精品解析：北京市北京学校、人大附中通州校区2025-2026学年下学期高二数学期中练习

北京学校、人大附中通州校区 2025~2026学年度第二学期 高二年级数学期中练习 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题．每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 2. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 18 D. 24 3. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）． A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 6. 已知为函数的导函数，的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（ ） A. B. C. 在处取得最小值 D. 在处取得极小值 7. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位）与时间（单位）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时雨强（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ） A. B. C. D. 8. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在的展开式中，的系数为___________． 12. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，请举出一个有“巧值点”的函数___________． 13. 在10件产品中，有8件合格品，2件次品．从这10件产品中任意抽出3件检查，则抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有___________种． 14. 一个盒子里装有质地、大小和形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，白球1个．现从中任取两个球，记事件“取出的两球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”则___________． 15. 设函数，给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，方程恰有4个实数根： ③存在，使得： ④若实数，且． 则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. （1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 17. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间： （3）求函数在上的最大值和最小值． 18. 中秋晚会计划演出6个节目，其中歌曲、舞蹈和小品各2个 （1）求分别满足下列条件的节目单排法的种数： ①两个歌唱节目分别安排在开头和结尾； ②两个歌唱节目不相邻； ③两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻． （2）晚会定好节目单后，由于情况有变，需要增加魔术和机器人表演两个节目．但是不能改变原来节目的相对顺序，问新的节目演出顺序可能有多少种？ 19. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （3）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知函数，． （1）当a＝1时，求函数的单调递增区间； （2）求函数的极值点； （3）当a>0时，判断函数的零点个数，并说明理由． 21. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围； （3）已知，若，且满足，使得，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京学校、人大附中通州校区 2025~2026学年度第二学期 高二年级数学期中练习 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题．每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】， ， ，. 2. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】按个位是否为0分类讨论可得. 【详解】个位是0的有个，个位是2的有个，共有没有重复数字的四位偶数个. 3. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量方差公式求解即可. 【详解】由，解得：， 所以， 则， 故选：A 4. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若，则， 当时，，故； 当时，，故； 当时，， 故能推出； 反之，若对任意，， 因为时，，故，故即； 而时，，故，故即； 时显然成立，故， 故对任意，能得到， 故“”是“对任意，”的充要条件， 故选：C. 5. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）． A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】按照①②③④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果. 【详解】首先对①进行涂色，有5种方法， 然后对②进行涂色，有4种方法， 然后对③进行涂色，有3种方法， 然后对④进行涂色，有3种方法， 由乘法计数原理可得涂色方法种数为 种 故选:A 6. 已知为函数的导函数，的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（ ） A. B. C. 在处取得最小值 D. 在处取得极小值 【答案】D 【解析】 【详解】A：由的图象可知： 当时，，所以函数在上单调递减， 因此，所以本选项说法不正确； B：由上可知：函数在上单调递减， 所以，所以本选项说法不正确； C：由上可知：函数在上单调递减， 显然在处不存在最小值，本选项说法不正确； D：由上可知：函数在上单调递减， 由的图象可知： 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在处取得极小值，本选项说法正确. 7. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位）与时间（单位）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时雨强（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用导数的定义可求得结果. 【详解】对函数求导得， 当时，， 即在时的瞬时雨强（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为. 8. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件, 则， 根据全概率公式. 9. 函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得. 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，解得， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 10. 若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由“切线与直线平行”求出参数，再将不等式进行转化，构造新函数，利用导数研究函数单调性来解的最大值. 【详解】直线可化为，故其斜率为， 由得， 因为曲线在点 处的切线与该直线平行，所以， 于是，即， 解得，从而， 且， 因为，所以，所以在内单调递减， 不妨设，则，由， 故，即恒成立， 令，则在内单调递减， 即在内恒成立， 又，则， 即在内恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 故，故； 当时，，对任意，恒成立， 仅当时，即不恒为， 所以在内严格单调递减，满足对任意恒成立， 故的最大值为. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，故展开式中的系数为. 12. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，请举出一个有“巧值点”的函数___________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【详解】设，则，，或， 显然符合题意. 13. 在10件产品中，有8件合格品，2件次品．从这10件产品中任意抽出3件检查，则抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有___________种． 【答案】 【解析】 【详解】抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有. 14. 一个盒子里装有质地、大小和形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，白球1个．现从中任取两个球，记事件“取出的两球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”则___________． 【答案】 【解析】 【详解】取出的两球颜色不同的取法共有种， 而取出一个红球，一个白球的取法共有， 所以. 15. 设函数，给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，方程恰有4个实数根： ③存在，使得： ④若实数，且． 则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式画出图象，根据对数函数和二次函数的性质对每个结论进行辨析即可. 【详解】对于①： 当时，，此时； 当时，，因为抛物线的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时，所以函数的值域为，所以①错误； 对于②： 根据分段函数的表达式，画出对应的图象为： 由图象可以看出，对，与直线恰有3个交点， 所以方程恰有3个实数根，所以②不正确； 对于③： 因为时，，所以， 问题转化为二次函数和函数的图象是否有交点问题， 根据图象可以看出，两个函数的图象存在交点，③成立； 对于④： 由图象可知，，即. ，即. 所以，由图可知， 而在上单调递减，所以， 所以， 则的最大值为，故④正确. 所以③④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. （1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 【答案】（1）①②，（2） 【解析】 【分析】（1）①根据二项式展开式的性质，结合二项式系数之和公式进行求解即可； ②根据二项式系数的性质进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可. 【详解】（1）①因为二项式的展开式共有6项， 所以，因此二项展开所有项的二项式系数和为； ②因为二项展开式中二项式系数最大的项为第和第项， 所以，； （2）在中， 令，得， 所以. 17. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间： （3）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）的递减区间为，递增区间为， （3）最大值为、最小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 ， 所以由题意可得； 【小问2详解】 由上可知：， 令，解得，所以函数的递减区间为， 令，解得，或， 所以函数的递增区间为，； 综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）可知：的递减区间为，递增区间为， 所以当时，在上递减，在，上递增， 因为， 所以， 因此函数在上的最大值为、最小值为. 18. 中秋晚会计划演出6个节目，其中歌曲、舞蹈和小品各2个 （1）求分别满足下列条件的节目单排法的种数： ①两个歌唱节目分别安排在开头和结尾； ②两个歌唱节目不相邻； ③两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻． （2）晚会定好节目单后，由于情况有变，需要增加魔术和机器人表演两个节目．但是不能改变原来节目的相对顺序，问新的节目演出顺序可能有多少种？ 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】（1）①利用排列的定义进行求解即可； ②利用插空法进行求解即可； ③运用捆绑法和插空法进行求解即可； （2）运用插空法进行求解即可. 【小问1详解】 ①因为两个歌唱节目分别安排在开头和结尾， 所以节目单排法的种数为； ②因为两个歌唱节目不相邻， 所以其它节目排完，两个歌唱节目进行插空， 所以节目单排法的种数为； ③因为两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻， 所以两个歌唱节目先捆绑，然后与个小品排列，最后两个舞蹈节目进行插空， 所以节目单排法的种数为； 【小问2详解】 6个节目形成空， 因为不能改变原来节目的相对顺序， 所以新增加的两个节目可以插入一个空或者两个空， 所以节目单排法的种数为. 19. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （3）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本数据统计超过10本的个数即可求解， （2）根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解， （3）根据方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本， 所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为． 【小问2详解】 由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为； 从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为． 由题设，的可能取值为0，1，2． 且； ； ． 所以的分布列为： 0 1 2 的数学期望． 【小问3详解】 ． 理由：设原女生的8个阅读量分别为， 原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8， 则 所以 20. 已知函数，． （1）当a＝1时，求函数的单调递增区间； （2）求函数的极值点； （3）当a>0时，判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，函数无极值点； 当时，函数的极小值点为，无极大值点； （3）当时，函数没有零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.理由见解析. 【解析】 【分析】(1)利用导数研究函数的单调性，直接令即可得出结果； (2)利用导数分类讨论当、时函数的单调性，结合极值点的定义即可得出结论； (3)结合(2)可得函数的单调性，进而求出函数的最小值，根据函数零点的概念和分类讨论的数学思想即可得出结果. 【小问1详解】 当时，， 则，令， 所以函数的单调增区间为； 【小问2详解】 函数的定义域为R，， 若，，此时函数单调递增，无极值点； 若，令， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故是函数的极小值点，函数无极大值点； 【小问3详解】 由(2)知，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当即时， ，由函数的单调性可知函数没有零点； 当即时， ，函数的单调性可知函数有1个零点； 当即时， ，又， 由零点存在性定理，存在，使得 令，则， 所以在单调递减，所以，所以 所以，由零点存在性定理，存在，使得 所以函数有2个零点. 21. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围； （3）已知，若，且满足，使得，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明， 又因为，即证， 令， 即， 注意到， 因为， 则在上单调递减，所以在恒成立， 所以，即满足. 【解析】 【分析】（1）当时，，求导，根据导数的几何意义可得，由两点式可得切线的方程． （2）问题可转化为，对求导，分析单调性，求出得最大值，使得它小于等于，进而可得的取值范围． （3）问题转化为只需证明，由，，且函数在上单调递增，推出只需证明，也即，再构造函数，利用的单调性，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，，所以，得到， 又，所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $