第2章 1.1 课时同步训练 有理数 2026-2027学年北师大数学七年级上册

**基本信息** 初中数学七年级上册第二章“有理数及其运算”第1课时同步练，以8个核心知识点为脉络，通过基础辨析、情境应用、综合分类三阶分层设计，实现从概念理解到运算应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|单一知识点（正负数概念、0的地位等）|以选择辨析题为主，强化概念识别（如正负数个数判断），培养抽象能力| |情境应用层|跨知识点情境（相反意义的量、实际场景表示）|结合生活/科学情境（如温度、海拔表示），发展应用意识| |综合分类层|多维度分类（有理数两种分类、大小比较综合）|通过解答题整合知识（如分类集合填空），提升推理意识|

2026－2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 1 认识有理数 第1课时 有理数 ▌课时目标 1. 理解正数与负数的概念，能用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会引入负数的必要性。 2. 掌握有理数的两种分类方式（按定义分、按符号分），能准确区分整数、分数、正有理数、负有理数和0，并对给定的数进行正确归类。 3. 理解有限小数和无限循环小数都属于有理数，掌握有理数大小比较的基本法则，能借助数轴或绝对值法则比较两个有理数的大小。 ▌课时目录 知识点01：正数与负数的概念 知识点02：用正负数表示相反意义的量 知识点03：0的特殊地位（既非正数也非负数） 知识点04：“整数和分数统称有理数”的定义 知识点05：有理数的分类（按定义分：整数、分数） 知识点06：有理数的分类（按符号分：正有理数、0、负有理数） 知识点07：有限小数与无限循环小数属于有理数 知识点08：有理数大小的比较法则 ▌知识点01：正数与负数的概念 大于0的数叫做正数，如3、＋5、0.8等，正数前面的“＋”号通常省略不写。小于0的数叫做负数，如－3、－5、－0.8等，负数前面的“－”号不能省略。负数表示与正数意义相反的量。负数都是在正数前面加上“－”号得到的，0既不是正数也不是负数。 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中的数，是负数的为（     ） A． B．2.3 C．0 D． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌知识点02：用正负数表示相反意义的量 在实际问题中，如果规定了其中一个意义的量为正，那么与它意义相反的量就为负。常见的相反意义的量有：收入与支出、上升与下降、前进与后退、盈利与亏损、零上温度与零下温度等。例如：规定向东为正，则向西走50米记作－50米；规定盈利为正，则亏损200元记作－200元。 5．（2026·四川雅安·一模）如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西·中考真题）如果水库的水位升高0．06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2026·广东深圳·三模）生物神经细胞存在微弱的电压差，神经静息时膜内为负，记作；兴奋时电位反转，膜内为正，假设某模型中电位反转指绝对值不变，可记为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南平顶山·三模）我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌知识点03：0的特殊地位（既非正数也非负数） 0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界点。0的意义不仅限于“没有”，还可以表示基准、起点或分界线，如温度计上的0℃、海拔高度的0米等。在数轴上，0是正数的起点，也是负数的终点。 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 10．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 11．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 12．（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． ▌知识点04：“整数和分数统称有理数”的定义 正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。七年级阶段以“整数和分数统称有理数”为判定标准，不要求从“可以表示为两个整数之比”的角度展开。 13．（2026·上海静安·三模）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 14．（2026·山东菏泽·二模）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 15．（24-25七年级上·广东清远·阶段检测）对于，下列说法正确的是（    ） A．是负数不是分数 B．是分数不是有理数 C．是负数也是分数 D．不是分数是有理数 16．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ ▌知识点05：有理数的分类（按定义分：整数、分数） 按数的结构分类： 1. 整数：包括正整数（如1、2、3…）、0、负整数（如－1、－2、－3…）。 2. 分数：包括正分数（如、0.3、）、负分数（如、－0.75、）。 注意：分数包括普通分数形式、有限小数形式和无限循环小数形式。 17．（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．有理数是正数和负数的统称 B．有理数是整数 C．整数一定是正数 D．有理数包括整数和分数 18．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）下列说法中：①整数就是正整数和负整数；②有理数不是整数就是分数；③既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数；⑥一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数；⑦符号相反的数互为相反数；其中正确的有__________．（填序号） 19．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，下列各数填入相应的集合中：12，，1.5，0，0.9，， 正数集合：      ； 负数集合：      ； 整数集合：      ． 20．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）所有整数组成整数集合，所有正数组成正数集合，所有负分数组成负分数集合．把下面的数填入它们属于的集合内： ． 整数集合：｛__________｝； 正数集合：｛__________｝； 负分数集合：｛__________｝． ▌知识点06：有理数的分类（按符号分：正有理数、0、负有理数） 按数的正负属性分类： 1. 正有理数：包括正整数和正分数。 2. 0：单独一类，既非正也非负。 3. 负有理数：包括负整数和负分数。 两种分类方式互不矛盾，只是分类标准不同。解题时需根据题目要求选择合适的分类方式。 21．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 22．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 23．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．0是最小的有理数 B．非负有理数就是正有理数和0 C．正整数和负整数统称为整数 D．有理数分为正有理数和负有理数 24．（25-26七年级上·福建福州·期中）所有的正有理数组成正有理数集合，所有的负有理数组成负有理数集合，所有的整数组成整数集合，请把下列各数填入相应的集合中： 3，，，，0，，15，． 正有理数集合：{__________________…}． 负有理数集合：{__________________…}． 整数集合：{__________________…}． ▌知识点07：有限小数与无限循环小数属于有理数 有限小数（如0.25、3.14）和无限循环小数（如、）都能化为分数，因此都属于有理数。例如：，。无限不循环小数（如π＝3.14159…）不能化为分数，不属于有理数。 25．（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 26．（2024·广东清远·一模）中国古代著名数学家、天文学家祖冲之通过研究得到了的近似值：（约率）和（密率）．其中约率是（   ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 27．（23-24七年级上·天津河东·阶段检测）下面关于有理数的说法正确的是（   ） A．整数和分数统称为有理数 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．有限小数和无限循环小数不是有理数 D．正数、负数和零统称为有理数 28．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）在学习《有理数》一章时，小君了解到：有理数是“比率数”，有理数可以写成两个整数之商．小君想“所有的有理数都可以写成两个整数之商吗?”对此，他展开了研究，他分以下几步来研究，请你来帮他补充完成： （1）整数和分数统称有理数； （2）任何整数都是它除以1所得的商，如把下列数写成两个整数的商：_________，_________， （3）任何分数可以看做两个整数的商，如把下列数写成两个整数的商：_________ （4）无限循环小数能化为分数吗? 小君做了研究：是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即小数部分与原数相同（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等47，所以． 根据小君的研究，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） ①仿上例把化为分数形式，写出推导过程； ②直接写出化为的分数形式是________． ③若已知，则________． ▌知识点08：有理数大小的比较法则 有理数大小比较的基本法则： 1. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 2. 两个正数比较：数值大的数更大。 3. 两个负数比较：绝对值大的数反而更小。 4. 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例如：－3＜－2＜0＜1＜2.5；比较－5和－2，因为|－5|＝5＞|－2|＝2，所以－5＜－2。 29．（2026·安徽芜湖·三模）在，0，3，6这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．3 D．6 30．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）下列温度中，最低的是（     ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级上·山东德州·期中）比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 32．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）在、、中最小的数是___________． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·安徽·二模），2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 2．（2026·云南文山·一模）若零上记为，则零下可记为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 二、填空题 5．（26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 6．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段检测）下列各数中：，负数有______个． 7．（25-26七年级上·湖北随州·期末）在，，0，这四个有理数中，整数有________个． 8．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 10．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 1 认识有理数 第1课时 有理数 ▌课时目标 1. 理解正数与负数的概念，能用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会引入负数的必要性。 2. 掌握有理数的两种分类方式（按定义分、按符号分），能准确区分整数、分数、正有理数、负有理数和0，并对给定的数进行正确归类。 3. 理解有限小数和无限循环小数都属于有理数，掌握有理数大小比较的基本法则，能借助数轴或绝对值法则比较两个有理数的大小。 ▌课时目录 知识点01：正数与负数的概念 知识点02：用正负数表示相反意义的量 知识点03：0的特殊地位（既非正数也非负数） 知识点04：“整数和分数统称有理数”的定义 知识点05：有理数的分类（按定义分：整数、分数） 知识点06：有理数的分类（按符号分：正有理数、0、负有理数） 知识点07：有限小数与无限循环小数属于有理数 知识点08：有理数大小的比较法则 ▌知识点01：正数与负数的概念 大于0的数叫做正数，如3、＋5、0.8等，正数前面的“＋”号通常省略不写。小于0的数叫做负数，如－3、－5、－0.8等，负数前面的“－”号不能省略。负数表示与正数意义相反的量。负数都是在正数前面加上“－”号得到的，0既不是正数也不是负数。 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“小于0的数是负数”逐个判断所给数，统计负数个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，不是负数， 既不是正数也不是负数， ，是负数， 所以负数共有2个． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中的数，是负数的为（     ） A． B．2.3 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据“负数是小于0的数”，判断各选项的数与0的大小关系即可得到结果； 【详解】解：A、，是正数，不符合要求； B、，是正数，不符合要求； C、 既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，是负数，符合要求． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】小于0的数是负数，由此逐个判断给定的数，统计得到负数的个数． 【详解】解：∵，，，既不是正数也不是负数，，， ∴负数为和，共2个． 4．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． ▌知识点02：用正负数表示相反意义的量 在实际问题中，如果规定了其中一个意义的量为正，那么与它意义相反的量就为负。常见的相反意义的量有：收入与支出、上升与下降、前进与后退、盈利与亏损、零上温度与零下温度等。例如：规定向东为正，则向西走50米记作－50米；规定盈利为正，则亏损200元记作－200元。 5．（2026·四川雅安·一模）如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵温度升高记作， ∴升高记为正， ∴温度下降记为负， ∴温度下降记作． 6．（2026·山西·中考真题）如果水库的水位升高0．06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵水位升高米时水位变化记作米，说明升高用正数表示， ∴与升高意义相反的下降应用负数表示， 因此水位下降米时水位变化记作米． 7．（2026·广东深圳·三模）生物神经细胞存在微弱的电压差，神经静息时膜内为负，记作；兴奋时电位反转，膜内为正，假设某模型中电位反转指绝对值不变，可记为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】电位反转即电位的符号相反，绝对值保持不变． 【详解】解：静息时膜内电位记作，兴奋时电位反转，符号变为正，绝对值不变，因此可记为． 8．（2026·河南平顶山·三模）我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：根据正数和负数表示具有相反意义的量，可知海平面以上9050米记作米． ▌知识点03：0的特殊地位（既非正数也非负数） 0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界点。0的意义不仅限于“没有”，还可以表示基准、起点或分界线，如温度计上的0℃、海拔高度的0米等。在数轴上，0是正数的起点，也是负数的终点。 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 10．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 11．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可． 【详解】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意． 12．（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，相反数的定义．根据有理数的分类，相反数的定义对各选项依次判断即可解答． 【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意； B、0的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意； D、当时，，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：C． ▌知识点04：“整数和分数统称有理数”的定义 正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。七年级阶段以“整数和分数统称有理数”为判定标准，不要求从“可以表示为两个整数之比”的角度展开。 13．（2026·上海静安·三模）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 14．（2026·山东菏泽·二模）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要求选出数值等于的选项，只需直接对比各选项给出的数值即可得到结果 【详解】解：选项A的数值为，符合题意； 选项B的数值为，不等于，不符合题意； 选项C的数值为，不符合题意； 选项D的数值为，不符合题意 15．（24-25七年级上·广东清远·阶段检测）对于，下列说法正确的是（    ） A．是负数不是分数 B．是分数不是有理数 C．是负数也是分数 D．不是分数是有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数和正负数的知识点，解题的关键是掌握正负数，有理数的概念．根据负数、分数及有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是小数，是有理数，是负数也是分数． 故选：C． 16．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． ▌知识点05：有理数的分类（按定义分：整数、分数） 按数的结构分类： 1. 整数：包括正整数（如1、2、3…）、0、负整数（如－1、－2、－3…）。 2. 分数：包括正分数（如、0.3、）、负分数（如、－0.75、）。 注意：分数包括普通分数形式、有限小数形式和无限循环小数形式。 17．（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．有理数是正数和负数的统称 B．有理数是整数 C．整数一定是正数 D．有理数包括整数和分数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的知识点，根据有理数的分类，利用排除法求解即可，熟练掌握有理数的分类是解决此题的关键． 【详解】A、有理数还有零，它即不是正数也不是负数，A错误，不符合题意； B、有理数即有整数也有分数，B错误，不符合题意； C、整数中也含有负整数和零，C错误，不符合题意； D、有理数包括整数和分数，这是概念， D正确，符合题意； 故选：D． 18．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）下列说法中：①整数就是正整数和负整数；②有理数不是整数就是分数；③既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数；⑥一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数；⑦符号相反的数互为相反数；其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，相反数的定义，根据以上知识的逐一判定即可求解． 【详解】解：①整数就是正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意； ②有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意； ③既是负数也是整数，但不是自然数，原说法正确，符合题意； ④0既不正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；； ⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意； ⑥一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是0或正数，故原说法错误，不符合题意；： ⑦只有符号相反的两个数互为相反数，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有：②③⑤， 故答案为：②③⑤ ． 19．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，下列各数填入相应的集合中：12，，1.5，0，0.9，， 正数集合：      ； 负数集合：      ； 整数集合：      ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类．根据有理数的分类判断即可． 【详解】解：正数集合：12，1.5，0.9，，； 负数集合：，； 整数集合：12，，0，． 20．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）所有整数组成整数集合，所有正数组成正数集合，所有负分数组成负分数集合．把下面的数填入它们属于的集合内： ． 整数集合：｛__________｝； 正数集合：｛__________｝； 负分数集合：｛__________｝． 【答案】见详解 【分析】本题考查了有理数的分类等知识，根据整数，正数，负分数的定义填空即可求解﹒ 【详解】解：整数集合：｛，｝； 正数集合：｛，｝； 负分数集合：｛，｝． ▌知识点06：有理数的分类（按符号分：正有理数、0、负有理数） 按数的正负属性分类： 1. 正有理数：包括正整数和正分数。 2. 0：单独一类，既非正也非负。 3. 负有理数：包括负整数和负分数。 两种分类方式互不矛盾，只是分类标准不同。解题时需根据题目要求选择合适的分类方式。 21．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【答案】C 【分析】有理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于零的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意； C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意； 22．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类等知识，有理数的分类标准要统一，做到不重不漏．根据有理数的知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 有理数分为正有理数、0、负有理数，故原选项错误，不合题意； B. 整数分为正整数、0、负整数，故原选项错误，不合题意； C. 有理数是可以写成分数形式的数，故原选项正确，符合题意； D. 有理数分为正有理数、零、负有理数，故原选项错误，不合题意． 故选：C． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．0是最小的有理数 B．非负有理数就是正有理数和0 C．正整数和负整数统称为整数 D．有理数分为正有理数和负有理数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的大小比较，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据有理数的分类、非负有理数的含义，有理数的大小的含义解答即可． 【详解】解：A．没有最小的有理数，故该选项说法不正确，不符合题意； B． 非负有理数就是正有理数和0，故该选项说法正确，符合题意； C． 正整数，和负整数统称为整数，故该选项说法不正确，不符合题意； D．有理数可以分为正有理数、零和负有理数，故该选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 24．（25-26七年级上·福建福州·期中）所有的正有理数组成正有理数集合，所有的负有理数组成负有理数集合，所有的整数组成整数集合，请把下列各数填入相应的集合中： 3，，，，0，，15，． 正有理数集合：{__________________…}． 负有理数集合：{__________________…}． 整数集合：{__________________…}． 【答案】正有理数集合：{3，，15，}；负有理数集合：{，，}；整数集合：{3，，0，15} 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数是大于0的整数和分数，负有理数是小于0的整数和分数，据此结合整数的定义求解即可． 【详解】解：正有理数集合：{3，，15，}； 负有理数集合：{，，}； 整数集合：{3，，0，15}． ▌知识点07：有限小数与无限循环小数属于有理数 有限小数（如0.25、3.14）和无限循环小数（如、）都能化为分数，因此都属于有理数。例如：，。无限不循环小数（如π＝3.14159…）不能化为分数，不属于有理数。 25．（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义和分类．有理数包括整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数；整数包括正整数、0、负整数；非负整数包括正整数和0．根据这些概念依次判断即可． 【详解】因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，属于有理数， 所以选项A错误； 因为整数包括正整数、0、负整数，选项B遗漏了0， 所以选项B错误； 因为有理数按符号分为正有理数、0、负有理数， 所以选项C正确； 因为非负整数包括正整数和0，选项D忽略了0， 所以选项D错误． 故选：C． 26．（2024·广东清远·一模）中国古代著名数学家、天文学家祖冲之通过研究得到了的近似值：（约率）和（密率）．其中约率是（   ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数（有限小数或无限循环小数），无理数是无限不循环小数进行判断即可，熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：约率是分数，是有理数， 故选：C． 27．（23-24七年级上·天津河东·阶段检测）下面关于有理数的说法正确的是（   ） A．整数和分数统称为有理数 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．有限小数和无限循环小数不是有理数 D．正数、负数和零统称为有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的定义即可作出判断． 【详解】解：A、整数和分数统称为有理数，故该说法正确； B、正整数集合与负整数集合以及0合在一起就构成整数集合，故该说法错误； C、有限小数和无限循环小数是有理数，故该说法错误； D、正有理数、负有理数和零统称为有理数，故该说法错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的分类，有理数的定义，解题的关键是掌握有理数的分类和定义． 28．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）在学习《有理数》一章时，小君了解到：有理数是“比率数”，有理数可以写成两个整数之商．小君想“所有的有理数都可以写成两个整数之商吗?”对此，他展开了研究，他分以下几步来研究，请你来帮他补充完成： （1）整数和分数统称有理数； （2）任何整数都是它除以1所得的商，如把下列数写成两个整数的商：_________，_________， （3）任何分数可以看做两个整数的商，如把下列数写成两个整数的商：_________ （4）无限循环小数能化为分数吗? 小君做了研究：是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即小数部分与原数相同（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等47，所以． 根据小君的研究，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） ①仿上例把化为分数形式，写出推导过程； ②直接写出化为的分数形式是________． ③若已知，则________． 【答案】（2）答案不唯一，见解析；（3）；（4）①；②；③ 【分析】本题考查了有理数的概念以及有理数表示为两个整数之商，由题目明确提及“整数和分数统称有理数”是研究的基础概念，通过将整数写成分数的形式是解决本题的关键． （2）将和0表示成两个整数之商即可； （3）将带分数化为假分数求解即可； （4）①将扩大1000倍，再由999个等于325，即可推导； ②将分别扩大10倍和扩大1000倍，再相减即可求解； ③将扩大1000倍，可表示出，将表示为即可求解． 【详解】（2）解：；；（答案很多符合即可） （3）解：； （4）①∵，是一个以325为循环节的无限循环小数，将它扩大到1000倍， 即， 由此可知，999个等于325，所以． ②∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ③∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ▌知识点08：有理数大小的比较法则 有理数大小比较的基本法则： 1. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 2. 两个正数比较：数值大的数更大。 3. 两个负数比较：绝对值大的数反而更小。 4. 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例如：－3＜－2＜0＜1＜2.5；比较－5和－2，因为|－5|＝5＞|－2|＝2，所以－5＜－2。 29．（2026·安徽芜湖·三模）在，0，3，6这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】A 【详解】解：，故最小数为． 30．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）下列温度中，最低的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最低温度对应数值最小的有理数，比较四个数的大小即可． 【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数，两个负数中绝对值大的数更小． ，， ， ∴， ∴， 即最低的是． 31．（25-26七年级上·山东德州·期中）比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，负数小于正数，据此比较即可． 【详解】解：比较和， ∵是正有理数，正有理数都大于， ∴； ∵是负有理数，是正有理数，负有理数小于一切正有理数， ∴． 32．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）在、、中最小的数是___________． 【答案】 【分析】先将分数百分数统一转化为小数，再根据小数大小比较方法判断最小的数． 【详解】解：将三个数均化为小数：，，，比较大小可得：， 因此最小的数是． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·安徽·二模），2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 【答案】A 【分析】首先明确有理数比较大小的基本规则，因为负数小于0，正数大于0，所以先区分给出数中的负数和正数．因为所有正数都大于负数，所以如果选项中存在唯一的负数，那么这个负数就是四个数中最小的． 【详解】解：∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． 2．（2026·云南文山·一模）若零上记为，则零下可记为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：零下可记为． 3．（2026·重庆·模拟预测）下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：是负分数，不符合题意； 对于选项B：是负整数，不符合题意； 对于选项C：既不是正数，也不是负数，且是整数，不符合题意； 对于选项D：是正分数，符合题意． 4．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数的概念，依据正数、负数的定义即可判断出结果． 【详解】解：A、是负数，不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，符合题意； C、1是正数，不符合题意； D、2024是正数，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．（26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 6．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段检测）下列各数中：，负数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，注意零既不是正数，也不是负数．掌握正负数的定义是解决问题的关键． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：零既不是正数，也不是负数． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故答案为：3个． 7．（25-26七年级上·湖北随州·期末）在，，0，这四个有理数中，整数有________个． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的分类、属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键． 整数分为正整数、0和负整数，据此解答即可． 【详解】解：在，，，这四个有理数中， 是负整数，是整数，是分数不是整数，是小数不是整数， 因此整数有2个． 故答案为：2． 8．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数． 【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0．67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0．3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【分析】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 10．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 【答案】，，，，；，，，，；，，，，；，，， 【分析】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合：｛，，，，…｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 正数集合：｛，，，，…｝ 负数集合：｛，，，…｝ / 学科网（北京）股份有限公司 $