量关系。 4. 检验意识：双重检验答案，既要核对方程计算是否正确，还要判断结果符合现实生活实际意义。 5. 细节规范：统一题目中各类单位，答题书写完整，不省略文字作答。 6. 规避易错点：找不到等量关系式；单位前后不统一；解出数值忽略实际场景限制；答题缺少收尾文字。 7. 数学素养：建立数学建模思想，学会利用方程工具解决生活实际问题。 预习必备 知识梳理 1.解决实际问题的步骤 2.分析问题中的等量关系 3.常见问题中的等量关系 4.设未知数两种方法对比 5.寻找等量关系的4种方法 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售盈亏问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9.和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 15.其他实际问题 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） 步骤 名称 操作要点 核心注意事项 ① 审 通读题目，区分已知量、未知量，找准题目中的等量关系 等量关系是列方程根本，优先寻找不变量 ② 设 设未知数，优先直接设元；复杂题目选用间接设元 规范写法：设x，不要附带单位 ③ 列 根据找到的等量关系，列出一元一次方程 等式左右两边含义保持一致，单位统一 ④ 解 按照一元一次方程标准解法解方程 计算仔细，规范书写解方程过程 ⑤ 检 双重检验：①检验数值满足方程；②检验结果符合现实实际意义 人数、物品数量不能为负数、小数；长度不能为负 ⑥ 答 写出完整答句，带上对应单位 回答内容对应题目所求，语句完整 核心思想：用字母代替未知量，抓住不变的等量关系建立等式。 知识点 02 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法： 例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点03常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 题型 5 储蓄利息问题 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 题型 6 数字、日历问题 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 题型 7等积变形问题（几何题型） 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 题型 8 配套问题 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 题型 9 方案选择问题 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点04：设未知数两种方法对比 方式 适用场景 优点 直接设元 题目求什么，直接设什么为x 最后不需要换算，答题简便 间接设元 直接设元难以列出方程；数字、复杂比例、配套问题 更容易列出简洁方程，降低列式难度 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 等量关系寻找 把题目中的不等关系当作等量关系；漏看条件 圈画关键词，找到不变量建立等式 单位不统一 路程问题时间、长度单位混用 列式前统一所有物理量单位 设、答书写错误 设未知数时附带单位；答句遗漏单位 设：设x（不带单位）；答必须写完整单位 数字类列式错误 十位数字为a，直接把两位数写成ab 两位数：10×十位数字+个位数字 折扣理解出错 误将 8 折理解为原价 ×0.2 8 折 = 原价 × 0.8 检验步骤缺失 解方程后不检验结果是否符合实际 人数、个数不能为负数、小数 工程问题列式错误 多人合作直接相加时间 合作是效率相加，不是时间相加 配套问题比例列式颠倒 把零件比例左右写反 严格对照 “产品：配件” 比例列出等式 方案选择问题 只算出临界点，不分区间讨论选择 算出相等点后，分情况说明不同范围最优方案 题型1.配套问题 【典例】某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，若木料可制作50个桌面或300条桌腿，现有木料，使得生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，则用来生产桌面的木料有_______． 【跟踪专练2】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架． 【跟踪专练3】完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 题型2.工程问题 【典例】现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需小时，乙组单独布置需小时，如果甲、乙两组合作了小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为______________________． 【跟踪专练2】完成一项工程，甲队单独做需要60天，乙队单独做需要90天，若由甲先做20天，剩下的两队合作，则完成这项工程两队合作需要多少天？ 【跟踪专练3】根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ (2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？ 题型3.销售盈亏问题 【典例】某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某超市在“十一”期间推出如下优惠方案：（）一次性购物不超过元不享受优惠；（）一次性购物超过元，但不超过元一律八折；（）一次性购物超过元一律七折．李明两次购物分别付款元，元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款______． 【跟踪专练2】某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，批发了黑、白两种颜色的文化衫共200件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，已知黑、白两种颜色文化衫的批发价分别为20元/件、16元/件，若学校恰好用完预计的进货款3500元，则购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件． 【跟踪专练3】某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 题型4.比赛积分问题 【典例】2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了_______场比赛． 【跟踪专练2】某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【跟踪专练3】某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 题型5.方案问题 【典例】甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 【跟踪专练2】某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【跟踪专练3】为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 题型6.数字问题 【典例】幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 【跟踪专练1】在图中的7个圆圈内各填一个数，要求在每一条直线上的3个数中，中间的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么，_____． 【跟踪专练2】一个三位数的百位数字是1，若把百位数字移到个位，则新数比原数的2倍还多1，则原来的三位数是多少？（填空并解答完毕） 解：若设这个三位数的后两位数为x，原数为______，新数为______. 根据题意，得 【跟踪专练3】依据图中呈现的运算关系，求的值． 题型7.几何问题 【典例】如图，一块边长为的正方形绿地沿某一方向加宽，扩大后绿地面积是，则根据题意列出方程正确的是（　　）．    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剪去两个长条后所剩部分的面积（即空白部分）为__________． 【跟踪专练2】榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【跟踪专练3】毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为，(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，需要为缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2(虚线为缝合时的走线位置)，求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 题型8.动点问题 【典例】如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 【跟踪专练1】如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为．数轴上点对应的数为1，点，均在点的左侧．若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________． 【跟踪专练2】如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 【跟踪专练3】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 题型9.和差倍分问题 【典例】某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【跟踪专练1】如图是某饮水设备示意图，已知该设备的温水出水速度为，开水出水速度为，小伟某次接开水的时间比接温水的时间少，接出的开水量和温水量恰好相同，若设小伟接开水的时间为，则可列方程为___________． 【跟踪专练2】甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均成绩要比甲班的平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？ 【跟踪专练3】黑、白两种棋子共62枚，把它们分成3堆：在第一堆中，黑子数量是白子的2倍，在第二堆中，黑子数量是白子的3倍，在第三堆中，黑子数量是白子的4倍，如果第二堆白子是第一堆白子的2倍，第三堆黑子是第二堆总数的2倍，那么第三堆有几枚白子，几枚黑子？ 题型10.电费和水费问题 【典例】为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 【跟踪专练2】为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 【跟踪专练3】为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 题型11.行程问题 【典例】某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 【跟踪专练1】小亮和田径队的叔叔每天都会去体育场晨练．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈．若两人同时同地出发，反向而跑，后两人第一次相遇．给出下面四个结论： ①叔叔的速度是小亮速度的倍； ②若两人同时同地同向出发，叔叔第1次追上小亮需要； ③若两人同时同地同向出发，叔叔第2次追上小亮时，小亮跑了5圈； ④若两人同时同地反向出发，后两人第3次相遇． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【跟踪专练2】小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 【跟踪专练3】下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 题型12.比例分配问题 【典例】程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【跟踪专练2】甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【跟踪专练3】如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 题型13.日历问题 【典例】如图是某年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数来研究，发现这三个数的和不可能是（   ） A．69 B．54 C．40 D．27 【跟踪专练1】如图是年元月的日历，用图中的“工”字形图案盖住图中的个数，若“工”字型图案盖住的个数的和为，则“工”字图中最大的数为______． 【跟踪专练2】如下图是2025年某月的月历． (1)如果用带阴影形状的框任意框住4个数分别为a、b、c、d，设框中的日期a为x．用含x的代数式表示： ， ， ， ． (2)若框出的4个数的和为26，求框出的是这个月哪几天？ (3)框出的4个数的和可能是62吗？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【跟踪专练3】如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 题型14.古代问题 【典例】在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八钱，盈三钱；人出七钱，不足四钱，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问有多少人？设有x人，根据题意，列出方程是________． 【跟踪专练2】《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” 【跟踪专练3】一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 题型15.其他实际问题 【典例】学校组织八年级学生开展植树活动，若每人植树棵，还剩棵；若每人植树棵，还差棵，设参与植树的学生有人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将若干张长为的相同的长方形纸片，按如图所示的方法粘合成纸带，粘合部分的宽为．小颖需要粘合长为的纸带，需要这样的长方形纸片__________张． 【跟踪专练2】梧州六堡茶是广西国家级非物质文化遗产，深受南宁市民喜爱．爸爸从本地茶城买回一罐六堡茶，第一周喝了这罐茶叶的，第二周喝了这罐茶叶的，还剩千克，这罐茶叶原来有多少克？ 【跟踪专练3】为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $