2. 3.2 有理数的乘法运算律 导学案 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数乘法运算律，涵盖交换律、结合律、分配律及简便运算。课堂导入从复习有理数乘法入手，通过实例对比小学运算律，引导学生理解运算律向有理数的推广，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料亮点在于分层设计知识点，从定义表述到字母表达，再到正逆用及拆分技巧，配合梯度习题。注重培养运算能力，通过凑整、分配律灵活应用等策略提升推理意识，结合生活情境增强应用意识，助力学生高效掌握运算技巧。

2026-2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 3 有理数的乘除运算 第2课时 有理数的乘法运算律 ▌课时目标 1. 理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，能用文字语言和字母表达式准确表述三个运算律，体会运算律从正整数到有理数的推广。 2. 能运用乘法运算律重新组合因数，对有理数乘法进行简便运算，提高计算效率和准确性。 3. 掌握乘法分配律在正用、逆用及拆分因数时的常见简便计算方法，能根据算式特征灵活选择运算策略，减少运算错误。 ▌课时目录 知识点01：乘法交换律 知识点02：乘法结合律 知识点03：乘法分配律 知识点04：运用乘法运算律进行简便计算 ▌知识点01：乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b＝b×a。 有理数范围内乘法交换律仍然成立。例如：(－3)×5＝5×(－3)＝－15。运用交换律时，因数连同符号一起交换，不受符号影响。交换律的主要作用是调整因数顺序，为凑整或应用其他运算律创造条件。 1．（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察计算式发现与相乘可以凑整，与相乘可以约分，故可用乘法交换律交换这几个乘数，进一步计算即可得答案． （2）观察计算式发现，前两个乘法中都有，可用乘法分配律先计算得，观察发现还可用乘法分配律，进一步计算即可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌知识点02：乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为：(a×b)×c＝a×(b×c)。 有理数范围内乘法结合律同样成立。例如：[(－4)×2.5]×(－2)＝(－4)×[2.5×(－2)]＝20。结合律允许优先计算乘积为整数的两个数，简化运算过程，常与交换律配合使用。 5．（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算： ________． 【答案】 【分析】将原式变形为，再发现乘积的规律即可求解． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）利用乘法交换律和结合律计算即可； （2）先将除法运算转为乘法运算，然后利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． ▌知识点03：乘法分配律 一个数同两个数的和（或差）相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加（或相减）。用字母表示为：a×(b＋c)＝a×b＋a×c；a×(b－c)＝a×b－a×c。 有理数范围内分配律成立。例如：(－3)×(4－3)＝(－3)×4－(－3)×3＝－12＋9＝－3。 逆用分配律（提取公因式）：ab＋ac＝a(b＋c)。 例如：(－5)×7＋(－5)×(－3)＝(－5)×[7＋(－3)]＝(－5)×4＝－20。逆用时需确保公共因数完全相同（含符号）。 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 10．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算： 【答案】 【详解】 11．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可得到答案； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． ▌知识点04：运用乘法运算律进行简便计算 常用简便策略如下： 1. 凑整结合：利用结合律将乘积为整十、整百的因数优先结合。例如：25×(－0.4)×3×(－5)＝[25×(－0.4)]×[3×(－5)]＝(－10)×(－15)＝150。 2. 分配律正用：将乘法分配到括号内的每一项。例如：－6×(2－＋)＝－6×2＋(－6)×(－＋(－6)×＝－12＋3－2＝－11。 3. 分配律逆用：提取公共因数合并。例如：×(－16)＋×(－8)＝×[(－16)＋(－8)]＝×(－24)＝－6。 4. 拆分因数法：将接近整十、整百的数拆成和或差的形式，再用分配律。例如：102×(－5)＝(100＋2)×(－5)＝－500－10＝－510；99×(－7)＝(100－1)×(－7)＝－700＋7＝－693。 5. 易错点提示： (1) 分配律只对乘法对加（减）法的分配成立，不能直接用于除法，即a×(b÷c)≠a×b÷c； (2) 逆用分配律时公共因数必须完全相同（含符号），如(－3)×5＋3×(－7)需先变形为(－3)×5＋(－3)×7＝(－3)×(5＋7)；③交换因数位置时连同符号一起移动。 13．（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算． 有两位同学的解法如下： 小明：； 小军：． (1)以上解法，________的解法计算更为简便？ (2)你还有更好的解法吗？请写出来； (3)请你用简便方法计算：． 【答案】(1)小军 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键是熟练运用乘法分配律进行简便运算； （1）根据两个人的解法判断即可； （2）可以把写成，再用乘法分配律进行计算； （3）按照上述方法求解即可． 【详解】（1）解：小军的解法更简便，计算量小，所以小军的解法较好， 故答案为：小军． （2）解：． （3）解：． 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1680 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 16．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察算式可得算式中有个同分母的带分数，可将整数部分与整数部分相加，分数部分与分数部分相加，利用求和公式来简便计算； （2）观察算式发现、、相似，可通过乘数之间扩大和缩小将它们都变成，从而利用乘法分配律来简便计算； （3），，……，，用裂项相消的方法即可计算； （4）分子，分母，分子、分母即可先约分． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 3．（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 4．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 6．（25-26六年级上·山东淄博·期中）现有两组数：第一组：，3，10；第二组：，2，，9．若第一组数中任意一个数与第二组中任意一个数相乘，则所有乘积的和为_____________． 【答案】24 【分析】该题考查了有理数的加法和乘法，所有乘积的和等于第一组数的和与第二组数的和的乘积． 【详解】解：第一组数的和为：； 第二组数的和为：． 因此，所有乘积的和为 ． 故答案为：24． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）已知，，，则________． 【答案】3或 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的性质．熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据绝对值的性质和有理数的乘法判断出、的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， 异号， ，时，， ，时，， 综上所述，的值是3或． 故答案为：3或． 8．（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算： 【答案】258 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，逆用乘法分配律，进行计算即可． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算、乘法运算律及裂项相消法，熟记裂项相消法、有理数相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）先由乘法分配律展开，再计算有理数乘法，最后由有理数加法运算计算即可得到答案； （2）先利用裂项相消的方法化简，再逆用乘法分配律，最后根据有理数乘法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训川练 第二章有理数及其运算 3有理数的乘除运算 第2课时有理数的乘法运算律 课时目标 理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，能用文字语言和字母表达式准确表述三 个运算律，体会运算律从正整数到有理数的推广。 2. 能运用乘法运算律重新组合因数，对有理数乘法进行简便运算，提高计算效率和准确 性。 掌握乘法分配律在正用、逆用及拆分因数时的常见简便计算方法，能根据算式特征灵 活选择运算策略，减少运算错误。 课时目逯 知识点01：乘法交换律 知识点02：乘法结合律 知识点03：乘法分配律 知识点04：运用乘法运算律进行简便计算 1/8 知识点01：乘法交换建 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b=b×a。 有理数范围内乘法交换律仍然成立。例如：（一3）×5=5×（一3）=一15。运用交换律时，因数 连同符号一起交换，不受符号影响。交换律的主要作用是调整因数顺序，为凑整或应用其 他运算律创造条件。 1.(25-26六年级上山东淄博期未)计算4)×8×(-0.25)时，将式子变形为[(4)×(-0,25]x8进行简便 运算，这样做的依据是运用了 2.(26-27七年级全国小升初衔接)用简便方法计算： 8x(←-12x(-0.125x号x(-0 ②-5.25)×(4.73)-473x(-19.75)+25x(←14.73) 3.(25-26七年级上·全国课后作业)计算： 025x(8到 a(0, +智 ④2x(-9)+x(←15). 4.(25-26七年级上全国课后作业)计算： ①3.5x(-93: e》(24(引 2/8 g( 知识点02：乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为： (axb)×c=x(b×c)。 有理数范围内乘法结合律同样成立。例如：[(-4)×2.5]×(-2)=(-4)×[2.5×(-2]=20。结 合律允许优先计算乘积为整数的两个数，简化运算过程，常与交换律配合使用。 5.(25-26七年级上广西梧州期末)计算-108)x(25)x4 的结果是() A.10800 B.-2700 C.-432 D.1080 6.(25-26六年级下·黑龙江绥化期末)计算： (） 2025×2027 7.(24-25七年级上安微合肥开学考试)计算：2.5×32×12.5 8.(2025七年级上全国专题练习)计算： 2.17.1 (2)321530 知识点03：乘法分配律 一个数同两个数的和（或差）相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加（或 相减)。用字母表示为：a×(b十c)=a×b十axc;ax(b一c)=a×b一axc。 有理数范围内分配律成立。例如：(-3)×(4-3)=(-3)×4-（一3）×3=-12十9=一3。 逆用分配律（提取公因式）：ab十ac=ab十c)。 例如：(-5)×7+(-5)×(-3)=（一5）×[7+(-3]=(-5)×4=一20。逆用时需确保公共因数完 3/8 全相同（含符号）。 9.(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)下列变形中，运用运算律正确的是() A.3+(-2)+5=(-2+5)-3 B.（-25)x(-7)x(-4)=[-25)x(-4】x(-7) c,[6+(-3]+5=[6+(-5】+3 .〔&(4)-(4r8( 10.(25-26七年级上广西南宁开学考试)计算：4 ×125+0.75×75 11.(25-26七年级上广东东莞期中)计算： @24-14+(16)-(-8) (15+7x(-360) (2)2912 12.(25-26七年级上广东揭阳阶段检测)简便运算： @-3.2)+12.5+(-16.8)-(-2.5) ) 6)1.25x(-5)x3x(-8) 知识点04：运用乘法运算律进行简便计算 常用简便策略如下： 凑整结合：利用结合律将乘积为整十、整百的因数优先结合。例如：25×（一0.4）×3×（一5）= [25×(-0.4)]×[3×(-5)]=(-10)×(-15)=150。 11 分配律正用：将乘法分配到括号内的每一项。例如：一6×(2一2十3)=一6×2十（一6）×(- 4/8 2+(-6)×3=-12+3-2=-11。 1 1 1 1 分配律逆用：提取公共因数合并。例如：4×(-16十4×(-8)=4×[(-16十(-8】=4 ×(-24)=-6。 拆分因数法：将接近整十、整百的数拆成和或差的形式，再用分配律。例如：102×（一5）= (100+2)×(-5)=-500-10=-510:99×(-7)=(100-1)×(-7)=-700+7=-693。 易错点提示： (1) 分配律只对乘法对加（减）法的分配成立，不能直接用于除法，即a×(b-c)≠axb℃； (2)逆用分配律时公共因数必须完全相同（含符号），如（一3）×5+3×(-7)需先变形为（一3）×5 十（一3）×7=（一3）×(5十7)；③交换因数位置时连同符号一起移动。 13. (25-26七年级上山东德州期中) 利用运算律有时能进行简便计算. 例198×12=(100-2)×12=1200-24=1176 例2-16×233+17×233=(-16+17)×233=233 请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： 499x(-15) 999x1184+999× 999x183 (2 5 14.(25-26七年级上湖北武汉·期中)学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算 924 *(←5 有两位同学的解法如下： 小明：4924 x(-5)=-1249×5=-1249-2494 25 25 5 9 小军： ×(-5)=49+24 25 25 (-=49x(-5列+34x1-=2404 25 (1)以上解法， 的解法计算更为简便？ 5/8 (2)你还有更好的解法吗？请写出来： -7224x1 (3)请你用简便方法计算： 2512 15.(26-27七年级全国小升初衔接)计算： 2016.2016.2016.2016.2016 (1)1x2+2×33×44×55×6: ,19,1113,15 2)1420304256 16.(26-27七年级全国小升初衔接)计算题. 1+23 +35 0+4、7 2000200020002000 +.+100199 2000 (2)19.98×68+199.8×4.2-1998×0.1 111 1 1 3)1×5+5x99x13 21×2525×29 333×777-222×666 (4) 555×999 课时训练 一、选择题 -995)J 1,2026河北唐山模拟预测)在用运算律计算(6X2 时，题目变形合理的为() 5) 1 -99+×12 6 -100+ ×12 B 6 11Y 2.(25-26七年级下内蒙古包头·阶段检测)计算24x(34)的结果是(） A.2 B.4 C.6 D.8 3a25分引卧内小安花o 依据是() A.乘法交换律B.分配律 C.移项 D.乘法结合律 4.(25-26七年级上·云南昆明阶段检测)下列各式运用运算律不正确的是() 6/8 A.（4)x8=8×(-4) B.[（-3)×2]×(-5)=(-3)×[2x(-5] c.12==2+12*-2时 Dx日（(o+(o0周 二、填空题 5.(2526t年级上湖南株滑期末)计：(60x兮号多- 6.(25-26六年级上山东淄博期中)现有两组数：第一组：-5,3,10：第二组：-7,2，-1,9.若第 一组数中任意一个数与第二组中任意一个数相乘，则所有乘积的和为 7.(25-26七年级上重庆期中)已知m=3,风=6，mn<0,则m+n 111 ×b 8.(24-25六年级上·上海阶段检测)规定a=(a-1)a(a+1),如果6(7（⑦”，则b= 三、解答题 9.(25-26七年级上湖南长沙自主招生)计算：0.258×447+258×0.678-25.8×1.25 10.(25-26七年级上辽宁营口阶段检测)简便运算. a392号(-14： 15-94n+2( 11.(25-26七年级上全国期末)计算： .1.2.1)5 1++ X 1)3'563: 1 11 1 1 ②)1x5+5x99x1313×1717×21: 12.(25-26七年级上全国课后作业)计算： 7/8 -2)x5x(-0.25) 2100x15x(-0.01) 6(别 ⊕0(6) 8/8