2026-2027学年人教版数学九年级上册【二次函数三种解析式互化】专项训练

**基本信息** 以三种解析式互化方法为核心，构建“概念梳理-典例示范-变式迁移-综合应用”的系统化训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3个核心知识点|配方法/展开合并/因式分解|概念生成→互化关系→核心公式| |典例分析|4题型（含例题+变式）|条件选形式（三点/顶点/交点）|题型对应方法→变式拓展应用| |综合训练|3层次（基础/能力/拓展）|多形式转化与实际情境建模|基础巩固→能力提升→创新探究|

九年级上册二次函数三种解析式互化专题训练 第一部分知识梳理 1.二次函数的三种解析式 二次函数的解析式有三种常见形式，在不同条件下选择不同形式可以大大简化计算， 一般式：y=ax+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为常数.适用于已知抛物线上任意三点的坐 标 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标，对称轴为直线x=h适 用于已知顶点坐标、对称轴或最值 交点式：y=ax-X)(x-X2)(Q≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标.适用于已 知抛物线与x轴的两个交点. 2.三种形式的互化关系 ·一般式→顶点式：配方法 。顶点式→一般式：展开合并 ·一般式→交点式：因式分解（当△≥0时） ● 交点式一一般式：展开合并 。顶点式一交点式：先化一般式，再因式分解 3.核心公式 对称轴公式：x=- 6 2a 顶点坐标公式：（ b 4ac-b2 2a’4a 配方法关键步躁：y=aX+bx+c=a(x+b 4ac-b 4a 第二部分典例分析与变式训练 题型一：一般式与顶点式的互化 方法点拨：将一般式化为顶点式，核心方法是配方法一一先提二次项系数，再配方.将顶点式 化为一般式，直接展开合并同类项即可.熟练掌握这两种互化，是解决二次函数问题的基本功 例1将二次函数y=2x2-4x+1化为顶点式，并写出顶点坐标和对称轴， 第1页共15页 解： y=2x2-4x+1 =2(x2-2x)+1 =2(x2-2x+1-1)+1 =2[(x-1)2-1]+1 =2(x-12-2+1 =2(x-12-1 ∴.顶点坐标为(1，-1)，对称轴为直线x=1. 变式1将下列二次函数化为顶点式，并写出顶点坐标和对称轴 (1)y=x2+6x-5 (2)y=-3x2+12x-7 X-3x+4 (3)y=2 例2将二次函数y=2(x+3)2-5化为一般式. 解： y=2(x+3)2-5 =2(x2+6x+9)-5 =2x2+12x+18-5 =2x2+12x+13 变式2将下列二次函数化为一般式， (1)y=-(x-22+6 ②y-3x+3-子 (3)y=-2(x-12+5 第2页共15页 题型二：一般式与交点式的互化 方法点拨：将一般式化为交点式，先令y=0解一元二次方程Qx+bx+c=0,得到两根X1、X2 ,再写成y=a(x-)(x-x)的形式.注意：只有当判别式△≥0时，抛物线与x轴才有交点， 才能化为交点式.将交点式化为一般式，直接展开合并即可： 例3将二次函数y=x2-5x+6化为交点式。 解：令y=0,得x2-5x+6=0 因式分解得x-2)(x-3)=0 .X1=2,X2=3 .交点式为y=(x-2)(x-3 变式3将下列二次函数化为交点式， (1)y=x2-7x+12 (2)y=2x2-4x-6 (3)y=-x2+3x+10 例4将二次函数y=2(x+1)(x-5)化为一般式. 解： y=2(x+1)(x-5） =2(x2-5x+x-5 =2(x2-4x-5)】 =2x2-8x-10 变式4将下列二次函数化为一般式： (1)y=3(x-2)(x+4) (2)y=-(x+3)(x-7) 第3页共15页 3)yx-61x+2 题型三：顶点式与交点式的互化 方法点拨：顶点式化为交点式，一般先化为一般式，再求与X轴的交点，化为交点式.交点式 化为顶点式，先化为一般式，再用配方法化为顶点式.也可以直接利用对称性：顶点横坐标h是 两根x1、X的中点，即h=十名 2 例5将二次函数y=2(x-32-8化为交点式 解法一（先化一般式，再化交点式）： y=2(x-32-8 =2(x2-6x+9)-8 =2x2-12x+18-8 =2x2-12X+10 令y=0,得2x2-12x+10=0 两边同除以2：x2-6x+5=0 (x-1)(x-5)=0 ∴.X1=1,x2=5 .交点式为y=2(x-1)(x-5】 解法二（利用对称性）： 顶点3，-8)，对称轴x=3 令y=0,得2(x-3P-8=0 (x-3)2=4 X-3=±2 .∴.X1=1,x2=5 ∴.交点式为y=2(x-1)x-5) 变式5将下列二次函数化为交点式， (1)y=-(x+1)2+9 第4页共15页 (2)y=3(x-2)2-27 c3)y=2x+4P-2 例6将二次函数y=-(x-1)(x+5)化为顶点式. 解： y=-(x-1)(x+5) =-(x2+5x-x-5 =-(x2+4x-5) =-x2-4X+5 =-（x2+4x)+5 =-(x2+4x+4-4)+5 =-（x+2)2+4+5 =-（x+2)2+9 .顶点坐标为-2,9)，顶点式为y=-(x+22+9 变式6将下列二次函数化为顶点式. (1)y=2(x-3)(x+1】 (2)y=-3(x+2)(x-6) (3)yx+4x-2) 题型四：根据条件选择合适形式求解析式 方法点拨：这是三种解析式互化的逆向应用.已知条件不同，选择的形式也不同： ·已知三点一设一般式 ·已知顶点+另一点一设顶点式 第5页共15页 ·已知与X轴两交点+另一点→设交点式 ·已知对称轴+两点→可设顶点式或利用对称性 例7已知二次函数的图象经过点A(0,-3)、B(1,0、C(3,0),求这个二次函数的解析式 解法一（交点式）：·图象过B(1,0、C(3,0) ∴.设y=a(x-1)(x-3) 代入A(0,-3),得-3=a(0-1)0-3) -3=3a .∴a=-1 ∴.y=-(x-1x-3)=-x+4x-3 解法二（一般式）：设y=ax+bx+c 代入三点得： c=-3 a+b+c=0 9a+3b+c=0 解得a=-1,b=4,c=-3 .y=-x+4x-3 变式7根据下列条件求二次函数的解析式 (1)图象经过点(0,1)、(1，-2)、(2,3 (2)顶点为2，-1)，且过点(3,0 3)与x轴交于-2,0八、(4,0)两点，且过点(0,8) 例8已知二次函数的对称轴为直线x=2,图象经过点(1，-1)和(3，-1)，且函数有最小值-3 ,求这个二次函数的解析式。 解：.对称轴为x=2,且点(1，-1)和3，-1)关于对称轴对称 .顶点坐标为2，-3) 设顶点式y=a(x-22-3 代入(1，-1)得-1=a(1-22-3 -1=a-3 第6页共15页 .∴.a=2 ∴.y=2(x-22-3=2x2-8x+5 变式8根据下列条件求二次函数的解析式 (1)二次函数有最大值4，对称轴为x=-1,且经过点(0,1) (2)二次函数的图象与X轴两交点间的距离为6，对称轴为x=2,且经过点(1，-4) (3)二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,6),顶点M(1,-2 第三部分综合训练 一、基础训练 1.将y=3x2-6x+2化为顶点式 2.将y=-(x-42+3化为一般式。 3.将y=x2-8x+15化为交点式. 4.将y=2(x-3)(x+1)化为一般式 反将yx+2-3化为交点式 6.将y=-2x2+12x-10化为顶点式和交点式 二、能力提升 亿将yx3x+号化为顶点式和交点式 21 8.已知二次函数y=x+px+q的顶点在X轴上，且经过点(1,4)，求p、q的值，并将解析式化 为项点式. 第7页共15页 9.已知二次函数的图象经过点A(-1,0八、B(5,0)、C(0,-5),求其解析式的三种形式. 10.已知抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为2,1)，且与x轴的一个交点为5,0)，求a、b、 c的值， 三、拓展探究 11.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，根据图象信息： (1)求该二次函数的解析式（用三种形式表示）； (2)当X取何值时，y>0？当x取何值时，y随X的增大而减小？ y4个 12.已知二次函数y=ax+bx+c满足以下条件： (1)当x=1时，函数有最大值4： (2)图象在X轴上截得的线段长为4. 求该二次函数的解析式， 13.阅读材料，回答问题. 材料：二次函数的三种解析式可以互相转化，灵活运用可以大大简化计算.例如，己知二次函 数的图象过点A(1,0)、B(3,0),且与y轴交于点C(0,6),求二次函数的解析式。 第8页共15页 解：，图象过A(1,0、B(3,0) .设交点式y=a(x-1(x-3)】 代入C(0,6)得6=a(0-1)(0-3)=3a .a=2 .y=2(x-1)(x-3)=2x2-8x+6(一般式) 化为顶点式：y=2(x-22-2 请仿照以上方法解答： (1)已知二次函数的图象顶点为-2,3)，且过点(1,0)，求其一般式. (2)已知二次函数的图象与x轴交于(1,0)和(5,0)，且最小值为-4，求其解析式. 第9页共15页 第四部分答案与解析 题型一：一般式与顶点式的互化 例1 y=2x2-4x+1=2(x-12-1 顶点(1，-1)，对称轴x=1 变式1 (1)y=x2+6x-5=(x+32-14 顶点(-3，-14)，对称轴x=-3 (2)y=-3x2+12x-7=-3(x-22+5 顶点(2,5)，对称轴x=2 68)y=号x2-3x+4=x-3}-号 2 顶点3，》，对称轴x=3 例2 y=2(x+32-5=2x2+12x+13 变式2 (1)y=-(x-2}+6=-x2+4x+2 @y=ax*3-子-r+9x-1 (3)y=-2(x-1)2+5=-2x2+4x+3 题型二：一般式与交点式的互化 例3 y=x2-5x+6=(x-2)(x-3 变式3 (1)y=x2-7x+12=(x-3)(x-4) (2)y=2x2-4x-6=2(x-3)(x+1) (3)y=-x2+3x+10=-(x-5)(x+2 例4 y=2(x+1)(x-5)=2x2-8x-10 第10页共15页 变式4 (1)y=3(x-2)(x+4)=3x2+6x-24 (2)y=-(x+3)(x-7)=-x2+4x+21 (3)y=引x-6x+2)=x2-2x-6 题型三：顶点式与交点式的互化 例5 y=2(x-32-8=2x2-12x+10=2(x-1)(x-5) 变式5 (1)y=-(x+12+9=-(x-2)(x+4) (2)y=3(x-2)2-27=3(x-5)(x+1) (3)y=号x+4-2=号x+20x+6) 例6 y=-（x-1)(x+5)=-（x+22+9,顶点(-2,9) 变式6 (1)y=2(x-3)(x+1)=2(x-12-8,顶点(1，-8 (2)y=-3(x+2)(x-6)=-3(x-22+48,顶点(2,48) (3)y=2x+40x-2)=3x*+1P-号，顶点(-1,2 题型四：根据条件选择合适形式求解析式 例7 y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3 变式7 (1)设y=ax2+bx+c,代入三点得： c=1 {a+b+c=-2 4a+2b+c=3 解得a=4,b=-7,c=1 ∴.y=4x2-7x+1 第11页共15页 (2)设y=ax-22-1 代入(3,0)得0=a3-22-1=a-1 .∴.a=1 ∴.y=(x-22-1=x2-4x+3 (3)设y=a(x+2)(x-4)】 代入(0,8)得8=a0+2)(0-4)=-8a ∴.a=-1 .∴.y=-(x+2)x-4)=-x2+2x+8 例8 y=2(x-2)2-3=2x2-8x+5 变式8 (1).有最大值4，对称轴x=-1 .顶点(-1,4)，设y=a(x+12+4 代入(0,1)得1=a+4,.a=-3 ..y=-3(x+12+4=-3x2-6x+1 (2),‘对称轴x=2,两交点距离为6 ∴.两交点为-1,0)和(5,0】 设y=a(x+1)(x-5) 代入(1，-4)得-4=a(1+1)(1-5)=-8a a y=x+10x-5)=2x2-2x- 1 (3):顶点M(1,-2,设y=a(x-12-2 代入C0,6)得6=a-2,∴.a=8 .y=8(x-12-2=8x2-16x+6 令y=0,得8x2-16x+6=0 4x2-8x+3=0,（2x-1)(2x-3)=0 第12页共15页 交点式为y=8x2x-多 综合训练 一、基础训练 1.y=3x2-6x+2=3(x-12-1 2.y=-(x-4)2+3=-x2+8x-13 3.y=x2-8x+15=(x-3)(x-5) 4y=2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6 5yx*2-3=×+含x昌 令y=0,号x+2-3=0,(x+2P=9 x+2=±3，∴.X1=-5,x2=1 交点式为y号x+5训x- 6.y=-2x2+12x-10=-2(x2-6x)-10=-2(x-32+8(顶点式) 令y=0,-2x2+12x-10=0,x2-6x+5=0 (x-1(x-5)=0,.∴.x1=1,x2=5 .交点式为y=-2(x-1)(x-5) 二、能力提升 7y-3x*5×-6x-月 22 =x-3-昌+-x-3-2(项点) 令y=0,2x-32-2=0,(x-37=4 X-3=±2，.∴.X1=1,X2=5 :交点式为y=x-1川x-5) 第13页共15页 8..顶点在x轴上，.∴.△=p2-4q=0 代入1,4)得1+p+q=4,即p+q=3 联立(p4g=0 p+q=3 解得日=子g q=9 当p=2,9=1时，y=x2+2x+1=(x+12,顶点(-1,0) 当p=-6,q=9时，y=x2-6x+9=(x-32,顶点(3,0) 9.图象过A(-1,0人、B(5,0) .设交点式y=a(x+1)(x-5) 代入C(0,-5)得-5=a(0+1)(0-5)=-5a ∴.a=1 ∴.交点式：y=(x+1)(x-5) 一般式：y=x2-4x-5 顶点式：y=(x-22-9 10..顶点(2,1)，设y=a(x-22+1 代入(5,0)得0=a(5-22+1=9a+1 a=-日 yx-2+1=日x2+音x+8 99 9bs4。 三、拓展探究 11.(1)由图象可知，抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0)，与y轴交于(0,3) 设交点式y=a(x+1)(x-3) 代入(0,3)得3=a(0+1)(0-3)=-3a .∴.a=-1 .交点式：y=-（x+1(x-3) 一般式：y=-x2+2x+3 顶点式：y=-(x-1}2+4 第14页共15页 (2)由顶点式知开口向下，对称轴x=1 当-1<x<3时，y>0 当x>1时，y随x的增大而减小 12..当x=1时函数有最大值4 .顶点(1,4)，a<0 设y=a(x-12+4 ∴，图象在x轴上截得的线段长为4，且对称轴为X=1 .与x轴的交点为(-1,0)和(3,0) 代入(-1,0)得0=a(-1-12+4=4a+4 ∴.a=-1 ∴.y=-(x-12+4=-x+2x+3 13.(1):顶点(-2,3)，设y=a(x+2}2+3 代入(1,0)得0=a(1+22+3=9a+3 a= y3x+2+3=3×x+号 (2).与x轴交于1,0)和(5,0】 .设y=a(x-1)(x-5) 对称轴x=3,最小值为-4，·∴.顶点3，-4) 代入(3，-4)得-4=a(3-1)(3-5)=-4a .∴a=1 ∴.y=(x-1)(x-5)=x2-6x+5=(x-3)2-4 第15页共15页