专题12一元一次方程概念与解法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题12一元一次方程概念与解法暑假预习讲义 1. 识记概念：分清代数式、等式、方程的区别，熟记一元一次方程三大特点：只含一个未知数、未知数次数为1、两边均为整式，可精准判断一元一次方程。 2. 理解内涵：明白方程的解的意义，能够将数字代入方程，检验数值是否为方程的解。 3. 掌握依据：熟记两条等式基本性质，清楚每一步解方程变形都要遵循等式性质，保证等式左右两边始终相等。 4. 熟练运算：掌握移项、去括号、合并同类项、系数化为1整套解题步骤，规范求解各类基础一元一次方程。 5. 牢记规则：吃透移项变号、去括号符号变化规律，杜绝符号类基础错误。 6. 习惯养成：解方程步骤完整不随意跳步，书写格式标准严谨。 7. 规避易错点：移项忘记变号；去括号漏乘、符号出错；判定一元一次方程忽略系数不为0的条件；检验步骤缺失。 8. 数学素养：摆脱小学算术解题思维，建立等式变形思想，为方程应用题做好铺垫 预习必备 知识梳理 1.方程的定义 2.列方程的思路 3.等式的基本性质 4.一元一次方程的定义 5.方程的解 6.含参数一元一次方程解的情况 7.解一元一次方程的步骤 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.等式性质1 6.等式性质2 7.一元一次方程的判定 8.一元一次方程解的判定 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.绝对值方程 13.利用平方根解方程 14.由一元一次方程的解,求参数 15一元一次方程解的关系. 强化题型 解答题5题 知识点 1 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程同时满足两个条件：①有等号，是等式；②式子中含有未知数（字母）。 ✅示例：2x-5=1，3y=0 ❌示例：2a+)（无等号，代数式），4+6=10（无未知数） 知识点 2 列方程思路 1.设未知数：用字母表示题目中的未知量； 2.找等量关系：梳理题目不变的相等关系； 3.根据等量关系列出等式，得到方程。 知识点3等式的基本性质（解方程理论依据） 性质分类 文字表述 数学形式 作用 性质 1 等式两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍然成立 若a=b，则ac=bc 移项、消去常数项 性质 2 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，等式仍然成立 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 去分母、系数化为 1 ⚠️重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作；不能同时除以 0。 知识点 4 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程。 三大判定条件（缺一不可）： 1 仅含 1 个未知数； 2 未知数最高次数为 1； 3 分母不含未知数（整式方程）。 标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b为常数） ✅示例：3x+6=0 ❌示例：x2+1=5（次数为 2）；=3（分母含未知数）；x+y=1（两个未知数） 知识点 5 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：将数值代入方程左边、右边，分别计算，若左边 = 右边，则是方程的解。 知识点 6 含参数一元一次方程解的情况 方程整理为 ax+b=0 a≠0：方程有唯一解 x=-； a=0，b=0：等式恒成立，有无数个解； a=0，b≠0：等式不成立，方程无解。 知识点 7 解一元一次方程通用五步流程 步骤 操作 注意事项 1. 去分母 等式两边同乘所有分母最小公倍数 每一项都要乘，不含分母项不能漏乘；分子是多项式要添加括号 2. 去括号 运用乘法分配律 括号前是负号，括号内每一项全部变号；不要漏乘括号内项 3. 移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项必须变号；不移的项不变号 4. 合并同类项 化为最简形式 ax=b（a≠0） 正确合并系数，留意符号 5. 系数化为 1 两边同时除以未知数系数a 分清被除数与除数，不要颠倒分子分母 知识点 8 解方程标准书写格式示例 解方程：=x 解：去分母，得 x-1-2=2x 移项，得 x-2x=1+2 合并同类项，得 -x=3 系数化为 1，得 x=-3 知识点9高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 方程识别 把代数式当成方程；把不含未知数等式当作方程 方程必须同时具备：等号 + 未知数 等式性质运用 等式一边加、另一边不加；除以 0；去分母漏乘常数项 两边同步变形；禁止除以 0；所有项同乘最小公倍数 一元一次方程判定 忽略 “整式方程”；忽略a≠0条件 分母不能含未知数；未知数次数为 1 且只一个未知数 移项运算 移项忘记变号；在同一边交换位置乱变号 跨越等号移动才变号；同侧交换位置不变号 去括号、去分母 负括号只改变第一项符号；分子多项式不加括号 负号去括号所有项变号；分子多项式整体加括号 系数化为 1 分子分母颠倒；符号处理错误 ax=b，x=，分清分子分母 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 题型2.列方程 【典例】与的和的倍是，则可用方程表示为______． 【跟踪专练1】小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【跟踪专练3】药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 题型3.判断是否是方程的解 【典例】．可以是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值。则关于x的方程的解为（   ） x 0 12 8 4 0 A．0 B． C．12 D．无法计算 【跟踪专练2】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 题型4.由方程的解求参数 【典例】若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【跟踪专练1】若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为________． 【跟踪专练2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 题型5.等式性质1 【典例】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，如表格所示，这是一个三阶幻方，则的值为（   ） 2 a 5 c b A．7 B．6 C．5 D．4 【跟踪专练1】已知是方程的一个解，则整式的值为______． 【跟踪专练2】如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型6.等式性质2 【典例】老师在黑板上写出“若，则___________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是________（填序号）． 【跟踪专练2】设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是(     ) A． B． C． D． 题型7.一元一次方程的判定 【典例】下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 题型8.一元一次方程解的判定 【典例】．是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型9.合并同类项及移项 【典例】方程的解是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则______． 【跟踪专练2】已知，且，那么______． 【跟踪专练3】若关于的方程是一元一次方程，则方程的解为（    ） A．－2 B．2或0 C．0 D．1 题型10.去括号 【典例】解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【跟踪专练2】若关于的方程是一元一次方程，且关于的方程的解为整数，则满足条件的整数的值有________个． 【跟踪专练3】我们把不超过有理数y的最大整数称为y的整数部分，记作，又把称为y的小数部分，记作，则有．如：，下列说法中正确的有（    ）个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 题型11.去分母 【典例】在解方程时，去分母过程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我们知道，，，，…因此关于x的方程的解是________． 【跟踪专练2】如图，点在数轴上所对应的数分别是和，且满足，则的值为___________． 【跟踪专练3】方程 去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 题型12.绝对值方程 【典例】如果，那么（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则______． 【跟踪专练2】关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 【跟踪专练3】的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 题型13.利用平方根解方程 【典例】已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【跟踪专练1】若，则_____． 【跟踪专练2】若，则的值为（    ） A．0 B． C．0或2 D．0或 【跟踪专练3】两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 题型14.由一元一次方程的解,求参数 【典例】若为关于的方程的解，则______． 【跟踪专练1】若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【跟踪专练2】小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 【跟踪专练3】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 题型15一元一次方程解的关系. 【典例】若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【跟踪专练1】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 【跟踪专练3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 解答题 1．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 2．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 3．求未知数x的值． (1) (2) (3) 4．计算与解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5．对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． 6．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定，解答下列问题． (1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 7．已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一元一次方程概念与解法暑假预习讲义 1. 识记概念：分清代数式、等式、方程的区别，熟记一元一次方程三大特点：只含一个未知数、未知数次数为1、两边均为整式，可精准判断一元一次方程。 2. 理解内涵：明白方程的解的意义，能够将数字代入方程，检验数值是否为方程的解。 3. 掌握依据：熟记两条等式基本性质，清楚每一步解方程变形都要遵循等式性质，保证等式左右两边始终相等。 4. 熟练运算：掌握移项、去括号、合并同类项、系数化为1整套解题步骤，规范求解各类基础一元一次方程。 5. 牢记规则：吃透移项变号、去括号符号变化规律，杜绝符号类基础错误。 6. 习惯养成：解方程步骤完整不随意跳步，书写格式标准严谨。 7. 规避易错点：移项忘记变号；去括号漏乘、符号出错；判定一元一次方程忽略系数不为0的条件；检验步骤缺失。 8. 数学素养：摆脱小学算术解题思维，建立等式变形思想，为方程应用题做好铺垫 预习必备 知识梳理 1.方程的定义 2.列方程的思路 3.等式的基本性质 4.一元一次方程的定义 5.方程的解 6.含参数一元一次方程解的情况 7.解一元一次方程的步骤 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.等式性质1 6.等式性质2 7.一元一次方程的判定 8.一元一次方程解的判定 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.绝对值方程 13.利用平方根解方程 14.由一元一次方程的解,求参数 15一元一次方程解的关系. 强化题型 解答题5题 知识点 1 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程同时满足两个条件：①有等号，是等式；②式子中含有未知数（字母）。 ✅示例：2x-5=1，3y=0 ❌示例：2a+)（无等号，代数式），4+6=10（无未知数） 知识点 2 列方程思路 1.设未知数：用字母表示题目中的未知量； 2.找等量关系：梳理题目不变的相等关系； 3.根据等量关系列出等式，得到方程。 知识点3等式的基本性质（解方程理论依据） 性质分类 文字表述 数学形式 作用 性质 1 等式两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍然成立 若a=b，则ac=bc 移项、消去常数项 性质 2 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，等式仍然成立 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 去分母、系数化为 1 ⚠️重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作；不能同时除以 0。 知识点 4 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程。 三大判定条件（缺一不可）： 1 仅含 1 个未知数； 2 未知数最高次数为 1； 3 分母不含未知数（整式方程）。 标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b为常数） ✅示例：3x+6=0 ❌示例：x2+1=5（次数为 2）；=3（分母含未知数）；x+y=1（两个未知数） 知识点 5 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：将数值代入方程左边、右边，分别计算，若左边 = 右边，则是方程的解。 知识点 6 含参数一元一次方程解的情况 方程整理为 ax+b=0 a≠0：方程有唯一解 x=-； a=0，b=0：等式恒成立，有无数个解； a=0，b≠0：等式不成立，方程无解。 知识点 7 解一元一次方程通用五步流程 步骤 操作 注意事项 1. 去分母 等式两边同乘所有分母最小公倍数 每一项都要乘，不含分母项不能漏乘；分子是多项式要添加括号 2. 去括号 运用乘法分配律 括号前是负号，括号内每一项全部变号；不要漏乘括号内项 3. 移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项必须变号；不移的项不变号 4. 合并同类项 化为最简形式 ax=b（a≠0） 正确合并系数，留意符号 5. 系数化为 1 两边同时除以未知数系数a 分清被除数与除数，不要颠倒分子分母 知识点 8 解方程标准书写格式示例 解方程：=x 解：去分母，得 x-1-2=2x 移项，得 x-2x=1+2 合并同类项，得 -x=3 系数化为 1，得 x=-3 知识点9高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 方程识别 把代数式当成方程；把不含未知数等式当作方程 方程必须同时具备：等号 + 未知数 等式性质运用 等式一边加、另一边不加；除以 0；去分母漏乘常数项 两边同步变形；禁止除以 0；所有项同乘最小公倍数 一元一次方程判定 忽略 “整式方程”；忽略a≠0条件 分母不能含未知数；未知数次数为 1 且只一个未知数 移项运算 移项忘记变号；在同一边交换位置乱变号 跨越等号移动才变号；同侧交换位置不变号 去括号、去分母 负括号只改变第一项符号；分子多项式不加括号 负号去括号所有项变号；分子多项式整体加括号 系数化为 1 分子分母颠倒；符号处理错误 ax=b，x=，分清分子分母 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程. 根据方程的定义，对各选项进行判断即可． 【详解】解：方程的定义是含有未知数的等式． A选项是等式，但不含未知数，不是方程． B选项是代数式，不是等式，不是方程． C选项是代数式，不是等式，不是方程． D选项是含有未知数的等式，符合方程的定义． 故选：D． 【跟踪专练1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查方程的概念，解题关键在于掌握含有未知数的等式叫做方程． 由方程的概念可知，是方程则需满足以下条件：①方程中必须含有未知数；②是等式． 依据方程的概念对所给式子逐一进行判断，从而得出正确答案的． 【详解】解：①不含未知数，故①不是方程； ③④不是等式，故③④不是方程； ②⑤⑥⑦中含有未知数且是等式，符合方程的概念，故②⑤⑥⑦是方程． 综上所述，所给式子中是方程的有②⑤⑥⑦，共4个． 故选：C． 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 题型2.列方程 【典例】与的和的倍是，则可用方程表示为______． 【答案】 【详解】解：首先，“与的和”用代数式表示为，再求该和的倍，即给此代数式乘以， 根据题意该结果等于，因此可列方程为． 【跟踪专练1】小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 【跟踪专练2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 【跟踪专练3】药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 题型3.判断是否是方程的解 【典例】．可以是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等，即可判断是否为该方程的解． 【详解】代入选项A，左边，右边，左边右边，故不是A选项方程的解； 代入选项B，左边==0，右边，左边右边，故不是B选项方程的解； 代入选项C，左边==1，右边，左边右边，故不是C选项方程的解； 代入选项D，左边==4，右边，左边=右边，故是D选项方程的解． 【跟踪专练1】整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值。则关于x的方程的解为（   ） x 0 12 8 4 0 A．0 B． C．12 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的求解，可通过对所求方程变形，结合表格给出的整式对应值直接得到方程的解，思路清晰简便 【详解】解：∵ 所求方程为 ， ∴ 给等式两边同乘 ，可得 ， 观察表格可知，当整式 的值为 时，对应的 的取值为 ， ∴ 方程 的解为 【跟踪专练2】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 题型4.由方程的解求参数 【典例】若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． 【跟踪专练1】若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义及整体代入的思想方法是解题的关键．将方程的解代入原方程，得到关于、的关系式，再通过整体代入法求出代数式的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解题关键是掌握方程的解并能运用求解． 根据方程的解的意义求解即可． 【详解】解：原方程可变形为： 令， 则方程化为 关于的一元一次方程的解为， ∴ 对于方程，与方程形式相同， ∴方程的解为， 故选：A． 题型5.等式性质1 【典例】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，如表格所示，这是一个三阶幻方，则的值为（   ） 2 a 5 c b A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，等式的基本性质．利用三阶幻方的性质，第二列的和与第三行的和相等，列出等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得第二列的和为，第三行的和为， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】已知是方程的一个解，则整式的值为______． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了方程的解，代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 将方程的解代入原方程，得到关于m和n的等式，通过整理求出的值，再代入整式计算． 【详解】解：把代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：2028． 【跟踪专练2】如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 题型6.等式性质2 【典例】老师在黑板上写出“若，则___________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式性质逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴A、，该选项一定成立； B、，该选项不成立； C、，该选项不成立； D、，该选项不成立． 【跟踪专练1】有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握等式的基本性质. 注意除数不能为0． 【详解】解：①若，则无意义，若，等式左右两边同除以． ②若，等式左右两边同乘以． 故答案为：②． 【跟踪专练2】设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中A，B无法确定，，的大小关系，只需利用等式的基本性质对已知等式变形，即可验证C，D选项得到结论． 【详解】解：∵， 等式两边同乘得， 验证选项C：右边，将代入得左边，因此C正确； 验证选项D：右边，因此D错误； 对于A，B：仅根据无法确定a，b，c的大小， 例如，当时，，满足，当时，，满足，因此A，B都不一定正确． 故选：C． 题型7.一元一次方程的判定 【典例】下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，逐一判断选项． 【详解】解：A、未知数在分母上，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有和两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、未明确参数不为0，不一定是一元一次方程，不符合题意； D、，，，是一元一次方程，符合题意． 【跟踪专练1】下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有和两个未知数，不是一元一次方程； ④中未知数的最高次数为，不是一元一次方程． 综上所述，只有②是一元一次方程，共1个． 【跟踪专练2】若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且的系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴． 题型8.一元一次方程解的判定 【典例】．是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 【跟踪专练1】下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断． 【详解】解：A、当时，，故不是此方程的解； B、当时，，故是此方程的解； C、当时，，故不是此方程的解； D、当时，，故不是此方程的解； 故选：B． 【跟踪专练2】已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 题型9.合并同类项及移项 【典例】方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照先移项再将系数化为1的步骤直接解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得． 【跟踪专练1】若，则______． 【答案】 【分析】先由绝对值非负性、平方非负性及非负数和为零的条件得出关于的方程求解，最后将值代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，， ，， 解得，， ． 【跟踪专练2】已知，且，那么______． 【答案】4 【详解】设，则， ， 解得， ． 【跟踪专练3】若关于的方程是一元一次方程，则方程的解为（    ） A．－2 B．2或0 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义确定参数的取值，再代入原方程求解未知数. 【详解】解：∵原方程是一元一次方程， ∴满足条件， 解，得或， ∵，即， ∴， 将代入原方程，得， 移项得， 解得. 题型10.去括号 【典例】解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去括号法则：括号前是负号，去括号后括号内各项都要改变符号． 【详解】解：根据去括号法则，原方程去括号，得． 【跟踪专练1】将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【答案】5 【详解】解：根据题意得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【跟踪专练2】若关于的方程是一元一次方程，且关于的方程的解为整数，则满足条件的整数的值有________个． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，先根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入关于 y 的方程，根据解为整数求出k的所有可能整数值，并统计个数即可． 【详解】解： 是一元一次方程， ，， 解得：或，， ， 将代入方程，得， 整理得， ， y为整数， 则是8的因数，即， 解得：，共8个整数， 故答案为：8． 【跟踪专练3】我们把不超过有理数y的最大整数称为y的整数部分，记作，又把称为y的小数部分，记作，则有．如：，下列说法中正确的有（    ）个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的整数部分和小数部分的概念，理解是有理数的最大整数和小数的概念是解题的关键． 根据定义逐个分析判断各说法的正确性即可． 【详解】解：① ∵ 不超过的最大整数是3，∴，该项正确； ② ∵ 不超过的最大整数是，∴，该项错误； ③ ∵且， 当时， ，∴； 当时， ，∴，该项错误； ④ 设，则， 方程化为， ∴， 即方程的解为所有形如为整数，解不唯一（如等），∴ 该项错误； 综上，只有①正确． 故选D． 题型11.去分母 【典例】在解方程时，去分母过程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程去分母得：． 【跟踪专练1】我们知道，，，，…因此关于x的方程的解是________． 【答案】 【分析】根据题目给出的裂项规律，将方程左边提取公因式后裂项相消，化为一元一次方程即可求解． 【详解】解：， 提取公因式得： ， 根据题中给出的规律裂项变形得： ， 裂项相消后整理得：， 系数化为1得：． 【跟踪专练2】如图，点在数轴上所对应的数分别是和，且满足，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数轴上两点间的距离，根据题意可得，再根据点A和点B在数轴上的位置可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点在数轴上所对应的数分别是和，且满足， ∴，即 ∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】方程 去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为此方程的最简公分母是3，将方程两边同时乘3，去掉分母，对乘3后的式子进行整理，对比选项得到结果即可． 【详解】方程的分母为，将方程两边同时乘，得，对应选项B． 【点睛】去分母时要将方程两边的每一项都乘最简公分母，不能漏乘不含分母的项． 题型12.绝对值方程 【典例】如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 【跟踪专练1】若，则______． 【答案】3或 【分析】本题考查了解绝对值方程． 根据绝对值的性质，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程可化为， 则或， 解得：或． 故答案为：3或． 【跟踪专练2】关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 【答案】或 【分析】找出每个绝对值部分取到0时x的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：k为常数，， 当时，， 当时，， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，若，则分母为0，无解，不满足恒成立，舍去． 【跟踪专练3】的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 题型13.利用平方根解方程 【典例】已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵25的平方根为， ∴． 【跟踪专练1】若，则_____． 【答案】2或0 【分析】根据平方根的定义，得出或，即可解答。 【详解】解：， 或， 或 【跟踪专练2】若，则的值为（    ） A．0 B． C．0或2 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方根解方程、立方根，解题的关键是掌握立方根的求解方法．先利用平方根解方程，求出，再代入计算立方根即可． 【详解】解：， 解得， 当时，， 当时，， 综上，的值为0或2， 故选：C． 【跟踪专练3】两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 题型14.由一元一次方程的解,求参数 【典例】若为关于的方程的解，则______． 【答案】8 【分析】将代入方程之中即可求出的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， ． 【跟踪专练1】若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同解方程的定义，先求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵ 方程与的解相同， ∴把代入，得， 解得． 【跟踪专练2】小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：把，代入方程，得●， ∴●. 【跟踪专练3】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先整理原方程，结合一元一次方程有唯一解的条件，代入已知解得到m与n的关系，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：整理原方程，移项得：， ∵ 方程有唯一解， ∴ ，即 ， 将代入化简后的方程，得 ，整理得 ， 验证结论①：若 ，代入得 ，解得，与矛盾， ∴ ，①正确； 验证结论②：根据乙的描述，正整数取最小值时，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最小值为，不是 ， ∴ ②错误； 验证结论③：根据乙的描述，正整数取最大值时 ，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最大值为 ， ∵ 是正整数，且 ， ∴ 满足条件的为 ，共个，③正确； 综上，正确结论为①③． 题型15一元一次方程解的关系. 【典例】若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将关于的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用整体代换的思想，结合已知方程的解求解的值． 【详解】解：由，得． 关于的方程的解为， ， ． 【跟踪专练2】当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解与代数式值的联系，解题的关键是将方程转化为代数式的值的问题求解． 先将方程变形为，再结合表格找出对应的值． 【详解】解：方程变形为， 由表格可知，当时，， 所以方程的解是． 故选：B． 【跟踪专练3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 解答题 1．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 2．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 3．求未知数x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 4．计算与解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）直接运用有理数的加减运算法则计算即可； （2）直接运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可； （3）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （4）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （5）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （6）先化简方程，然后按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ． （5）解：， ，     ， ， ， ． （6）解：， ，     ， ， ， ． 5．对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． 【答案】 （1）① 1；② 3或；（2）3或；（3）4或2；（4）1 【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据新定义运算法则求解即可；②根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （2）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （3）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （4）由题意得，得到或，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴，即， ∴的值为或； （2）解：∵， ， ， ∴或， ∴或， ∴的值为或； （3）解：∵， ， ， 或， ∴或， 故答案为：或； （4）解：∵， ， 或， 或， 原方程存在三个不等解， 或， ，， ∴， ， ， 或， 或或（符合题意）， ∴的值为1． 6．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定，解答下列问题． (1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可； （）先解关于的一元一次方程，再根据“和解方程”的定义，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由方程，解得：， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ∵， ∴方程是“和解方程”； 故：③是“和解方程”． （2）解：由方程， 解得． ∵一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得． 7．已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，分别解出两个方程的解，根据题意，两个方程的解互为相反数，则，求出，即可． 【详解】解：方程， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； 方程：， 去分母，方程两边同时乘以，， 去小括号，得，， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； ∵两个方程的解互为相反数， ∴， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $