5.3二元一次方程组的应用——增收节支 同步练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用，通过基础题（单选、填空）与综合题（解答）分层设计，构建从单一数量关系到复杂实际情境的知识巩固路径，培养模型意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|和差倍分、销售问题等单一关系|单选1-10结合核酸检测、游船载客等生活情境，填空19-24强化方程建模基础| |进阶层|方程组求解与简单应用|解答11-14通过“冰墩墩”销售、卡车运沙土等问题，衔接列解方程组技能| |综合层|方案优化与跨情境应用|解答15-18融入利润计算、公交选型等复杂问题，发展推理意识与应用能力|

5.3二元一次方程组的应用——增收节支 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．医护人员身穿防护服，化身暖心“大白”到某校进行核酸检测．若每名“大白”检测200人，则有一名“大白”少检测18人；若每名“大白”检测180人，则余下42人．设该校共有师生x人，有y名“大白”来学校检测，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　） A．30 B．26 C．24 D．22 3．我校在举办“书香文化节”的活动中，将 本图书分给了 名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程正确的是 A． B． C． D． 4．上学期某班的学生都是双人桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 。本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人．根根据题意可得方程组为（　　） A． B． C． D． 5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响.该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元.问有多少人?该物品价几何?设有x人.物品价值y元，则列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．根据如图提供的信息，小红去商店买一只水瓶和一只杯子应付（　　） A．30元 B．32元 C．31元 D．34元 7．某班学生人数共41人.一天，该班某女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的三分之一.该班男女生各多少人？设该班男生x人，女生y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？解：设甲原有钱数为x，乙原有钱数为y，依题意可得方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（初中数学浙教版七下精彩练习第二章二元一次方程组 质量评估试卷）王阿姨和张妈妈通过外卖平台订购了两包蔬菜.王阿姨订购的一包蔬菜包括西葫芦、茄子﹑青椒各1千克，共花费11.8元；张妈妈订购的一包蔬菜包括西葫芦2千克，茄子1.5千克，共花费13元.已知青椒4.2元/千克，则西葫芦和茄子的价格分别是（　　） A．3.6元/千克、4元/千克 B．4.4元/千克、3.2元/千克 C．3.2元/千克、4.4元/千克 D．4元/千克、3.6元/千克 10．某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 二、解答题 11．列方程组解答下列问题：有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可载乘客57名.3艘大船与6艘小船一次可载乘客多少名？ 解：设1艘大船可以载乘客x名，1艘小船可以载乘客y名． （1）根据题意，列出方程组　 　； （2）解这个方程组，得　 　； （3）答：3艘大船与6艘小船一次可载乘客　 　名．（要求：用数字作答） 12．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如下表： 月份 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 120 40 17160 第2个月 150 60 22200 求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格． 解题方案：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元， （Ⅰ）根据题意，列出方程组　 　 （Ⅱ）解这个方程组，得　 　 答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为　 　元，“雪容融”玩具的零售价格为　 　元． 13．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？ 14．在某工程建设中，有A、B两种卡车搬运沙土.据了解，3辆A种卡车与2辆B种卡车一次共可搬运沙土38立方米，2辆A种卡车与3辆B种卡车一次共可搬运沙土42立方米，求每辆A种卡车和每辆B种卡车分别可搬运沙土多少立方米？ 15． 为降低空气污染，某公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车.计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年均载客量如表所示： A型 B型 价格（万元/台） a b 年载客量（万人/车） 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元. （1）求a、b的值； （2）如果该公司要确保这10辆公交车的年均载客总和不少于680万人次.请你设计一个方案，使得总费用最少. 16．为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上 每套服装的价格（元/套） 60 50 40 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元． （1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款　 　元； （2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题） （3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 17．为加强学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动． 经了解，购买2棵枣树和3棵石榴树共需44元；购买5棵枣树和6棵石榴树共需98元，该校决定购买棵枣树和50棵石榴树． （1）求枣树和石榴树的单价； （2）实际购买时，商家给出了如下优惠方案： 方案一：均按原价的九折销售； 方案二：如果购买的枣树不超过50棵，按原价销售． 如果购买的枣树超过50棵，则超出的部分按原价的八折销售，石榴树始终按原价销售． 分别求出两种方案的费用，关于的函数解析式． 18．四川花木看成都，成都花木看温江，温江花木看寿安，“寿安花木编艺”已被列入成都市非物质文化遗产保护名录.寿安镇以“乡村振兴”为目标，通过花木编艺的发展带动社区经济的发展.该镇花木编艺师小李，制作2个“动物”造型编艺品和3个“花瓶”造型编艺品需要成本580元，制作3个“动物”造型编艺品和7个“花瓶”造型编艺品需要成本1120元.小李通过西部花木交易中心销售编艺品并能全部售出，每个“动物”造型编艺品售价500元，每个“花瓶”造型编艺品售价300元.小李每天可以制作1个“动物”造型编艺品或者1.5个“花瓶”造型编艺品，且每月制作的“花瓶”造型编艺品不小于“动物”造型编艺品的2倍（注：每月制作的“动物”造型编艺品、“花瓶”造型编艺品的个数均为整数）.假设小李每月有22天制作编艺品，其中制作“动物”造型编艺品x天，制作两类编艺品的月利润为y元. （1）求小李制作一个“动物”造型编艺品和一个“花瓶”造型编艺品的成本分别是多少元？ （2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的范围； （3）小李每月制作“动物”造型编艺品多少个时，月利润y最大，最大利润是多少元？ 三、填空题（每题2分，共12分） 19．教师节来临之际，同学们给每位辛勤工作的老师准备了一束鲜花．同一种鲜花每枝的价格相同，从如图所示的信息可知第三束鲜花共计　 　元． 20．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大　 　岁. 21．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货　 　吨. 22．五一期间，时代商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利20元，而按原售价的六折出售，将亏损60元，则该商品的原售价为　 　． 23．某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元.第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元.每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元?若设签字笔元/支，笔袋元/个，则根据题意可列方程组为　 　. 24．有A，B两种医用外科口罩，2包A型口罩与3包B型口罩合计27元，7包A型口罩与8包B型口罩合计77元，则3包A型口罩与2包B型口罩合计　 　元. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设该校共有师生x人，有y名“大白”来学校检测，根据题意，得： 即： 故答案为：A． 【分析】设该校共有师生x人，有y名“大白”来学校检测，根据“ 若每名“大白”检测200人，则有一名“大白”少检测18人；若每名“大白”检测180人，则余下42人 ”列出方程组即可. 2．【答案】B 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人， 依题意： （①+②）÷3得： 故答案为：B. 【分析】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，根据1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人可得x+2y=32；根据2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人可得2x+y=46，将两个方程相加并化简可得x+y的值. 3．【答案】B 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：由题意可得， ， 故答案为：B. 【分析】根据每人分6本，则剩余40本可得总本数x=6y+40；根据每人分8本，则还缺50本可得总本数x=8y-50，联立可得方程组. 4．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设上学期该班有男生x人，女生y人， 由题意，得：. 故答案为：A. 【分析】设上学期该班有男生x人，女生y人，由”男生与女生同桌，这些女生占全班女生的“和“本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多”，可列出方程组，即可得出正确答案. 5．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设有x人，物品价值y元，由题意得： ， 故答案为：D. 【分析】抓住题中关键已知条件：每人出8元，多3元；每人出7元，少4元；这里包含两个等量关系，据此列方程即可. 6．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元， 根据题意得： ， （①+②）÷3，得：x+y=31． 故答案为：C． 【分析】设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元，根据题意列出方程组，求出x、y的值，再计算即可。 7．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：由题意可列出方程组为：. 故答案为：A. 【分析】根据该班某女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的三分之一，得x=3(y-1)；根据某班学生人数共41人，可得x+y=41，联立可得方程组. 8．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设甲原有钱数为x，乙原有钱数为y，根据题意得： . 故答案为：C. 【分析】设甲原有钱数为x，乙原有钱数为y，根据甲得乙半而钱五十可得方程x+ y=50；根据乙得甲太半而钱亦五十可得方程 x+y=50，联立可得方程组， 9．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设西葫芦每千克x元，茄子每千克y元， 根据题意，得 ， 整理，解得 ， ∴西葫芦每千克3.2元，茄子每千克4.4元. 故答案为：C. 【分析】设西葫芦每千克x元，茄子每千克y元，由王阿姨订购的一包蔬菜包括西葫芦、茄子﹑青椒各1千克，共花费11.8元可列方程x+y+4.2=11.8；再由张妈妈订购的一包蔬菜包括西葫芦2千克，茄子1.5千克，共花费13元可列方程2x+1.5y=13，再组成二元一次方程组，求解方程组即可解决问题. 10．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元， 当第1天、第2天的记录无误时，依题意得： ，解得： ， ∴23x+20y=23×3+20×15=369（元），17x+11y=17×3+11×15=216（元）. 又∵369≠368， ∴第3天的记录有误. 故答案为：C. 【分析】设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，当第1天、第2天的记录无误时，根据题意列方程组，然后求出方程组的解，再将x，y的值分别代入第3天和第4天进行计算，可得答案. 11．【答案】（1） （2） （3）96 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】（1）解：由题意可知： 1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可载乘客57名， ∴列方程组：． （2）解： ①×2-②得：，解得：， 将代入①可得：， ∴方程组的解为：． （3）解：由（2）可知3艘大船与6艘小船一次可载乘客：． 故答案为：96 【分析】（1）根据“1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可载乘客57名”列出方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）将（2）中x/y值代入3x+6y中进行计算即可. 12．【答案】；；118；75 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】根据题意直接列出方程组，再求解即可。 13．【答案】解：设冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个x元，y元，则 ②-①得 把代入①得： 解得： 答：冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个200元，100元． 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】根据题意先求出 ，再利用加减消元法计算求解即可。 14．【答案】解：设每辆A种卡车可搬运沙土x立方米，每辆B种卡车可搬运沙土y立方米，根据题意得： ， 解得：， 答：每辆A种卡车可搬运沙土6立方米，每辆B种卡车可搬运沙土10立方米. 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【分析】设每辆A种卡车可搬运沙土x立方米，每辆B种卡车可搬运沙土y立方米，根据3辆A种卡车与2辆B种卡车一次共可搬运沙土38立方米可得3x+2y=38；根据2辆A种卡车与3辆B种卡车一次共可搬运沙土42立方米可得2x+3y=42，联立求解即可. 15．【答案】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：a的值为100，b的值为150. （2）解：设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车（10-m）辆， 依题意得：60m+100（10-m）≥680， 解得：m≤8. 设该公司购进这10辆公交车的所需总费用为w万元， 则w=100m+150（10-m）=-50m+1500， ∵-50＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=8时，w取得最小值，此时10-m=10-8=2， 即购进A型公交车8辆，B型公交车2辆时，总费用最少. 【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）根据“ 购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，列出关于a、b的二元一次方程组求解，即可解答； （2）设购进型公交车m辆，则购进B型公交车(10-m) 辆，该公司购进这10辆公交车的所需总费用为w万元，根据“年均载客总和不少于680万人”列出不等式求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质求省钱的最佳方案即可. 16．【答案】（1）3680 （2）解：∵甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）， ∴46＜甲校需要购买服装的套数＜90，2＜乙校需要购买服装的套数＜46， 设甲校有名学生准备参加演出，乙校有名学生准备参加演出， 根据题意可得：， 解得：． 答：甲校有名学生准备参加演出，乙校有名学生准备参加演出． （3）解：由题意得，甲乙两校一共能参加的学生为82人， 两校联合购买82套服装需要的费用为：50×82=4100， 两校联合购买91套服装需要的费用为：40×91=3640， ∵3640＜4100． 两校联合购买91套服装最省钱． 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：（1）92×40=3680（元）， ∴甲、乙两校联合购买服装一共需要付款3680元． 【分析】（1） 甲、乙两校联合购买时，单价为40元/套，根据总付款=购买数量×单价计算即可； （2）由题意可判断出46＜甲校需要购买服装的套数＜90，2＜乙校需要购买服装的套数＜46，设甲校有名学生准备参加演出，乙校有名学生准备参加演出， 根据总套数及总费用列出方程组，并解之即可； （3） 由题意得：甲乙两校一共能参加的学生为82人， 分别求出 两校联合购买82套、91套服装需要的费用 ，然后比较即可. 17．【答案】（1）解：设枣树的单价为x元，石榴树的单价为y元， 根据题意，得，解得， 答：枣树的单价为10元，石榴树的单价为8元； （2）解：根据题意得，； 当时，， 当时， ∴， 【知识点】列一次函数关系式；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设枣树的单价为x元，石榴树的单价为y元， 根据题意列出方程组，解之即可； （2）根据题目中的数量关系列出函数解析式。 18．【答案】（1）解：小李制作一个“动物”造型编艺品的成本为a元，制作一个“花瓶”造型编艺品的成本为b元， 由题意可得：， 解得， 答：小李制作一个“动物”造型编艺品的成本为140元，制作一个“花瓶”造型编艺品的成本为100元； （2）解：由题意可得： y=（500-140）x+（300-100）×1.5×（22-x）=60x+6600， ∵每月制作的“花瓶”造型编艺品不小于“动物”造型编艺品的2倍， ∴1.5×（22-x）≥2x， 解得x≤， 即y与x之间的函数关系式是y=60x+6600（0＜x≤）； （3）解：由（2）知：y=60x+6600， ∴y随x的增大而增大， ∵0＜x≤且每月制作的“动物”造型编艺品、“花瓶”造型编艺品的个数均为整数， ∴x为整数且22-x为偶数， ∴x=8时，y取得最大值，此时y=7080， 答：小李每月制作“动物”造型编艺品8个时，月利润y最大，最大利润是7080元. 【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】(1)根据制作2个“动物”造型编艺品和3个“花瓶”造型编艺品需要成本580元，制作3个“动物”造型编艺品和7个“花瓶”造型编艺品需要成本1120元，列出相应的二元一次方程组，再求解即可； (2)根据题意和题中的数据，列出y与x之间的函数关系式，并写出x的范围即可； (3)利用(2)中的结果和一次函数的性质，结合x的取值范围，则可求出小李每月制作动物造型编艺品多少个时，月利润y最大和最大利润是多少. 19．【答案】18 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设每枝康乃馨x元，每枝水仙花y元，根据题意得， 解得 第三束花的价格为：（元） 故答案为：18． 【分析】设每枝康乃馨x元，每枝水仙花y元，根据题意列出方程组，再求出x、y的值即可。 20．【答案】12 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设甲六年前的年龄为x，乙六年前年龄为y，则现在甲年龄为x+6，乙年龄为y+6， 由题意，得：， 整理，解得：， ∴甲比乙的年龄大12岁. 故答案为：12. 【分析】设甲六年前的年龄为x，乙六年前年龄为y，则现在甲年龄为x+6，乙年龄为y+6，由六年前甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍可列关于x和y的二元一次方程组，解之即可求解. 21．【答案】23.5 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨， 依题意，得：， 两式相加得8x+6y=47， ∴4x+3y=23.5（吨） . 故答案为：23.5. 【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨可得3x+4y=22；根据5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨可得5x+2y=25，联立可得方程组，然后将两式相加并化简可得4x+3y的值，据此解答. 22．【答案】400元 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】设原售价为y元，成本价为x元， 根据题意，列方程组， 解得， 故答案为：400元． 【分析】设原售价为y元，成本价为x元，根据题意列出方程组求解即可。 23．【答案】 【知识点】列二元一次方程组 【解析】【解答】解：由第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元可得：40x+30y=960， 由第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500可得： 60x+50y=1500， ∴可列方程组为， 故答案为： ． 【分析】根据“ 第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元.第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元 ”列出方程组即可. 24．【答案】23 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：设A，B两种医用外科口罩单价分别为a元，b元，由题意： 解得 ∴ . 另解法亦可，②－①×2得： . 故答案为：23. 【分析】设A，B两种医用外科口罩单价分别为a元，b元，根据2包A型口罩与3包B型口罩合计27元可得方程2x+3b=27，根据7包A型口罩与8包B型口罩合计77元可得方程7a+8b=77，联立求出a、b的值，据此解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $