2026北京人大附中高二（下）期末数学

**基本信息** 高二年级数学期末试卷涵盖数列、导数、概率等核心知识，以无人机配送、航天育种等真实情境为载体，通过“关联子集”等新定义问题考查数学思维与创新意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|16题70分|等差等比数列、导数应用、条件概率|结合无人机配送情境考查条件概率，新定义“势函数”考查数学抽象| |填空题|9题40分|二项式系数、数学期望、数列单调性|设计开放型等比数列通项，考查创新思维| |解答题|4题40分|函数单调性、分布列、导数证明、集合新定义|航天育种实践问题融合概率计算，“关联子集”新定义题考查逻辑推理|

高二年级样题 数学 2026.07 本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分．考试时长90分钟．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知是等差数列，，，则 A．13 B．9 C．7 D． 2．已知函数，其导函数为，则 A． B． C．0 D． 3．从，，0，1，2，3中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为 A．15 B．10 C．6 D．3 4．已知是等比数列，其前n项和为，若，，则 A． B．1 C．2 D．4 5．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是 A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． 6．目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率，在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是 A． B． C． D． 7．已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为 A． B． C． D． 8．已知函数，恰有一个极值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知函数，．下列结论中正确的是 A．，使得对任意实数，恒成立 B．，使得方程恰有3个不同的实数根 C．，函数存在最小值 D．，函数在上单调递减 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11．在的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 12．某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 13．已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________． 14．已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________． 15．已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论： ①当时，为递减数列； ②存在实数，不是等比数列； ③当时，； ④当时，，，当时，都有． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题9分） 已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间上的最值． 17．（本小题10分） 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）估计这批太空辣椒种子发芽的概率； （Ⅱ）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为；求的分布列和数学期望； （Ⅲ）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按的比例混合． 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是________．（直接写出序号） 18．（本小题11分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）设实数使得对恒成立，求的最小值； （Ⅲ）求证：对任意的，都有． 19．（本小题满分10分） 已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，，，，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”． （Ⅰ）分别判断集合与是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的“关联子集”； （Ⅱ）已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的“关联子集”，使得．若，求证：，，，，是等差数列； （Ⅲ）若集合是“独立的”，求证：存在，使得． 2025—2026学年度第二学期高二年级期末练习 数 学 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷19道题，共100分；Ⅱ卷10道题，共50分． Ⅰ卷、Ⅱ卷共29题，合计150分，练习时长120分钟，练习日期：2026年7月7日； 请在密封线内填写个人信息． Ⅱ卷（共10道题，满分50分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 20．已知，，则（ ） A． B． C． D．40 21．已知函数为奇函数，则（ ） A．2 B．1 C． D． 22．盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球，事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A． B． C．，独立 D．，独立 23．正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数．设表示不超过x的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 24．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 25．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③．其中“势函数”的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 26．数列满足，，则________． 27．如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，______． 28．直线与函数和的图象分别相切于点和点，则________（用表示），_________． 29．数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为________，此时的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区2026年高二年级学业水平调研 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．C 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．15 12．1 13．（答案不唯一） 14．， 15．② ④ 三、解答题（共4小题，共40分） 16．（共9分） 解：（Ⅰ）由题意可得， 解方程，可得或， 当变化时，在各区间上的正负情况，以及的单调性如下表所示． 1 0 0 极大值 极小值 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增且在处取得极小值． 又因为，， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值． 9分 17．（共10分） 解：（Ⅰ）根据题中数据，试验一共选取了100粒太空辣椒种子，其中发芽的种子数为90粒，因此估计这批太空辣椒种子发芽的概率为． 2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，这批太空辣椒种子发芽的概率为0.9，随机选取3粒新种子进行发芽实验，发芽的种子数的取值范围是． ， ， ， ， 因此的分布列如下表所示． 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 所以． 或，． 8分 （Ⅲ）①③． 10分 18．（共11分） 解：（Ⅰ）函数定义域为，． ，， 切线方程为． 4分 （Ⅱ）方法一： 对任意的，都有，也就是对任意的， 都有，即对任意的，都有． ①当时，因为对任意的，，． 即，不满足题意． 设， 则． ②当时， 设． 令，判别式， 故有两个实数根，设为，，则． 故不妨设． 故对任意的，都有，所以， 则在区间上是增函数，所以． 故时不满足题意． ③当时， 对任意的，有，，， 所以，故，则在上单调递减 因此对任意的，，故满足题意． 综上，k的最小值为1． 9分 （Ⅱ）方法二： ①当时，对任意的，，，则且，则，不满足题意． 令，则． ②当时，对任意的，有，，则． 所以，当且仅当时，． 所以在单调递减，，即当时，恒成立，所以当时，恒成立． ③当时，设，则． 对任意的，有，所以单调递减；因为，，故存在唯一，使． 与变化情况如下表： 0 极大值 因为，所以，也就是，故不满足题意． 综上，k的最小值为1． 9分 （Ⅲ）设． 因为，所以． 由（Ⅱ）得． 因此对任意，都有． 11分 19．（共10分） 解：（Ⅰ）的所有可能值为1，5． 2分 （Ⅱ）因为为的伴随数列，所以对任意整数， 或． 又因为各项均为非负实数，所以， ． 从而 ． 令，则，为的伴随数列，且 ．因此的最小值为． 6分 （Ⅲ）对任何整数，，可知与的奇偶性相同，与的奇偶性相同，又因为，即与的奇偶性相同，因此与的奇偶性相同． 由题意，和的各项的奇偶性由，，，决定，如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 奇 偶 偶 偶 奇 偶 奇 偶 … 奇 奇 奇 偶 偶 奇 奇 奇 … 根据上表可知，当且仅当时，，奇偶性相同． 对任意正整数，设， 当且时，与奇偶性相同，所以． 又因为， 所以， 因此集合的元素个数小于等于． 另一方面，构造数列和如下： ，，，，，，． ，，，，，，． 可以验证为的伴随数列，为的伴随数列， 且对任意的自然数，都有， 因为， 所以， 此时集合的元素个数等于． 综上，，这里满足． 10分 人大附中2025-2026学年度第二学期高二年级数学期末练习 II卷参考答案和评分标准 2026.7.7 一、选择题（本大题共6题，每小题5分，共30分） 题号 20 21 22 23 24 25 答案 C D C B C C 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分） 题号 26 27 28 29 答案 ， ， 5， 注：双空题第一空3分，第二空2分 学科网（北京）股份有限公司 $