第14讲 解一元一次方程的（4个模块5个知识点5个考点）暑假预习讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第14讲 一元一次方程的解法（4个模块5个知识点5个考点） 模块导航 · 模块一 解一元一次方程——合并同类项和移项 · 模块二 解一元一次方程——去括号与去分母 · 模块三 一元一次方程的一般解法 · 模块四 课后作业 模块一 解一元一次方程——合并同类项和移项 知识点1 合并同类项与系数化为1 1.合并同类项 将一元一次方程中含有 未知数 的项与 常数 项分别合并，使方程转化为ax=b(a≠0)的形式，变形依据是 合并同类项法则 。 注意： (1)合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 (2)利用合并同类项解一元一次方程时,要明确这类方程的特点:等号一边只有含未知数的项，另一边只有常数项。 2.系数化为1 方程两边同时除以未知数的 系数 ，使一元一次方程ax=b(a≠0)变形为(a≠0)的形式，变形的依据是 等式的性质2 。例如，解方程x+2x=6-3，合并同类项，的3x=3。系数化为1，得x=1。 注意： (1)系数化为1时,若结果是分数,注意能约分的要约分,切勿颠倒分子与分母的位置。 (2)在系数化为1时,特别注意当系数是负数时,符号不要出错。 知识点2 解方程 求 方程的解 的过程，叫作解方程。解一个以x为未知数的方程，就是把方程转化为x=c（c为常数）的形式。 知识点3 移项法解一元一次方程 1.移项 (1)一般地,把方程中的项 改变符号 后,从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 (2)移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于等号左右两边，以便为下一步合并同类项创造条件，移项的依据是 等式的性质1 。 (3)移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边。 但也不尽然,比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边。例如:-x+1=5，移项，得1-5=x，所以-4=x，即方程的解为x= - 4。 2.移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1。 例如： 解方程： 10-4y=6y+5， 移项，得：-4y-6y=5-10。 合并同类项，得： -10y=-5。 系数化为1，得： y=0.5。 考点专训 考点1 系数化1 【例1】方程 的系数化为1，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】把的系数化为，正确的是（    ） A．得 B．得 C．得 D．得 【变式2】解方程：﹣5x＝4，得（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣ 【变式3】方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式4】解方程： 考点2 移项 【例1】由方程变形得到，这种变形叫（   ） A．移项 B．去括号 C．合并同类项 D．系数化为1 【变式1】下列变形属于移项的是（   ） A．由变形为 B．变形为 C．变形为 D．变形为 【变式2】方程移项后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】下列解方程移项正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由．得 D．由，得 模块二 解一元一次方程——去分母与去括号 知识点 去括号与去分母 1.去括号 (1)解含有括号的一元一次方程时，利用前面学习的去括号法则去掉括号。 (2)去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是乘法对加法的分配律。 (3)去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：+(a-b)= a-b； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：-(a-b)= -a+b； ③当括号前不是“+1”或“-1”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按乘法对加法的分配律乘括号内的每一项，再把积相加。 (4)去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1。 注意：若方程中有多层括号，通常由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号，可根据数据结构特点，灵活决定。例如-[-(a-b)+c]=(a-b)-c=a-b-c；-[-(a-b)+c]= - ( - a+b+c) = a-b-c。 2.去分母 (1)在含有分数系数的方程两边都乘同一个数(该数为各分母的 最小公倍数 )，使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母。 (2)去分母的目的是将方程中的分数系数转化为 整数 系数再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程。去分母的依据是 等式的性质2 。 (3)对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程。 考点专训 考点1 去括号 【例1】解一元一次方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列算式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果，那么下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】将方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下列解方程过程中，变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式5】去括号． (1)，去括号： ； (2)，去括号： ； (3)，去括号： ； (4)，去括号： ； (5)，去括号： ； 考点2 去分母 【例1】将方程去分母，得（   ） A． B． C． D． 【例2】解方程时，把分母化成整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】解方程时，去分母结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】小海同学在解关于的方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，得方程的解为，则方程中的值和正确的解是（   ） A． B． C． D． 模块三 一元一次方程的一般解法 知识点 解一元一次方程的一般步骤 去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1 注意：方程的移项必须: (1)跨过等号;(2)改变符号。 若某一项只在方程一边改变位置，不跨过等号，则属于多项式的移项，不改变符号。 考点专训 考点1 一元一次方程的一般解法 【例1】解方程： (1)； (2)； (3)． 【例2】补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②________．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤__________），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 【变式1】解方程． (1) (2) (3) (4) 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【变式4】下面是小圣同学的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得，    第①步 去括号，得，    第②步 移项，得，    第③步 合并同类项，得，    第④步 系数化为1，得．    第⑤步 (1)小圣的解题过程从第__________步开始出现错误． (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 模块四 课后作业 1．下列方程变形中，正确的（     ） A．方程，去分母 B．方程，移项得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 2．下列方程变形中，正确的是（    ） A．方程，去分母 B．方程，移项得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 3．将方程去分母得到，错误的原因是（   ） A．分母的最小公倍数不是6 B．去分母时等号右边的1漏乘6 C．去分母时符号写错了 D．去分母时不该添加小括号 4．下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 5．下列解方程的过程中正确的是（　　） A．方程去括号得 B．方程移项得 C．将去分母得 D．由得 6．将方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．解方程时，去分母后正确的等式是（   ） A． B． C． D． 8．小军同学利用去分母解关于的方程 时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为，则的值和方程的正确解为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．解方程： (1) (2) (3) (4) 11．解方程： (1) (2) (3) (4) 12．依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（ ） （ ），得．（等式的基本性质） 去括号，得．（ ） 移项，得．（ ） （ ），得．（合并同类项法则） 系数化为1，得．（ ） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一元一次方程的解法（4个模块5个知识点5个考点） 模块导航 · 模块一 解一元一次方程——合并同类项和移项 · 模块二 解一元一次方程——去括号与去分母 · 模块三 一元一次方程的一般解法 · 模块四 课后作业 模块一 解一元一次方程——合并同类项和移项 知识点1 合并同类项与系数化为1 1.合并同类项 将一元一次方程中含有 未知数 的项与 常数 项分别合并，使方程转化为ax=b(a≠0)的形式，变形依据是 合并同类项法则 。 注意： (1)合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 (2)利用合并同类项解一元一次方程时,要明确这类方程的特点:等号一边只有含未知数的项，另一边只有常数项。 2.系数化为1 方程两边同时除以未知数的 系数 ，使一元一次方程ax=b(a≠0)变形为(a≠0)的形式，变形的依据是 等式的性质2 。例如，解方程x+2x=6-3，合并同类项，的3x=3。系数化为1，得x=1。 注意： (1)系数化为1时,若结果是分数,注意能约分的要约分,切勿颠倒分子与分母的位置。 (2)在系数化为1时,特别注意当系数是负数时,符号不要出错。 知识点2 解方程 求 方程的解 的过程，叫作解方程。解一个以x为未知数的方程，就是把方程转化为x=c（c为常数）的形式。 知识点3 移项法解一元一次方程 1.移项 (1)一般地,把方程中的项 改变符号 后,从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 (2)移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于等号左右两边，以便为下一步合并同类项创造条件，移项的依据是 等式的性质1 。 (3)移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边。 但也不尽然,比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边。例如:-x+1=5，移项，得1-5=x，所以-4=x，即方程的解为x= - 4。 2.移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1。 例如： 解方程： 10-4y=6y+5， 移项，得：-4y-6y=5-10。 合并同类项，得： -10y=-5。 系数化为1，得： y=0.5。 考点专训 考点1 系数化1 【例1】方程 的系数化为1，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程两边同除以2即可得． 【详解】解：方程两边同除以2，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． 【变式1】把的系数化为，正确的是（    ） A．得 B．得 C．得 D．得 【答案】D 【分析】根据每个选项的未知数的项除以系数即可得到结论． 【详解】解：A，方程两边同除以可得，故选项A错误，不符合题意； B. 方程两边同除以3可得，故选项B错误，不符合题意； C. 方程两边同除以可得，故选项C错误，不符合题意； D. 方程两边同除以可得，故选项D正确，符合题意； 故选：D 【点睛】解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1；此题是形式简单的一元一次方程．同时考查了等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等． 【变式2】解方程：﹣5x＝4，得（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣ 【答案】C 【分析】方程两边除以﹣5即可求出解 【详解】方程﹣5x＝4， 解得：x＝﹣， 故选C 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【变式3】方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【变式4】解方程： 【答案】 【分析】方程两边同时乘即可． 【详解】解：， ， x=． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握等式的基本性质是解答本题的关键． 考点2 移项 【例1】由方程变形得到，这种变形叫（   ） A．移项 B．去括号 C．合并同类项 D．系数化为1 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握把含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边叫做移项成为解题的关键．根据移项的定义即可解答． 【详解】解：方程变形得到，这种变形叫移项． 故选：A． 【变式1】下列变形属于移项的是（   ） A．由变形为 B．变形为 C．变形为 D．变形为 【答案】C 【分析】本题考查了移项的定义，移项就是指把方程中的某一项从方程的一边移到方程的另一边，注意移项要变号． 根据移项的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 由变形为没有移项，故该选项不符合题意； B． 变形为没有移项，故该选项不符合题意； C． 变形为，是移项，故该选项符合题意； D． 变形为不是移项，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】方程移项后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程－移项．把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项．根据移项的法则进行判断即可． 【详解】解：根据移项的规则得：方程移项后为． 故选：B． 【变式3】方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据等式的性质把含未知数的项移到方程左边，把常数项移到方程右边即可得到答案． 【详解】解：， 移项得：， 故选：C． 【变式4】下列解方程移项正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由．得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后的答案．根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．即可解决． 【详解】解：A、根据等式性质1，等式两边都减5，应得，故错误，不符合题意； B、根据等式性质1，两边都减，应得，故错误，不符合题意； C、根据等式中1，两边都加，即可得，故正确，符合题意； D、根据等式性质1，两边都减，应得，故错误，不符合题意； 综上所述，C正确． 故选：C． 模块二 解一元一次方程——去分母与去括号 知识点 去括号与去分母 1.去括号 (1)解含有括号的一元一次方程时，利用前面学习的去括号法则去掉括号。 (2)去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是乘法对加法的分配律。 (3)去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：+(a-b)= a-b； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：-(a-b)= -a+b； ③当括号前不是“+1”或“-1”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按乘法对加法的分配律乘括号内的每一项，再把积相加。 (4)去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1。 注意： 若方程中有多层括号，通常由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号，可根据数据结构特点，灵活决定。例如-[-(a-b)+c]=(a-b)-c=a-b-c；-[-(a-b)+c]= - ( - a+b+c) = a-b-c。 2.去分母 (1)在含有分数系数的方程两边都乘同一个数(该数为各分母的 最小公倍数 )，使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母。 (2)去分母的目的是将方程中的分数系数转化为 整数 系数再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程。去分母的依据是 等式的性质2 。 (3)对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程。 考点专训 考点1 去括号 【例1】解一元一次方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程-去括号，根据括号前面是“”，则括号里面的都要变号计算即可． 【详解】解：方程去括号，得． 故选：D． 【变式1】下列算式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号法则．去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原式去括号错误，故此选项不符合题意； B、，原式去括号正确，故此选项符合题意； C、，原式去括号错误，故此选项不符合题意； D、，原式去括号错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】如果，那么下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等式的性质将原式整理后即可求得答案． 【详解】解：， 则， 整理得，则A不符合题意， 整理得，则B不符合题意， 整理得，则C不符合题意， 整理得，则D符合题意， 故选：D． 【变式3】将方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去括号法则，熟练掌握去括号的运算法则是解题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 去括号得：， 故选：A． 【变式4】下列解方程过程中，变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．根据去括号法则和合并同类项法则逐项计算即可． 【详解】解：A．由得，故原变形错误，不符合题意； B．由得，故原变形错误，不符合题意； C．由得，故原变形错误，不符合题意； D．由得，故原变形正确，符合题意． 故选D． 【变式5】去括号． (1)，去括号： ； (2)，去括号： ； (3)，去括号： ； (4)，去括号： ； (5)，去括号： ； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； 【详解】（1）解：， 去括号得：， （2）解：， 去括号得：； （3）解：， 去中括号得：， 去小括号得：； （4）解： 去括号得： （5）解： 去括号得： 考点2 去分母 【例1】将方程去分母，得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用是解题关键． 根据等式的性质，把方程的左右两边同时乘，判断出去分母正确的是哪个即可． 【详解】解：将方程去分母得：． 故选：C． 【例2】解方程时，把分母化成整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程的一般步骤，解题的关键是熟练掌握利用分数的性质把分母化为整数．根据题意直接根据分数的基本性质，即可得出答案． 【详解】解： ， 把分母化成整数，得：， 即． 故选：B 【例3】小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得：， 故选：B． 【变式1】解方程时，去分母结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的方法去分母即可，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴去分母得：， 故选：D． 【变式2】把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是． 故选：C． 【变式3】小海同学在解关于的方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，得方程的解为，则方程中的值和正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键．先把把代入方程右边的忘记乘以6的方程，求出，再正常解原方程即可． 【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：A． 模块三 一元一次方程的一般解法 知识点 解一元一次方程的一般步骤 去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1 注意：方程的移项必须: (1)跨过等号;(2)改变符号。 若某一项只在方程一边改变位置，不跨过等号，则属于多项式的移项，不改变符号。 考点专训 考点1 一元一次方程的一般解法 【例1】解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （3）解： 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【例2】补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②________．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤__________），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是利用分数的基本性质将方程的系数化为整数． 先将原方程化为整系数方程，再利用一元一次方程的一般解法求解． 【详解】解：原方程可变形为（①分数的性质） 去分母，得②6（③等式的基本性质2） 去括号，得（④乘法分配律与去括号法则） （⑤移项），得（⑥等式的性质1） （⑦合并同类项）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧（⑨等式的基本性质2）． 【变式1】解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘以或同时除以一个数（0除外），两边仍相等． （1）将分数和百分数化为小数，然后将左边合并为，最后根据等式的性质，方程左右两边同时除以6.25即可； （2）根据等式的性质，方程左右两边同时乘，再同时除以即可； （3）根据减法各部分的关系，化为，然后根据等式的性质，方程左右两边同时除以即可； （4）先算括号里面的结果为，然后根据等式的性质，方程左右两边同时加上即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查一元一次方程的解法，正确掌握一元一次方程的解法与步骤是解题关键． （1）移项、合并同类项，系数化1即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可； （3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可； （4）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）解：， 乘2得：， 乘3得：， 移项、合并同类项得：， 乘4得：， ， ． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】下面是小圣同学的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得，    第①步 去括号，得，    第②步 移项，得，    第③步 合并同类项，得，    第④步 系数化为1，得．    第⑤步 (1)小圣的解题过程从第__________步开始出现错误． (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去方程左边第二个式子的分母时5前面的符号没有变号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小圣的解题过程从第①步开始出错的，原因是去方程左边第二个式子的分母时5前面的符号没有变号； （2）解：解方程：． 解：去分母，得，     去括号，得，     移项，得，     合并同类项，得，     系数化为1，得． 模块四 课后作业 1．下列方程变形中，正确的（     ） A．方程，去分母 B．方程，移项得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的变形，需逐一分析各选项的变形步骤是否正确．掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】选项A：方程，去分母时应两边同乘最小公倍数10，得，但选项右边为1，未乘10，错误． 选项B：方程，移项将移到左边，移到右边，得，正确． 选项C：方程，去括号时应展开为，但选项写为，符号错误，错误． 选项D：方程，系数化为1应两边同除以2，得，但选项写为，分子分母颠倒，错误． 综上，仅选项B变形正确． 故选：B． 2．下列方程变形中，正确的是（    ） A．方程，去分母 B．方程，移项得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 根据解一元一次方程的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A、方程 ，去分母得，该项错误，故不符合题意； B、方程，移项得，该项正确，故符合题意； C、方程，去括号得，该项错误，故不符合题意； D、方程，系数化为1得，该项错误，故不符合题意； 故选：B． 3．将方程去分母得到，错误的原因是（   ） A．分母的最小公倍数不是6 B．去分母时等号右边的1漏乘6 C．去分母时符号写错了 D．去分母时不该添加小括号 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，利用等式的基本性质判断即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∴错误的原因是去分母时等号右边的1漏乘6． 故选：B． 4．下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解．A根据，时，即可判断关于的方程的解为；B根据，且，即可判断方程的解是；C根据有唯一的解，则即可；D根据，且，即可判断一定是方程的解． 【详解】解：A、，时，关于的方程的解为， 所以本选项符合题意； B、当，且，方程的解是， 所以本选项不符合题意； C、当有唯一的解，则， 所以本选项不符合题意； D、当，且，一定是方程的解， 所以本选项不符合题意； 故选：A． 5．下列解方程的过程中正确的是（　　） A．方程去括号得 B．方程移项得 C．将去分母得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去括号，移项，去分母，化整的步骤逐项分析即可． 【详解】解：A．方程去括号得，故不正确； B．方程移项得，故不正确； C．将去分母得，正确； D．由得，故不正确； 故选C． 6．将方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，根据分数的性质，将分数中的小数化成整数即可． 【详解】解：， ∴ ∴； 故选D． 7．解方程时，去分母后正确的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握等式的性质2是解题关键．将方程两边同时去分母即可得到答案． 【详解】解：将方程两边同时去分母得：， 故选：B． 8．小军同学利用去分母解关于的方程 时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为，则的值和方程的正确解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意求出m的值是解题的关键．先根据题意求出m的值，再把m的值代入方程中进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得是方程的解． 把代入，得， 解得， 所以原方程为． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 所以原方程的正确解为， 故选：C． 9．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1等技巧是解题的关键． （1）先移项再合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可得解； （3）先去分母，再移项合并同类项，最后系数化为1即可得解； （4）先去括号，再移项合并同类项，后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解： 移项得， 系数化为1解得． （2）解： 去括号得， 合并同类项得， 系数化为1解得． （3）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1解得． （4）解： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1解得． 10．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项合并得，， 解得； （2）解：去括号得， 移项合并得，， 解得； （3）解：去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 解得； （4）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，． 11．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）先移项，在合并同类项，然后系数化为1，即可求解； （2）本题先去分母，在去括号，然后移项，在合并同类项，最后系数化为1，即可求解； （3）本题先去括号，然后移项，在合并同类项，最后系数化为1，即可求解； （4）本题先去分母，在去括号，然后移项，在合并同类项，最后系数化为1，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ， ； 12．依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（ ） （ ），得．（等式的基本性质） 去括号，得．（ ） 移项，得．（ ） （ ），得．（合并同类项法则） 系数化为1，得．（ ） 【答案】见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据步骤中每步的依据填写即可． 【详解】解：原方程可变形为．（分数的基本性质） （去分母），得．（等式的基本性质） 去括号，得．（乘法分配律） 移项，得，得．（等式的基本性质） （合并），得．（合并同类项法则） 系数化为1，得．（等式的基本性质）； 故答案为：分数的基本性质；去分母；乘法分配律；等式的基本性质；合并；等式的基本性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$