第一章 问题解决活动：做内嵌于正方形的八边形 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以特殊平行四边形为核心，通过基础、拔高、综合实践三层设计，实现从单一概念到综合应用的知识巩固，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正八边形内角、菱形性质等单一知识点|选择题1-9、填空题11-13、解答题15-17，直接应用概念与基本运算| |拔高层|图形叠放角度计算、正方形与正八边形转化等综合运算|选择题10、填空题14，需结合几何直观与推理意识| |综合实践层|内接菱形作图与面积最值探究|解答题18，通过动手操作与模型观念解决实际问题|

第一章 特殊平行四边形 ——问题解决活动 练习题 一、选择题： 1.如图，我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形正八边形的一个内角的度数是(    ) A. B. C. D. 2.如图，平面上有两个全等的正八边形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，若将正方形剪去四个角后可以成为一个边长为的正八边形，则正方形的周长为  (    ) A. B. C. D. 5.将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在正五边形中，，相交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.观察下列图形的规律，按照如图所示的画法，如果要得到个直角三角形，则需画的正方形个数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，取正六边形的各边中点，依次连接得到正六边形，再取正六边形的各边中点，依次连接得到正六边形，则正六边形与正六边形的边长之比为(    ) A. B. C. D. 9.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，下图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 10.（拔高题）在图所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为经探究发现，此八边形可按图的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形现将分割后的四个五边形重新拼接，得到一个大正方形，发现该正方形中间的阴影部分也是个正方形，记正方形得面积为，正方形的面积为，且，则大正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，在正八边形中，若，则          ． 12.如图是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美图是从图图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则          ． 13.如图，正八边形和正方形有一边重合，小正方形的面积为，则          度，图中正八边形的外接正方形的边长为          ． 14.(拔高题)在矩形纸片中，，按如下操作：先将矩形纸片上下对折，然后左右对折，再沿对角线对折，然后展开得到图中的折痕四边形如图，则四边形的面积为          ． 三、解答题： 15.当一个菱形的四个顶点都在已知矩形的边上时，我们称这个菱形为矩形的内接菱形如图，在矩形中，，点在边上，且，四边形是矩形的内接菱形，求的长． 16.如图，正方形剪去四个角后成为一个正八边形。若正八边形的边长为，则剪去四个角的面积和为           若正方形的边长为，求正八边形的边长。 17.如图，在菱形中，为边上一点，仅用无刻度直尺分别按下列要求作图保留作图痕迹． 在图的边上作一点，使不写作法； 在图中，以为顶点作一个矩形，使矩形的四个顶点都在菱形的边上写出作法． 18.（综合实践拔高题）作内嵌于正方形的正八边形——作矩形的最大内接菱形的方法：顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”实践小组成员经过思考后，给出了种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形如图，则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，两对顶点重合，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形如图 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点，与边交于点，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析、讨论、计算、对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： 图中菱形的面积与矩形的面积之比为           尺规作图：请你在图中完成“方法三”的作图过程保留作图痕迹，不用写作法 若在矩形中，，，请你根据三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积的最大值． 第一章 特殊平行四边形 ——问题解决活动 练习题 参考答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.  15.解：如图，连接． 四边形是矩形，，，，， ．四边形是菱形，，，， ，，， ，． 16.【小题】 【小题】设正八边形的边长为，则剪掉的等腰直角三角形的直角边长为， 正方形的边长为， ，解得， 正八边形的边长为．  【解析】 正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为， ， 设的边长，可得，解得， 剪去的四个角面积和．  略 17.【小题】解：如图，点即为所作． 【小题】如图，矩形即为所作． 步骤如下： 连接，相交于点； 连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点； 连接，，，则矩形即为所作． 18.【小题】 【小题】如图所示，四边形即为所求． 【小题】方法一：菱形的面积矩形的面积． 方法二：如图． 由题意，得，，， ，． 设． ，， ，， 菱形的面积． 方法三：同理方法二，菱形的面积． ， 此矩形的内接菱形的面积的最大值为．  【解析】  解：由题意，得，． 菱形的面积，矩形的面积， 菱形的面积与矩形的面积之比为． 故答案为．  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $