专题3 特殊平行四边形中的定值、最值问题&问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

专题三特殊平行四边形中的定值 类型1特殊平行四边形中的定值问题 (一)利用面积法解决定值问题 1.一题多变思维延伸如图，在正方形ABCD 中，对角线的长为10cm,P是CD上任意一 点，过点P分别作PE⊥BD,PF⊥AC,垂足 分别为E,F,则PE+PF的值为 cm. (第1题图) (变式题1图) 【变式题1】一点引两垂线，正方形→矩形 (贵阳观山湖区期中)如图，在矩形ABCD 中，AB=4,AD=3,P是AB上不与A和B 重合的一个动点，PE⊥AC于点E,PF BD于点F,则PE十PF的值为 【变式题2】一点引两垂线，矩形→菱形 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,BD=16,G是BD上 的动点，GE⊥AB于点E,GF⊥AD于点F. (1)求AC的长及菱形ABCD的面积. (2)当点G在对角线BD上运动时，GE+ GF的值是否发生变化？请说明理由. 方法总结：在特殊平行四边形中，对于上述几题中由 一点引出两条垂线，求线段和的定值问题，常用同一 面积的不同表示形式来解决。 最值问题【通性通法·贵州热点】 (二)利用全等进行转化解决定值问题 2.(教材P23习题T9变式)如图，在正方形 ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，过点 O作射线OM,ON,分别交BC,CD于点E, F,且∠EOF=90°，OC交EF于点G.有下列 结论：①△COE≌△DOF;②△EOF≌ △BOC;③DF2+BE=2OE;④正方形 ABCD的面积是四边形CEOF的面积的4 倍.其中正确的是 A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 3.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD= 120°，△AEF为等边三角形，点E,F分别在 菱形的边BC,CD上滑动，且点E,F不与点 B,C,D重合. (1)求证：BE=CF. (2)当点E,F在BC,CD上滑动时，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，说明理由 第一章特殊平行四边形19 类型2特殊平行四边形中的最值问题 (一)利用“垂线段最短”求最小值 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,E为边AD上的一个动点，∠BAD= 120°，菱形ABCD的周长为24，则OE长的 最小值为 (第4题图) (第5题图) 5.(六盘水期中)如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=5,AC=12,M为斜边AB上一动 点，过点M作MD⊥AC于点D,ME⊥CB 于点E,则线段DE的最小值为 (二)根据“对称性十两点之间线段最短”求最 小值（将军饮马问题变式） 方法点拨：本质是利用特殊四边形的对称性找到定，点 的对称点，再根据两，点之间线段最短求最值，如图所示. 两定一动型 两定两动型 6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是 边AD的中点，P是对角线BD上的一个动 点，则线段PA十PE的最小值是 (第6题图) (第7题图) 7.(2025一2026·毕节期未)如图，菱形ABCD 的周长为24cm,∠A=120°，E是BC边的 20数学九年级全一册(BS) 中点，P是BD上的动点，则PE十PC的最 小值是 (三)根据“对称性十垂线段最短”求最小值（化 折为直，化直为垂) 8.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°， G是边CD的中点，E,F分别是AG,AD上的 两个动点，则EF+ED的最小值是 (第8题图) (变式题图) 【变式题】如图，已知菱形ABCD的边长是 6,M是对角线AC上一动点，且∠ABC=120°， 则MA+MB+MD的最小值是 (四)其他常见的最值问题 9.(铜仁期末)如图，矩形ABCD中，AD=5, AB=12,点G是边AB上的一点，点P是 BC边上的一个动点，连接DG,GP,点E,F 分别是GD,GP的中点，在点P的运动过程 中，EF的最大长度为 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,M 是平面内任意一点，连接AM,DM,N是 AM的中点，连接BN.若DM=4,则BN 长的最大值为 11.(贵州期未)如图，在正方形ABCD中，AB=1, 点E,F分别为AD,CD上一点，且AE=CF, 连接BF,CE,则BF+CE的最小值是 问题解决活动：作内嵌 【定义】若一个正方形内部嵌套一个正八边形， 且正八边形至少有四个顶点分别落在正方形 的四条边上，我们便称这个正八边形内接于该 正方形 【观察判断】下图中可以称为正八边形内接于 正方形的是 ,(填序号) (① ② 【动手操作】尺规作图：小晓用尺规分别作出了 内接于正方形ABCD的两个正八边形 A BC DEFG H A2 B2 C2 D2E2 F2G2 H2, 作图痕迹如图所示 【折纸探究】用一张正方形纸片，能否通过折叠 得到一个正八边形？小明给出了如下步骤，请 你按照这个步骤试试，看最后折出的纸是否是 正八边形， ④ 把甘字线折 基醋立起三角4处均接沿虚錢 完 成会线 正月形形后最开同样方法处剪开 对角线辑成 后展用 由蜂线；潤 辑痕重叠 【回顾反思】无论是尺规作图还是折纸方法，都 利用了图形的轴对称性： 正方形有 条对称轴，正八边形有 条 对称轴.这种对称性是实现“内接”与“正多边 形”构造的关键。 【类比迁移】当一个矩形的四个顶点在已知菱 形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接 矩形 于正方形的正八边形 【提出问题】菱形的内接矩形有哪些不同情形？ 【解决问题】小伟与小玲分别给出了回答，张老 师听完后指出：该表述不够严谨，此类问题还 存在一种特殊形式—一顶点重合式.请根据对 话画出相应草图 矩形的两组对边分别平行于 几菱形的对角线 矩形的顶，点在菱形的边上 对边不与对角线平行 小伟 小玲 【思考】已知菱形ABCD,请在草稿纸上用尺规 作出它的内接矩形EFGH;动手试试吧！ 【拓展探究】如图，已知菱形ABCD,请仅用无 刻度直尺按照下面要求作图： (1)如图①，E,F分别为AB,BC的中点，作出 它的内接矩形EFGH;(保留作图痕迹) (2)如图②，E为边AB上一点，作出它的内接 矩形EFGH.(保留作图痕迹) 图① 图② 第一章特殊平行四边形21基础过关 1.A2.B3.A4.25√2-16.20°7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC= DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，∠B=∠D,AB=AD,∠BAE=∠DAF, ∴.△ABE≌△ADF(ASA)..BE=DF..BC-BE=DC-DF,即CE=CF 能力提升 8.C9.210.1311.证明：(1)四边形ABCD为正方形，.AB=CB,∠ABE=∠CBE= AB-CB. 45°.在△EAB和△ECB中，∠ABE=∠CBE,.△EAB2△ECB(SAS).(2),·四边形 BE-BE, ABCD为正方形，∴.∠BDC=45°.△EAB≌△ECB,∠AEC=45°，.∠CED=∠AED= 7∠AEC=22.5.∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5,·∠CED=∠DCE.DC=DE 12.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，且BE=AF,∴BA=AD,∠BAE=∠D=90. .△BAE≌△ADF(HL)...∠ABE=∠DAF..∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG= ∠BAD=90°.∴∠AGB=90°.∴.BE⊥AF.(2)解：由(1)知△BAE≌△ADF,∴.DF=AE= 2..正方形ABCD的边长为5，.CF=DC-DF=5-2=3..BF=BC十CF2=34. :BE⊥AF,点H为BF的中点，GH=号BF=号V 思维拓展 13.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明△NMP≌ △EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN,得EF=MH,再 求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 新知梳理 ①相等②互相垂直③直角④相等 例题引路 【例1】证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC.,DF⊥BC,.DF⊥AD.BE⊥ AD,∴.BE∥DF..四边形BEDF是平行四边形.：BE=DE,∴.四边形BEDF是菱形. :BE⊥AD,∠BED=90°.∴四边形BEDF是正方形.【例2】C 基础过关 1.A2.①②（或①③）3.C4.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,.四边形AFDE是平行 四边形.：AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD.∴∠EDA= ∠EAD.AE=DE..四边形AFDE是菱形.：∠BAC=90°，.四边形AFDE是正方形. (2)解：四边形AFDE是正方形，AD=3√2，.AF=DF=DE=AE=3..四边形AFDE 的面积为3×3=9. 能力提升 5.D6.22.5°7.证明：(1)四边形ABCD为正方形，.AB⊥BC,∠B=90°.EF⊥AB EG⊥BC,∴.∠BFE=90°，∠BGE=90°.又.∠B=90°，.四边形BFEG是矩形.(2)·正方 形ABCD的周长是40cm,∴.AB=10cm.:四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°. .∠AEF=90°一∠BAC=45°.，△AEF为等腰直角三角形.，.AF=EF..AF=5cm,AB= 10cm,.BF=AB-AF=5cm..EF=BF=5cm..四边形BFEG是正方形. 思维拓展 8.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,∴.∠EMC=∠ENC=∠END= 90°.：四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA,∴.∠MEN=360° ∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN.∴.∠FEM+∠FEN=90°.：EF⊥DE, .∠DEF=90°..∠DEN+∠FEN=90°.，.∠FEM=∠DEN..△FEM≌△DEN (ASA)..FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值.由(1)知矩形 DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°.：四边形ABCD是正方形，∴.AD= CD=AB=4VE,∠ADE+∠EDC=90°，.∠ADE=∠CDG.∴.△ADE≌△CDG(SAS). .AE=CG.∴CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 58 专题一中点四边形问题【回归教材·通性通法】 L.(1)证明：连接BD.E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线..EH= 号BD,EH/BD,同理，FG=号BD,FG/BD.EH=FG,EH∥FG.四边形EFGH是 平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.:E, F分别是AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=号AC.同理，得HG/ ACHG=专ACEF∥HG,EF=HG.四边形EFCH是平行四边形.：AB=AD,BC= CD,,AC是线段BD的垂直平分线..AC⊥BD.E,H分别为AB,AD的中点，.EH是 △ABD的中位线.∴EH∥BD.EF∥AC,.EF⊥EH,即∠HEF=9O°.∴.四边形EFGH 是矩形.【变式题]C【拓展练】织 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.B2.75°3.A4.(1)证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD,∠B=∠D=90°.由 折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB..∠AEB=∠CEF,.△ABE≌ △CFE(AAS).(2)证明：：△ABE≌△CFE,∴AE=CE.∴△AEC是等腰三角形.(3)解：设 CE=AE=x..四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8..BE=BC-CE=8-x.在Rt△ABE 中，BE十AB=AE,即(8-x)2十4=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证明：由折叠的性质 知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,∴.2（∠PAB+∠PAD)=180°，即∠BAD=∠PAB+ ∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由 折叠的性质知AE=AP=AF,AF=令EF,同理可得CG=2GH.:四边形EFGH是菱 形，.EF=GH,EF∥GH..AF=CG,AF∥CG..四边形ACGF是平行四边形..FG= AC.:四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=√6，∠ABC=90°..AC=√AB+BC=3. .FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：四边形ABCD是正方形， ∴.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.'AE=DF,∴.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE=AF, ∠ABE=∠DAF.:∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°.∴.∠AOB= 180°-（∠BAO十∠ABE)=90°.∴AF⊥BE..AF与BE等长，且互相垂直，【变式题1】4 【变式题23√22.(1)证明：在AB上截取AM=CE,连接ME.:四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∴.∠BAE+∠AEB=90°.AM=CE,∴.AB-AM=BC-CE 即BM=BE.∴.△BEM是等腰直角三角形.∴.∠BME=45°.∴.∠AME=180°-∠BME= 135°.EF⊥AE,.∠AEF=90°.∠AEB+∠CEF=90°.∴∠BAE=∠CEF.,∠DCG=180° ∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF=∠GCF=45°.∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°. ∠AME=∠ECF=135°..△AME≌△ECF(ASA)..AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如 下：延长BA至点H,使AH=CE,连接HE.四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB= BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD=90°，∠DAE=∠AEB.·△BEH是等腰直角三角形. ·∠H=45.:CF平分∠DCE,·∠ECF=号∠DCE=45.∠H=∠ECR.:∠AEF= 90°，∴.∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB..∠HAE=∠CEF.∴.△AEH≌△EFC(ASA). AE=EF.3.解：(1)：四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠ADF=90°，AB=AD. ∴∠ADG=90°=∠B.DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS).∴∠DAG=∠BAE,AE=AG. ∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF=∠FAG. AF=AF,△AFG≌△AFE(SAS).∴.EF=FG.∴.EF=DF+DG=DF+BE,即EF= BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE,连接AG.同(1)可证△AEB≌ △AGD,∴.EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD.又.∠BAG+∠GAD=90°，∴.∠EAG= ∠EAB十∠BAG=∠GAD十∠BAG=90°.·.∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°...∠EAF= ∠GAF..AF=AF,.△EAF≌△GAF(SAS)..EF=FG..FD=FG+DG,.DF=EF+BE. 专题三特殊平行四边形中的定值、最值问题【通性通法·贵州热点】 1.5【变式题1】2.4【变式题2】解：(1)，四边形ABCD是菱形，.AO=CO,AC⊥BD, B0=2BD=8,在R△AB0中，A0=VAB-B0=6.·AC=2A0=12.S#D 59 号AC·BD=96.(2)GE+GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意，得S△m 号S#m=Sa十Sam,即号X96=合×10GE+合×10GF,GE+GF=96.GE+ GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,∠BAC 合∠BAD=60.∠B=180-∠BAD=60.∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC △AEF为等边三角形，∴AE=AF,∠EAF=60..∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC, 即∠BAE=∠CAF.∴.△ABE≌△ACF(SAS)..BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不 发生变化.：△ABE2△ACF,∴.S△E=SAXF.∴.S四边形AF=S△r十SAACF=S△r十S△AE S△C.由(1)知△ABC为等边三角形，过点A作AH⊥BC于点H,易得AH=2V5,.SAAx 号×4X2B=4.∴Sa8m=5s=4.4395g6万73万835 【变式题】6√39.6.510.2十2w/1311.√5 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH的三 种草图如图所示。 D(H) r(G) 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半直角 相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：E为对角线AC的中点，BE⊥AC,∴.BE垂直平分AC ∴.AB=BC.,四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形.(2)解：：BE=EF,∴∠EBF= ∠EFB..CF=CE,,.∠CEF=∠CFE.,.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF :∠BEC=90°，∴∠BCE+∠EBC=3∠EBC=90°.∴∠CBE=30°，∠BCA=60°.∴.∠ACB= ∠ACD=60°.∴.∠DCF=6O°..∠BCE=∠DCF.:BC=DC,CE=CF,∴.△BCE≌ △DCF(SAS).∴.∠DFC=∠BEC=90°，∠CBE=∠CDF=30°.∴.CD=2CF=8.∴.DF= CD-CF=45.∴△DCF的面积为2CF,DF=号×4X45=8.5.C6,A 7.(1)选择①，证明：，AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形.选择②，证明：：AD∥BC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形. :∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∠ABC=90。 :AB=3,AC=5,.BC=√AC-AB=4.∴.四边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AD=BC,AD∥ BC.∠ADE=∠CBF.又：DE=BF,.△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接AC,交BD 于点O.:四边形ABCD是正方形，.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD=号BD=5.:DE= BF,∴.OD-DE=OB-BF,即OE=OF..四边形AECF是平行四边形.又BD⊥AC, ∴.四边形AECF是菱形，EF=2OF.:四边形AECF的周长为4AF=4√34，∴.AF=√34. 在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.解：(1)DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边形.∴.EF=CD=3,CF=DE. 60