精品解析：吉林省第二实验学校2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025—2026学年度下学期七年级数学学科期末试卷 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 3. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 7. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转（）得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 若是方程的解，则_________． 10. 关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 11. 文化广场摆放正六边形冰雕与正五边形雪雕，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是_________． 12. 如图，_________． 13. 如图，在中，，若将沿着向右平移后得到，则的长为_________． 14. 如图，，，，分别平分，，．有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有_______．（填序号） 三、解答题（共10题，共78分） 15. 解方程（组）： （1） （2） （3） （4） 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 17. 若一个正多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求这个正多边形的边数． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经小正方形的边． （1）画出关于直线l成轴对称的； （2）将绕点C逆时针旋转得到，画出； （3）连结，四边形的面积为________． 19. 如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 20. 小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏，两人商定规则为：小明投中个得分，小明爸爸投中个得分．结果两人一共投中个，经计算，发现两人得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗？ 21. 如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 23. 【问题】 （1）如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 （2）如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； （3）如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 （4）如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 24. “时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周（），时针每分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． （1）分针的旋转速度为每分钟转__________度，时针的旋转速度为每分钟转__________度； （2）如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心为端点的射线、分针抽象为同端点的射线． ①求经过多少分钟，射线与射线第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作在后、分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立、直接写出，在后、经过多少分钟，与第一次重合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期七年级数学学科期末试卷 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 2. 已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件得，即可求解；理解构成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：设第三根木条的长度为，则有 ， ， 故选：C． 3. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的基本性质有：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】A选项，已知，在不等式两边同时加1，可得，因此选项正确，符合题意； B选项，已知，在不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，在不等式两边同时加1，可得，因此选项错误，不符合题意； C选项，已知，在不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，因此选项错误，不符合题意； D选项，已知，在不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，因此选项错误，不符合题意． 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 5. 《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以鸡的价钱为不变量，根据两种出钱情况分别表示鸡价，列方程． 【详解】解：设有人共同买鸡． ∵每人出8文，多出10文， ∴鸡价可表示为， ∵ 每人出6文，还差14文， ∴ 鸡价可表示为， ∴ 可列方程为． 6. 某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，所以他购买的瓷砖形状不可以是正八边形． 故选：D 【点睛】本题考查正多边形，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 7. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图，熟练掌握垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项． 【详解】解：A、由图可知：是的中线，故符合题意； B、由图可知：不是的中线，故不符合题意； C、由图可知：不是的中线，故不符合题意； D、由图可知：不是的中线，故不符合题意； 故选A． 8. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转（）得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由旋转的性质知，， ， ， ∴， ， 由外角定义得． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 若是方程的解，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入方程即可． 【详解】解：将代入方程中， 得，解得． 10. 关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 11. 文化广场摆放正六边形冰雕与正五边形雪雕，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是_________． 【答案】 48 【解析】 【分析】正多边形的每个外角的度数相等，且它们的和为360度，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴． 12. 如图，_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理及对顶角相等得到，进而将转化为四边形内角和计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ． 13. 如图，在中，，若将沿着向右平移后得到，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质，结合题目情境可求出、，再根据计算即可求出的长． 【详解】解：∵将沿着向右平移后得到， ∴，， ∴， ∴的长为． 14. 如图，，，，分别平分，，．有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有_______．（填序号） 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质及角平分线的定义，结合，可推导角之间的数量关系；利用平行线的判定定理判断与的位置关系；利用平行线的性质及角平分线定义推导与的关系；利用三角形外角性质推导与、的关系即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，  ∴， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②错误，③正确； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①③④． 三、解答题（共10题，共78分） 15. 解方程（组）： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 所以原方程组的解为； 【小问4详解】 解： 由得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 【答案】， 数轴表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组及其解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 先解不等式组，再根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，解不等式②得， 故不等式组的解集为． 17. 若一个正多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求这个正多边形的边数． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列式求解即可．本题考查了多边形的内角和与外角和定理，熟记多边形的内角和公式以及外角和定理是解题的关键． 【详解】设这个多边形的边数是， 则， 解得． ∴这个正多边形的边数是5． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经小正方形的边． （1）画出关于直线l成轴对称的； （2）将绕点C逆时针旋转得到，画出； （3）连结，四边形的面积为________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所作； （2） 解：如图所示，即为所作； ； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，作图—轴对称变换， （1）根据轴对称的性质画出点、、的对应点分别为、、，即可画出； （2）根据旋转的性质即可得到； （3）利用三角形的面积公式计算即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形的面积为． 故答案为：． 19. 如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，解题的关键是利用外角性质求出，再结合角平分线与内角和计算． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 答：的度数为． 20. 小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏，两人商定规则为：小明投中个得分，小明爸爸投中个得分．结果两人一共投中个，经计算，发现两人得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗？ 【答案】小明投中了个，爸爸投中个． 【解析】 【分析】本题有两个相等关系：小明投中的个数+爸爸投中的个数=20，小明投篮得分=爸爸投篮得分；据此设未知数列方程组解答即可． 【详解】解：设小明投中了个，爸爸投中个， 依题意列方程组得，解得． 答：小明投中了个，爸爸投中个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 21. 如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 【答案】 （1）；三角形外角的性质；． （2）；；． 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角： （1）根据垂直的定义，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元 （2）该校最多可以购买甲种书40本 【解析】 【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元， 可得方程， 解得， 原方程的解为， 答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书40本， 答：该校最多可以购买甲种书40本． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． 23. 【问题】 （1）如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 （2）如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； （3）如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 （4）如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 【答案】（1）①；②； （2） （3）解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； （4） 【解析】 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； ②将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（3）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【小问1详解】 解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 【小问2详解】 解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 24. “时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周（），时针每分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． （1）分针的旋转速度为每分钟转__________度，时针的旋转速度为每分钟转__________度； （2）如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心为端点的射线、分针抽象为同端点的射线． ①求经过多少分钟，射线与射线第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作在后、分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立、直接写出，在后、经过多少分钟，与第一次重合． 【答案】（1） （2）①经过分钟后，射线与射线第一次重合；②经过分钟，与第一次重合 【解析】 【分析】（1）根据分针转一圈为，分钟以及时针转一圈为小时求解即可； （2）①设经过分钟后，射线与射线第一次重合，根据（1）的结果将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解；②根据题意将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解． 【小问1详解】 解：分针转一圈为，分钟， ∴分针的旋转速度为每分钟转； 时针转一圈为小时， ∴时针的旋转速度为每小时转， 则时针的旋转速度为每分钟转． 【小问2详解】 解：①在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟后，射线与射线第一次重合， 由题意列式为：， 解得， ∴经过分钟后，射线与射线第一次重合 ②在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟，与第一次重合， ∵，每分钟旋转，每分钟转， ∴当与第一次重合时， 旋转度，旋转度， 此时， ∵平分始终成立， ∴， 在时，， ∴以点的位置为起始位置，运动的角度为， ∵与重合， ∴，解得， ∴在后、经过分钟，与第一次重合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $