精品解析： 吉林省长春市南关区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年吉林省长春市南关区七年级（下）期末数学试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 自年中国第一条地铁“北京地铁号线”建成通车以来，地铁成为市民们出行的一种便利方式，下列城市的地铁标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 无法确定 3. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 某车间有名工人，每人每天可以生产个螺母或个螺栓个螺栓需要配个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五边形为正五边形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 规定表示两数中较小的数，例如：，按照这个规定，关于的方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知方程，用含的代数式表示，则______． 10. 如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉___________条木条． 11. 不等式的所有正整数解之和为______． 12. 如图，将沿方向平移得到，若，则长为______． 13. 如图，要用三种正多边形的木板铺设地面，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两种木板的边数分别是和，则第三种木板的边数应是______． 14. 如图，在中，是直角，，，，是边上的高，是的角平分线，和交于点F，P是边上的一点，给出下面五个结论： ； ； ③当与关于直线对称时，的周长是18； ④当与关于直线对称时，的面积是； ⑤当时，与的面积之比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ________ ． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 解方程组： 17. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 18. 若一个凸多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求多边形的边数． 19. 如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求线段的长． 20. 一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 21. 在中，，． （1）用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点保留作图痕迹； （2）若，求的度数． 22. 数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． （1）请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； （2）设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； （3）一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 23. 在学习了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，老师让同学们小组探究“四边形的外角和它不相邻的内角之间有什么关系？”（以下提到的四边形均为凸四边形），爱动脑筋的小冰同学对“四边形的两个外角与它不相邻的两个内角有什么关系”开展了自己的探究，下面是她的探究过程： 已知：如图①，在四边形中，、是四边形的两个外角． 猜想：； 证明：， ． 证明过程缺失 （1）请你补全缺失的证明过程； （2）同桌小宇看了小冰的证明过程之后，指出小冰只考虑了“与是两个相邻外角”的情况，缺少“与是两个不相邻外角”的情况，如图当“与是两个不相邻外角”时，______（填“”“”“”）； （3）综合（1）（2），请用文字描述小冰发现的结论为：______； （4）如图③，在四边形中，，平分，平分，若，则______度 24. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若，则 ______， ______， ______； （3）现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省长春市南关区七年级（下）期末数学试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 自年中国第一条地铁“北京地铁号线”建成通车以来，地铁成为市民们出行的一种便利方式，下列城市的地铁标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点进行判断求解，中心对称图形是绕某点旋转后与原图形重合． 【详解】A项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 综上所述，是中心对称图形的是A． 2. 已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0的方程是一元一次方程．根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，， ∴． 故选：B． 3. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 4. 已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 5. 如图，、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算． 【详解】解：是的中点， 的面积的面积， 的面积， 是的中点， 的面积的面积， 的面积． 6. 某车间有名工人，每人每天可以生产个螺母或个螺栓个螺栓需要配个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设安排名工人生产螺栓，则其他名工人生产螺母，根据：个螺栓需要配个螺母，且每天生产的螺栓和螺母刚好配套，即可列出方程． 【详解】解：根据题意可列方程：． 7. 如图，五边形为正五边形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 8. 规定表示两数中较小的数，例如：，按照这个规定，关于的方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义分两种情况讨论，分别求解方程后，验证解是否满足对应情况的条件，舍去不符合的解，即可得到答案． 【详解】分两种情况讨论： 情况1：当，即时 ∵ ∴原方程为 解得 ∵，不满足，∴舍去该解． 情况2：当，即时 ∵ ∴原方程为 移项得 解得 ∵，满足条件，∴是原方程的解． 综上，原方程的解为，故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项即可得出含的代数式表示． 【详解】解：， 移项得． 10. 如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉___________条木条． 【答案】3 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线， 所以至少要钉上3根木条． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．解题时注意：过n边形的一个顶点作对角线，可以做条． 11. 不等式的所有正整数解之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先解得不等式的解集为，则不等式的所有正整数解为，，，然后把它们相加即可． 【详解】解：解不等式， 得， 所以不等式的所有正整数解为，，， 所以所有正整数解之和． 12. 如图，将沿方向平移得到，若，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， 则 ． 13. 如图，要用三种正多边形的木板铺设地面，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两种木板的边数分别是和，则第三种木板的边数应是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正四边形和正三角形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的条件求解第三种正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解． 【详解】解：正四边形和正三角形每个内角的度数分别为和， 第三种正多边形的每个内角度数为， 第三种木板的边数应是． 14. 如图，在中，是直角，，，，是边上的高，是的角平分线，和交于点F，P是边上的一点，给出下面五个结论： ； ； ③当与关于直线对称时，的周长是18； ④当与关于直线对称时，的面积是； ⑤当时，与的面积之比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】①根据则得，由此可对结论①进行判断；假设，则，进而得是等边三角形，则，继而得，在中，是直角，，则，则，这与相矛盾由此可对结论进行判断；③当与关于直线对称时，则和全等，进而得，则，，继而得的周长是，由此可对结论进行判断；④由③可知设则在中，由勾股定理求出，进而得的面积为，由此可对结论④进行判断；当时，过点D作于点H，设则，由三角形面积公式得，继而得，与的面积之比为，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵在中，是直角， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∵ ∴， 故是符合题意； 假设， 由得， ∴， ∴是等边三角形， 则， 在中，， ∵在中，，， ∴，与相矛盾， ∴假设是错误的； 故不符合题意； 当与关于直线对称时， 如图1所示： ∴ ∴， ∴， ∴的周长是， 故③是符合题意； ④当与关于直线对称时， 由③知：， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积是； 故④是符合题意； ⑤当时， 过点作于点，如图所示2： 设， ∴， ∴， ∴与的面积之比． 故⑤不符合题意； 故答案为： 【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线，三角形的高，轴对称的性质，理解三角形的角平分线，三角形的高，轴对称的性质，熟练掌握三角形内角和定理勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】解： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化1，得：． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得 解得：， 把代入，得 解得：， 方程组的解为． 17. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如图： 不等式组的解集为：． 18. 若一个凸多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求多边形的边数． 【答案】 【解析】 【分析】设多边形有条边，由题意，可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设多边形有条边， 根据题意，得， 解得：． 答：多边形的边数为． 19. 如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． （1）由全等三角形的性质推出，判定； （2）由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【小问1详解】 解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 20. 一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 【答案】小明至少答对道题，总分才不会低于分 【解析】 【分析】设小明答对道题，则答错道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合总分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：小明至少答对道题，总分才不会低于分． 21. 在中，，． （1）用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点保留作图痕迹； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图---角平分线的步骤作图即可； （2）先根据平行线的性质得到，，再由角平分线得到，然后通过三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：， ，， 平分， ， 是的外角， ， ． 22. 数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． （1）请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； （2）设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； （3）一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 （2） （3）一摞碗的高度不能为，理由见解答 【解析】 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【小问1详解】 解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； 【小问2详解】 解：根据题意得：； 【小问3详解】 解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 23. 在学习了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，老师让同学们小组探究“四边形的外角和它不相邻的内角之间有什么关系？”（以下提到的四边形均为凸四边形），爱动脑筋的小冰同学对“四边形的两个外角与它不相邻的两个内角有什么关系”开展了自己的探究，下面是她的探究过程： 已知：如图①，在四边形中，、是四边形的两个外角． 猜想：； 证明：， ． 证明过程缺失 （1）请你补全缺失的证明过程； （2）同桌小宇看了小冰的证明过程之后，指出小冰只考虑了“与是两个相邻外角”的情况，缺少“与是两个不相邻外角”的情况，如图当“与是两个不相邻外角”时，______（填“”“”“”）； （3）综合（1）（2），请用文字描述小冰发现的结论为：______； （4）如图③，在四边形中，，平分，平分，若，则______度 【答案】（1）见解析 （2） （3）四边形的两个外角和等于与它们不相邻的两个内角的和 （4） 【解析】 【分析】（1）由平角的定义可得，，分别表达，，进而可得； （2）结合（2）中的证明过程可得出结论； （3）四边形的两个外角和等于与它们不相邻的两个内角的和； （4）结合（3）中的结论可得出结论． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）（2）的证明过程可得出结论：四边形的两个外角和等于与它们不相邻的两个内角的和； 【小问4详解】 解：如图，在四边形中，， ， 平分，平分， ； 如图，过点作， ， ， ，， ． 【点睛】本题以四边形外角为探究对象，从相邻到不相邻分类讨论，结合平角、内角和与平行线性质推导结论，体现了“从特殊到一般”的探究思路与“转化化归”的数学思想． 24. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数，，满足，求证：． 证明：，， ______． ． 即． ______，， ______． ． 即． （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若，则 ______， ______， ______； （3）现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______． 【答案】（1）；； （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得，进而得，再根据，得，继而得，由此即可得出结论； （2）由（1）的结论得，进而得，根据，，都是正整数，且得，则正整数，将代入，得，整理得，再根据，且，是正整数得，，由此即可得出，的值； （3）依题意得，，为正数，，，图中阴影部分的面积，进而得，则，由（1）的结论得，则，继而得，解此不等式得，由此即可得出图中阴影部分面积的最小值． 【小问1详解】 解：证明：，， ， ． 即． ，， ， ， 即； 【小问2详解】 解：由（1）的结论得：， ， ， ，，都是正整数，且， ， 正整数， 将代入，得：， ， ， ， ， ， ，且，是正整数， ，， ，； 【小问3详解】 解：依题意得：，，为正数，，，图中阴影部分的面积， ， ， ， 由（1）的结论得：， 又， ， ， 解此不等式得：， 的最小值为， 图中阴影部分面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $