专题02 数轴上的动点问题9大题型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以四步解题法为核心，系统覆盖单动点到新定义九类题型，构建从基础运动到综合应用的完整训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单动点（简单/规律）|10题|右加左减表点，距离用绝对值|从静态点表示到动态规律探究| |双动点（匀速/变速）|10题|路程和差列方程，分类讨论多解|速度-时间-路程关系深化| |多动点/定值/折叠|15题|中点公式，定值无关量消元|多变量运动中不变量分析| |几何图形/新定义|10题|数形结合，新定义转化|几何直观与符号意识结合|

专题02 数轴上的动点问题 题型一：单动点问题（简单运动类） 题型二：单动点问题（规律变化类） 题型三：双动点问题（匀速运动类） 题型四：双动点问题（变速运动类） 题型五：多动点问题 题型六：动点中的定值、无关问题 题型七：数轴上的折叠运动问题 题型八：几何图形在数轴上的运动问题 题型九：新定义类运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【高频题型注意点】 题型 1：两点相遇问题 两个动点相向而行 等量关系：两者路程之和 = 初始两点距离 ⚠️ 验证：求出 t 后代回动点表达式，确认位置一致。 题型 2：两点相距定值（最容易漏解） 动点 A、B 相距 m 个单位 列式： ✅ 一定有两种情况： ① A 在 B 左边 ② A 在 B 右边 很多同学只算出一个答案，丢一半分数！ 题型 3：到两点距离相等（中点 / 两侧对称） 两种情况： 是 中点（常规答案） 在点 同侧（容易漏掉） 题型 4：中点公式 若点 M 是 A、B 中点 动点问题经常结合中点求值、定值探究。 【标准解题步骤】 1. 设运动时间为 2. 用含代数式表示每个动点对应的数（右加左减） 3. 根据题意列等式（距离用绝对值） 4. 解方程 5. 检验解是否符合实际（t≥0、运动范围） 6. 写出最终答案，多解分开说明 题型一：单动点问题（简单运动类） 1．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）数轴上动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是（） A．1 B． C．2 D．3 2．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 4．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知数轴上的点A，B所对应的数分别为 -2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x． (1)点Q到点A和点B的距离和的最小值是 ； (2)若点Q是线段AB的中点，则x的值是 ； (3)若点Q到点A和点B的距离和是12，求x的值． 5．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为．例如：，．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： (1)填空：______； (2)当时，求的值． 题型二：单动点问题（规律变化类） 6．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知A，B，C三点在数轴上表示的数分别为a，b，c，点A在原点的左边，a，b互为相反数且乘积为，b，c互为倒数，    (1)求a，b，c的值，并在如图所示的数轴上表示出A，B，C三点的位置． (2)若数轴上有一个动点从点A出发，经过4秒到达点B，又经过2秒到达点D，假设动点在运动过程中速度保持不变，求点D所表示的数． 7．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个动点在数轴上移动时，这个点所表示的数也会发生变化．如果点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点，再向右移动2个单位长度得到点，然后向左移动6个单位长度得到点，最后回到原点． (1)在数轴上表示出点的位置； (2)点与原点之间的距离是__________个单位长度； (3)点一共移动了多少个单位长度？ 8．（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 9．（25-26七年级上·广西防城港·期中）如图．在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动8个单位长度到达点． (1)若点表示的数为0，求点、点表示的数； (2)若点表示的数为5，求点、点表示的数； (3)如果点表示的数互为相反数，求点表示的数． 10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 题型三：双动点问题（匀速运动类） 11．（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且点A在点B的左边，，，． (1)______，______； (2)现有一动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． ①设两动点在数轴上的点C相遇，求点C表示的数； ②两动点相遇后，经过10秒，求两个动点之间的距离． 12．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 13．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点A，B表示的数分别为x，y，那么：①它们之间的距离为；②它们中点所表示的数为，若数轴上有两点A，B，A表示的数为，B表示的数为4． (1)若数轴上还有一点C，且，则点C对应的数是　　． (2)若，则　　． (3)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点P，Q同时出发，　　s后． (4)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为的中点，点N为的中点，则在点P运动的过程中，　　． 14．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． (1)求a，b的值． (2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，问运动几秒后，点P到达B点？ (3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动若干秒后，P、Q两点间的距离为3个单位长度，求此时点P所表示的数？ 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 题型四：双动点问题（变速运动类） 16．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 17．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度； ②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________ 18．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 20．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）【知识准备】数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：． 【问题探究】 (1)如图，点在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是，则__________； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设，两点的运动时间为秒，当时，求的值． (3)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动．当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，请问：当点运动时间为__________秒时，．（直接写出答案，不写解题过程） 题型五：多动点问题 21．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 22．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 23．（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 24．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 25．（25-26七年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 题型六：动点中的定值、无关问题 26．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 27．（25-26七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 28．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 29．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）A，B两点在数轴上如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，且点A距离原点6个单位长度，a．b满足b﹣|a|＝2． （1）a＝　 　；b＝　 　； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t＞0） ①当PO＝2PB时，求点P的运动时间t：②当PB＝6时，求t的值： （3）当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E、F，则的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由． 30．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型七：数轴上的折叠运动问题 31．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 32．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 33．（25-26七年级上·广东广州·期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 34．（25-26七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 35．（24-25七年级上·江西南昌·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 题型八：几何图形在数轴上的运动问题 36．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 37．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 38．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 39．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数_________． 40．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 题型九：新定义类运动问题 41．（25-26七年级上·广东广州·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 42．（25-26七年级上·北京·期中）已知点为数轴原点，对于数轴上的图形和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，图形上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，那么称图形与图形为关于点的关联图形，此时若线段的长度存在最小值，称该最小值为图形与图形的关联距离，记作． (1)如图1，数轴上，表示的数分别为，1，2，3，下列线段能与点组成关于点的关联图形的是_____； ①线段 ②线段 ③线段 (2)数轴上表示的数分别为， ①若，则_____； ②若，则的值为_____； ③若线段与线段为关于点的关联图形，则的最大值为_____． ④若线段在原点的左侧，且线段与线段为关于点的关联图形，则_____或_____（用含的代数式表示）． 43．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 44．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 45．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴上的动点问题 题型一：单动点问题（简单运动类） 题型二：单动点问题（规律变化类） 题型三：双动点问题（匀速运动类） 题型四：双动点问题（变速运动类） 题型五：多动点问题 题型六：动点中的定值、无关问题 题型七：数轴上的折叠运动问题 题型八：几何图形在数轴上的运动问题 题型九：新定义类运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【高频题型注意点】 题型 1：两点相遇问题 两个动点相向而行 等量关系：两者路程之和 = 初始两点距离 ⚠️ 验证：求出 t 后代回动点表达式，确认位置一致。 题型 2：两点相距定值（最容易漏解） 动点 A、B 相距 m 个单位 列式： ✅ 一定有两种情况： ① A 在 B 左边 ② A 在 B 右边 很多同学只算出一个答案，丢一半分数！ 题型 3：到两点距离相等（中点 / 两侧对称） 两种情况： 是 中点（常规答案） 在点 同侧（容易漏掉） 题型 4：中点公式 若点 M 是 A、B 中点 动点问题经常结合中点求值、定值探究。 【标准解题步骤】 1. 设运动时间为 2. 用含代数式表示每个动点对应的数（右加左减） 3. 根据题意列等式（距离用绝对值） 4. 解方程 5. 检验解是否符合实际（t≥0、运动范围） 6. 写出最终答案，多解分开说明 题型一：单动点问题（简单运动类） 1．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）数轴上动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是（） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 通过逆向思维，从点B出发，按照相反方向移动相应的单位长度，即可求出点A表示的数． 【详解】解：点B表示的数是1， 动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B， 点A表示的数是． 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，找到动点的运动规律是解题的关键． 根据移动的方向、速度和规律进行计算找出运动的规律即可求解， 【详解】解：第个秒，即第一次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第二次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第三次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第四次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， ， ∵， 即第次秒后，再向左移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时，所对应的数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 4．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知数轴上的点A，B所对应的数分别为 -2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x． (1)点Q到点A和点B的距离和的最小值是 ； (2)若点Q是线段AB的中点，则x的值是 ； (3)若点Q到点A和点B的距离和是12，求x的值． 【答案】(1)8 (2)2 (3)8或-4 【分析】（1）根据图可知，点Q在A，B两点之间时， 点Q到点A和点B的距离和最小即可求解； （2）若点Q是线段AB的中点，则根据中点为A，B两点的值相加除以2即可求解； （3）分两种情况讨论：若点Q在点B的右侧，若点Q在点A的左侧，根据题意列方程可得； 【详解】（1）由图可知，点Q在A，B两点之间时， 点Q到点A和点B的距离和最小，最小值是2+6=8； 故答案为：8； （2）若点Q是线段AB的中点，则 ， 故答案为：2； （3）分两种情况讨论： 若点Q在点B的右侧，由题意可得 x-6+x-（-2）=12． 解得x=8． 若点Q在点A的左侧，由题意可得 6-x+（-2）-x=12． 解得x=-4． 综上所述，x的值是8或-4． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，数轴上两点的中点的表示，以及线段的和差计算；解题的关键是画出数轴，找等量关系，根据题意列方程． 5．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为．例如：，．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： (1)填空：______； (2)当时，求的值． 【答案】(1)6 (2)6或22 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键． （1）根据题中的方法求解； （2）先根据题中的方法求出x，再求解． 【详解】（1）解：∵点A对应的数为，点C对应的数为5， ∴， 故答案为：6． （2）解：∵点P为数轴上的动点，其对应的数为x，点C对应的数为5， ∴或， 解得：或， 当时，， 当时，． 综上，当时，的值为6或22． 题型二：单动点问题（规律变化类） 6．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知A，B，C三点在数轴上表示的数分别为a，b，c，点A在原点的左边，a，b互为相反数且乘积为，b，c互为倒数，    (1)求a，b，c的值，并在如图所示的数轴上表示出A，B，C三点的位置． (2)若数轴上有一个动点从点A出发，经过4秒到达点B，又经过2秒到达点D，假设动点在运动过程中速度保持不变，求点D所表示的数． 【答案】(1)，，；图见解析； (2)4或0． 【分析】（1）根据相反数和倒数的定义，求出a，b，c的值，在数轴上进行表示即可； （2）求出动点的速度，再用速度乘以时间得到之间的距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数且乘积为， ∴，， ∵互为倒数， ∴． 点A，B，C在数轴上的位置如图所示．    （2）由图可知，A，B两点相距4个单位长度， 所以该动点的速度为个单位长度/秒， 又经过2秒，之间的距离为：个单位长度， 所以点D表示的数为4或0． 【点睛】本题考查相反数，倒数，利用数轴上的点表示数，以及数轴上的动点问题．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想求解，是解题的关键． 7．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个动点在数轴上移动时，这个点所表示的数也会发生变化．如果点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点，再向右移动2个单位长度得到点，然后向左移动6个单位长度得到点，最后回到原点． (1)在数轴上表示出点的位置； (2)点与原点之间的距离是__________个单位长度； (3)点一共移动了多少个单位长度？ 【答案】(1)见详解 (2)1 (3)点一共移动了12个单位长度 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据点的移动方向和单位进行列式计算，得出点，，在数轴上表示的数是，5，，然后再在数轴上表示出点的位置，即可作答． （2）由（1）得点在数轴上表示的数是，点与原点之间的距离是个单位长度； （3）充分理解题意，把移动的距离都相加，即可作答． 【详解】（1）解：∵点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点， ∴， 即点在数轴上表示的数是； ∵再向右移动2个单位长度得到点， ∴， 即点在数轴上表示的数是； ∵向左移动6个单位长度得到点， ∴ 即点在数轴上表示的数是； 在数轴上表示出点的位置，如图所示： （2）解：由（1）得点在数轴上表示的数是， 则 ∴点与原点之间的距离是个单位长度， 故答案为：1； （3）解：∵点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点，再向右移动2个单位长度得到点，然后向左移动6个单位长度得到点，最后回到原点．且点在数轴上表示的数是， ∴， ∴点一共移动了个单位长度． 8．（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【答案】(1)6，，10 (2)①3；②或2；③见解析 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上的距离计算及动点问题，解题的关键是利用非负数的性质求、的值，结合数轴的特点分析点的位置． （1）利用平方和绝对值的非负性求、，再计算两点距离； （2）①先根据条件确定点的位置，再计算、距离； ②设点表示的数，根据距离关系列方程求解； ③分三种情况分析、、的位置关系，确定点的移动方法． 【详解】（1）解：一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ，解得， 、间的距离为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ，所以或，所以或， 点C在数轴上表示的数为， 点B，C之间的距离为； ②由（2）①知点B，C之间的距离为3，当点P在点B，C之间时，点P到点B的距离为 ， 点P表示的数为； 当点P在点C的右侧时，点P到点C的距离为3， 点P表示的数为， 综上，点P表示的数为或2； ③点C向左移动13个单位长度，点B到点A，C的距离相等； 点C向右移动2个单位长度，点C到点A，B的距离相等； 点C向右移动17个单位长度，点A到点B，C的距离相等． 9．（25-26七年级上·广西防城港·期中）如图．在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动8个单位长度到达点． (1)若点表示的数为0，求点、点表示的数； (2)若点表示的数为5，求点、点表示的数； (3)如果点表示的数互为相反数，求点表示的数． 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为3 (2)点表示的数为，点表示的数为2 (3)点表示的数为 【分析】本题考查了数轴和有理数的运算、数轴上两点间距离等： （1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点B、点C表示的数； （2）依据点C表示的数为5，利用两点间距离公式，可得点B、点A表示的数； （3）依据点A、C表示的数互为相反数，利用两点间距离公式，可得点B表示的数． 【详解】（1）解：若点表示的数为0， ， 点表示的数为， ， 点表示的数为3； （2）解：若点表示的数为5， 点表示的数为， ， 点表示的数为2； （3）解：若点表示的数互为相反数， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 【答案】(1)7，3 (2)①；②2或 (3)11 【详解】（1）解：根据A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为， 则数轴上表示-2和5的两点之间的距离， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离． 故答案为7，3． （2）解：①数轴上A，B两点表示的数分别为x和， A，B两点之间的距离． ②， ， 解得或． （3）解：点P在线段上，因此x的取值范围为， 计算的值： 当时，； 当时，， 因此： 【点睛】此题综合考查了数轴距离、绝对值性质、绝对值方程、动点问题以及数轴上的几何意义等多个知识点，要求学生具备较强的数形结合能力和代数运算能力． 题型三：双动点问题（匀速运动类） 11．（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且点A在点B的左边，，，． (1)______，______； (2)现有一动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． ①设两动点在数轴上的点C相遇，求点C表示的数； ②两动点相遇后，经过10秒，求两个动点之间的距离． 【答案】(1)， (2)①50；②50 【分析】（1）由点A在点B的左边，，可知．再根据绝对值的性质和即可求出a和b的值； （2）①设运动时间为t，则，，根据题意可列出关于t的方程，解出t的值，结合点A表示的数即可求解；②再经过10秒后，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：①由数轴可知． 设运动时间为t，则，， ∵两动点在数轴上的点C相遇， ∴，即， 解得：， ∴， ∴点C表示的数为50； ②两动点相遇，经过10秒后，，， ∴两个动点之间的距离． 【点睛】本题考查绝对值的性质，用数轴上的点表示数，有理数的乘法，有理数的加法，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，利用数形结合的思想是解题关键． 12．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查了绝对值、相反数及数轴上两点间的距离等知识，掌握这些知识是关键； （1）由绝对值可求得a的值，再由相反数的意义可求得b的值； （2）根据点P运动的路程与点Q运动的路程的差等于，得到方程，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵a，b 互为相反数， ∴． （2）解：由题意可知：A、B 两点之间的距离为10， 设运动了t秒，点P追上点Q，则， ∴， ∴C点表示的有理数c为． 13．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点A，B表示的数分别为x，y，那么：①它们之间的距离为；②它们中点所表示的数为，若数轴上有两点A，B，A表示的数为，B表示的数为4． (1)若数轴上还有一点C，且，则点C对应的数是　　． (2)若，则　　． (3)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点P，Q同时出发，　　s后． (4)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为的中点，点N为的中点，则在点P运动的过程中，　　． 【答案】(1) (2)或 (3)4或6 (4)5 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离及动点问题， （1）根据题意得到C是中点，进而根据中点即可求解； （2）根据题意结合数轴上两点间的距离得到表示的点到的距离等于2，从而即可求解； （3）先根据题意设点，运动时间是秒，则表示的数为，表示的数是，进而根据有理数在数轴上的表示结合数轴上两点间的距离即可求解； （4）设动点运动的时间为，则表示的数为，根据中点得到M表示的数是，表示的数是，进而即可求解． 【详解】（1）解：， 是中点，点对应的数是， 故答案为：； （2）解：， ，即表示的点到表示的数的点距离等于2， 或， 故答案为：或； （3）解：设点，运动时间是秒，则表示的数为，表示的数是， ， ， 解得或6， 故答案为：4或6； （4）解：设动点运动的时间为，则表示的数为， 为的中点，为的中点， 表示的数是，表示的数是， ， 故答案为：5． 14．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． (1)求a，b的值． (2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，问运动几秒后，点P到达B点？ (3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动若干秒后，P、Q两点间的距离为3个单位长度，求此时点P所表示的数？ 【答案】(1)， (2)6秒 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出a、b即可； （2）根据运动距离÷速度=时间求解即可； （3）分点P、Q相遇前和相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，． （2）解：由（1）可知点A、B表示的数分别为、， ∴A、B两点之间的距离为个单位长度， ∴秒， 答：点P运动6秒后到达B点． （3）解：由题意，有两种情况： P、Q相遇前：（秒）， 即经过秒在相遇前P、Q两点间的距离为3个单位长度， ∵， 即此时点P所表示的数是． P、Q相遇后：（秒）， 即经过秒在相遇后P、Q两点间的距离为3个单位长度， ∵， 即此时点P所表示的数是． 所以P、Q两点间的距离为3个单位长度时，点P表示的数是或． 【点睛】本题考查数轴、有理数的运算等知识，理解绝对值的非负性，会利用数形结合思想和分类讨论思想解决数轴上的动点问题是解答的关键． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 题型四：双动点问题（变速运动类） 16．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 【答案】(1)10，1 (2)或或 (3)当时，；当时， 【分析】kkk本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）分点Q向左运动和返回运动两种情况，根据两点间距离公式列方程求解； （3）分点向左运动和返回运动两种情况，先求出、表示的数，再利用距离公式计算MN的长度． 【详解】（1）解：表示的数为，点表示的数为6， 中点表示的数是 故答案为：10，1； （2）解：当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当点返回到点时，， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或或时，两点间距离为3． （3）解：点为的中点，点为的中点， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ． ∴当时，；当时，． 17．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度； ②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________ 【答案】(1)见解析； (2)①4 ，2 ，4；②或或或 【分析】（1）根据题意画出数轴即可； （2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①当时，P点表示的数为6-4=2， ∴，，， 故答案为：4、2、4； ②当P从C向A运动，时， ，，， ∵， ∴， 解得； 当P从C向A运动，时， ，，， ∵， ∴， 解得； 当P从A向C运动时，当时， ，，， ∵， ∴， 解得； 当P从A向C运动时，当时， ，，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解． 18．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 【答案】(1)，，， (2)，6 (3)这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位 【分析】本题考查了数轴上点与点之间距离的运用，关键明确点与点之间的距离是正数． （1）根据数轴上两点间的距离，分两种情况加减1.5即可得出答案； （2）根据数轴上点的折叠求出折叠点，再左减右加，即可解答； （3）根据路程中数量关系式求出相遇时间，再用相遇时间×移动的速度求出结果． 【详解】（1）数轴上若点M表示的数是，M、N两点的距离为 1.5， 则点N表示的数是，或； 数轴上若点M表示的数是4，M、N两点的距离为1.5， 则点N表示的数是 ，或； 综上所述，满足条件的点N所表示的数是，，，， 故答案为：，，，； （2）根据题意折叠点：2， E：，F：， 故答案为：，6； （3）， （秒）， ， ， 答：这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位． 20．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）【知识准备】数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：． 【问题探究】 (1)如图，点在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是，则__________； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设，两点的运动时间为秒，当时，求的值． (3)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动．当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，请问：当点运动时间为__________秒时，．（直接写出答案，不写解题过程） 【答案】(1)18 (2)或 (3)，5，，． 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，有理数的加减运算；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）首先表示出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据列方程求解即可； （3）首先求出根据题意得，M的路程为，N的路程为，M运动的时间为（秒），N的运动时间为（秒），然后根据题意分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是， ∴； 故答案为：18； （2）解：根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 整理得，， ∴或， 解得或； （3）解：∵， 根据题意得，M的路程为，N的路程为，M运动的时间为（秒），N的运动时间为（秒）； ∵， ∴第一次相遇前，， 解得秒； 第一次相遇后，， 解得秒； ∴第二次相遇前，， 解得秒； 第二次相遇后，时，N回到点B停止运动，M的路程为，此时， 当时，， 解得秒； 综上所述，t的值为，5，，． 故答案为：． 题型五：多动点问题 21．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 22．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 23．（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 【答案】（1）；； （2）线段的长度不变，长度为7； （3）0 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）根据题意，t秒后，点运动的路程为，点表示的数为； （2）分两种情况讨论：①当点P在线段上；②当点P在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可； （3）当点P追上T的时间．当Q追上T的时间．当Q追上P的时间，推出当时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）根据题意，秒后，点运动的路程为；点表示的数为； 故答案为：；； （2）线段的长度不变，理由如下： ①当点P在线段上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； ②当点P在线段的延长线上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； 所以线段的长度不变，是7． （3）当点P追上T的时间， 当Q追上T的时间， 当Q追上P的时间， ∴当时，位置如图， ∴． 24．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 25．（25-26七年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 题型六：动点中的定值、无关问题 26．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 27．（25-26七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 28．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2 (3)①；；②MN的长是定值， 【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长； （2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可； （3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解； ②用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且， 所以， 所以点B表示的数是； 因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且， 所以， 所以点C表示的数是14， 点B与点C的距离是（单位长度）， 所以线段BC的长为24个单位长度， 故答案为：，14，24． （2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是， 根据题意得， 解得， 所以， 答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是． （3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：， ∵M为中点， ∴点M对应的数为：， t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：， ∵N为中点， ∴点N对应的数为：， 故答案为：；； ②线段的长为定值， ∵点M对应的数为，点N对应的数为； ∴， ∴线段的长为定值． 【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系． 29．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）A，B两点在数轴上如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，且点A距离原点6个单位长度，a．b满足b﹣|a|＝2． （1）a＝　 　；b＝　 　； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t＞0） ①当PO＝2PB时，求点P的运动时间t：②当PB＝6时，求t的值： （3）当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E、F，则的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由． 【答案】(1)-6，8；(2)①t=或11；②t=4或10；(3)为定值2． 【分析】（1）由点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边，推出a=-6，由b-|a|=2．可得b=8； （2）①②根据题意构建方程即可解决问题； （3）根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算  即可． 【详解】(1)∵点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边， ∴a=-6， ∵b-|a|=2． ∴b=8， 故答案为-6，8． (2)①∵OP=2PB， 观察图象可知点P在点O的右侧：2t-6=2（14-2t）或2t-6=2（2t-14）， 解得t=或11． ②（14-2t）=6或（2t-14）=6 解得t=4或10． (3)当点P运动到线段OB上时， AP中点E表示的数是=-6+t，OB的中点F表示的数是4， 所以EF=4-（-6+t）=10-t， 则==2． 所以的值为定值2． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式．解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 30．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题． （1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值； （2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 的相反数为， ， 故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合， 折点为， 与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 题型七：数轴上的折叠运动问题 31．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 32．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 【答案】(1) (2)B点表示的数是或1； (3)M点表示的数是，N点表示的数是． 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，点的对称性． （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称， ，而， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或1； （3）解：M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是，N点表示的数是． 33．（25-26七年级上·广东广州·期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 【答案】(1)3 (2)①；②，6 (3)秒 【分析】（1）设表示的点与x表示的点重合，根据1表示的点与表示的点重合，得到折痕过原点，根据对称点到对称轴的距离相等得到，解得； （2）①根据表示的点与3表示的点重合，得到折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，得到，解得；②设点A表示的数为x，则，解得，点B表示的数为； （3）设t秒，得到点E表示的数为，点F表示的数为，当1表示的点与表示的点重合时，得到折痕过原点，根据点E与点F也恰好重合，得到，解得． 【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合 ∵1表示的点与表示的点重合， ∴折痕经过数表示的点，即原点， ∴， ∴ ∴表示的点与3表示的点重合； 故答案为：3 （2）①∵表示的点与3表示的点重合， ∴折痕经过数表示的点， 设5表示的点与数x表示的点重合， 则， ∴； 故答案为：； ②设点A表示的数为x，则点B表示的数为， ， ∴， ， 故答案为：，6； （3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为， ∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点， ∴点E与点F也恰好重合时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握对称点到对称轴的距离相等，中点坐标公式． 34．（25-26七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【答案】（1）3；（2）；（3），4.5；（4）①2；②13 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意，,点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3 （2）因为数2对应的点与数对应的点重合， 所以，对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：0 （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为， ， 解得：， 则， 所以，点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （4）①根据题意，, 点P对应的数为， ， 解得：， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为， ， 解得：， 答：时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 35．（24-25七年级上·江西南昌·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 题型八：几何图形在数轴上的运动问题 36．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 【答案】(1)16 (2) (3) (4) 【分析】（1）由点A表示的数是，根据两点之间的距离公式即可求解； （2）由，，再根据即可求解； （3）可求得当点P与点C重合时，，所以当点P从点B向点C运动时，，此时点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧，再根据两点间的距离公式代入即可求解； （4）可求得当点Q与点D重合时，，当时，点P表示的数是,则再分六种情况讨论，一是当，且时，则；二是当，且时，则；三是当，且时，由（3）得；四是当，且时，则；五是当，且时，则；六是当，且时，则，解方程求出相应的符合题意的t值即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是， ， 故答案为：16． （2）解：∵点B表示的数是6， ， ， ， 故答案为：. （3）解：当点P与点C重合时，则， 解得， 当点P从点B向点C运动时，， 点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧， ， 由，得， 解得：． （4）解：当点Q与点D重合时，则， 解得， 当时，点P表示的数是，即， ， 当，且时，则， 解得：； 当，且时，则， 解得：； 当，且时，由（3）得； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去； 当，且时，由（3）得， ， 解得，不符合题意，舍去； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去， 综上所述，t的值是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示点P、点Q所对应的数是解题的关键． 37．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离： （1）根据长方形得，点表示的数为，则，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由得，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系即可求解； （3）设经过秒后，，则点C表示的数为，点P表示的数为，，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系求得的值，进而可求解； 熟练掌握两点之间的距离公式及利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：是长方形，长为3，宽为2，点B与表示的点重合， ，，点表示的数为， 点P表示的数为， ， ． （2）是长方形，宽为2， ，， ， ， 即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 综上所述：点所表示的数为或． （3）设经过秒后，， 长方形各个点都向左移动了个单位长度， 则点C表示的数为， 点P向右移动了个单位长度， 则点P表示的数为， ，即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为， 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为，     综上所述：点P表示的数为或． 38．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【分析】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 39．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数_________． 【答案】5044 【分析】翻转两次后点B落在数轴上，根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数得出翻转几个周期循环，确定点B落在数轴上推算出移动的距离得出结果. 【详解】如图，翻转两次后点B落在数轴上，以后翻转4次为一个周期，且长方形的周长=2（2+3）=10， ∴一个周期后右边的点移动10个单位长度， ∵， ∴翻转2018次后，点B落在数轴上， 点B所对应的数是， 故答案为：5044. 【点睛】此题考查旋转的性质，长方形的性质，图形规律类运算探究，根据图形得到变化的规律是解题的关键. 40．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2)C、D之间的距离为 (3)点D表示的数为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； （2）解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； （3）解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 题型九：新定义类运动问题 41．（25-26七年级上·广东广州·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2)或0或6；30或48或21． 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，弄清题中关于“祁美点”定义，按照定义表示线段倍数关系，分类讨论是解题的关键． （1）设M点表示的数是x，由题意可得或，求出符合题意的x的值即可； （2）设点P表示的数是x，由题意可得或，求出符合条件的x的值即可； 设点P表示的数是x，分三种情况讨论：当P点是点A，B的“祁美点”；当A点是P，B的“祁美点”；当B点是A，P的“祁美点”；列方程，求出P点表示的数即可得到答案． 【详解】（1）解：点M是点A，B的“祁美点”， 或， 设M点表示的数是x，点M在A，B之间，， ∴或 解得：或 点M表示一个负数， 点M表示的数为； （2）点P是点A，B的“祁美点”， 或， 设点P表示的数是x，由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的左侧， 或或， 故答案为：或0或6； 设点P表示的数是x， 当点P是点A，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， ， 当A点是P，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 当B点是A，P的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 或； 综上：点P表示的数是30或48或21． 42．（25-26七年级上·北京·期中）已知点为数轴原点，对于数轴上的图形和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，图形上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，那么称图形与图形为关于点的关联图形，此时若线段的长度存在最小值，称该最小值为图形与图形的关联距离，记作． (1)如图1，数轴上，表示的数分别为，1，2，3，下列线段能与点组成关于点的关联图形的是_____； ①线段 ②线段 ③线段 (2)数轴上表示的数分别为， ①若，则_____； ②若，则的值为_____； ③若线段与线段为关于点的关联图形，则的最大值为_____． ④若线段在原点的左侧，且线段与线段为关于点的关联图形，则_____或_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)② ③ (2)①0；②；③ 5 ④或6 【分析】（1）根据定义判断解答即可； （2）①设P点表示的数用表示，点表示的数用表示，且，， 根据题意，，此时应满足，此时重合，且，解答即可； ②根据题意，得，且，线段，线段GH）=7，求得， 根据题意，当点F与点P重合时，取得最小值，解答即可； ③当点E与点P重合时，取得最大值，，解答即可． ④根据定义解答即可． 本题考查了轴上的两点间距离，新定义，熟练掌握数轴上点表示数，数轴上的两点间距离，绝对值是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，数轴上，表示的数分别为，1，2，3， 点到点的距离为，等于数表示点到点的距离，数表示点在线段 ，线段上，符合题意， 故答案为：②，③． （2）①解：当时，数轴上表示的数分别为，如图所示， 图形上存在一点，图形上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，设P点表示的数用表示，点表示的数用表示，且，， 根据题意，，此时应满足，此时重合，且， 故， 故答案为：0； ②解：根据题意，得，且， 故， 解得， 根据题意，当点F与点P重合时，取得最小值， 由点Q为正数， 故点P是负数， 故点P表示的数， 根据题意，， 解得， 故答案为：； ③解：根据题意，得，， 根据题意，当点E与点P重合时，取得最大值，， 此时， 故答案为：5． ④解：∵线段在原点的左侧， ∴， ∴， ∵线段与线段为关于点的关联图形， ∴, ∴点表示的数最小为时，点E表示的数为， 当时，； 当时，； 故答案为：或6． 43．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，，． 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 44．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 45．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可； （2）分为线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况进行讨论即可； （3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段）， 解得：， ∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间， ∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $