北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末数学试题

高二年级样题 数学 2026.07 本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分。考试时长90分钟。试题答案一律填涂或 书写在答题卡上，在样题上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 (1)已知a,}是等差数列，a1=1,4+4=a5,则a4= (A)13 B)9 (C)7 (D)- (2)已知函数f(x)+COS,.其导函数为f'(x),则f'()三 (A)-受 (B)-1 (C)0 D)受 (3)从-2，-1,0,1,2,3中任取两个同的数，组成有序数对(x,y).在平面直角坐标系 中，以(x,y)为坐标的点位于第一象限的个数为 (A)15 (B)10 (C)6 (D)3 飞)已知{a}是等比数列，其前n项和为Sn,若4=8a1,S,=a6-1,则a2= (a)分 (B)1 (C)2 (D)4 高二年级样题（数学)第1页（共6页) (5)已知函数f(x)的定义域为区间(，b),其导函数(x)的图象如图所示，'(x)的3个零点 分别是x1,x2,.下列结论中正确的是 (A)f(x)在区间(a,)上单调递增 (B)f(x)在x=x,处取得极大值 (C)f(x)有3个极值点 (D)f(x2)<f(x3) (6)目前某城市无人机配送已实现常态化运营.随机抽趣2000份无人机配送的订单，其中药品订 单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单.角频率估计概率. 在一份订单是药品订单的条住下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是 (A)0 (B)动 (c)4 (D)8 (7)已知函数f(x)存在单调递减区闻，则其导函数f'(x)可能为 (A)f'(x)=(x-1)2 (B)f'(x)=2 (C)f'(x)=e-3x (D)f(x)=xIn(1+x) x+2, x≤0， -)已知函数f(x)= 恰有一个极值点，则a的取值范围是 am2-3x+2,x>0 (A)(-o,0) (B)（-o,0] (C)(0,+o) (D)[0,+0) (9）设{a}是各项均不为e的无穷等差数列，公差为记Tn=a42…an（n=1.2,…),则 “d≥0”是“Tn有最小值”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知函数f(x)=e-x,g(x)=x+ax-a(a∈R).下列结论中正确的是 (A)ヨa∈R,使得对任意实数x,f(x)-g(x)>0恒成立 (B)a∈R,使得方程f(x)-g(x)=0恰有3个不同的实数根 (C)Ha∈R,函数h(x)=f(x)g(x)存在最小值 (D)a∈R,函数h(x)=f八x,)g(,)在(-o,-受)上单调递减 高二年级样题（数学)第2页（共6页） 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。 (11)在（1-x)6的展开式中，x2的系数是 .（用数字作答) (12)某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人，工作人员随机选取2台机器人做 功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为&，则随机变量X的数学期望的值 为」 (13)已知无突等比数列{a}的前n项和为S,且(a}是递减数列，{S是递增数列.写出满足 条件的一个数列{an}的通项公式an= (14)已知函数f(x)=simx+axa∈R》.当a=1时，f(x)的单调递增区间为 ；若 f(x)至少有2个零点，则a的取值范围是 (15)已知数列{a,}的前n项和为Sn,且a1=1,2=m,amSn=an+S4-1（n=Y,3,…),给出 下列四个结论： ①当m=-4时，{S}为递减数列； ②存在实数m,S}不是等比数列； ③当-3<m<-2时，S2k2>S2k(k=1,2,…)； ④当m>0时，M>0,3n∈N,当n>时，都有an>M 其中正确结论的序号是 完一午加4x1,出、你人云/46而) 三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题9分) 已知函数f(x)=x3-3x+1. (I)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)求f(x)在区间[-1,4]上的最值. (17)(本小题10分) 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对 象，为此购买了一批种子.生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取 100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立、用频率估计概率. (I）)估计这批太空辣椒种子发芽的概率； (Ⅱ)某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验记发芽的种子数为X, 求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是 .（直接写出序号) 高二年级样题（数学)第4页（共6页) (18)(本小题11分) 已知函数f(x)=血(1+x) 1+x (I)求曲线y=f(x)在(0，f(0)》处的切线方程； (Ⅱ)设实数k使得f(x)≤kx对x∈[0，+o)恒成立，求k的最小值； (Ⅲ)求证：对任意的x∈[0，+o),都有f(f(x)≤f(x). (19)(本小题满分10分) 已知集合MsN,且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元 素a,b,C,d,使得a+b=c+d,则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b,c,d}是 集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”. (I)分划判断集合{2,4,6,8,10}与{1,2,3,5,8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联 的”，写出其所有的“关联子集”； (Ⅱ)已知集合M={a1,a2,43,a4,4s}是“关联的”，且任取集合{a,4y}二M,总存在M的 “关联子集”A,使得{4,4}二A.若G<2<4<a4<4,求证：4，a2,4,44,45 是等差数列； (）若集合M是“独立的，求证：存在x∈M,使得x>-m+9 2025一2026学年度第二学期高二年级期末练习 数学 说明，本试卷分1卷和山卷，卷19道题，共100分，卷10道题，共50分. 1卷、卷共29题，合计150分练习时长120分钟，练习日期：2026年7月7日： 请在密封线内填写个人信息， Π卷（共10道题，满分50分） 一，选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 0g,3’3=2,则36-a=（) 1 1.已知a= A. B. 5 C. 85 D.40 2*+2,x>0 2.已知函数f(x)= 广，x<0为奇函数，则a=（) A.2 B.1 c.-1 D.-2 3.盒子中有4个相同小球，标有号码1,2,3,4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取 1个球.事件A:“第一次取出1号球”，事件A2:“第二次取出3号球”，事件B：“两次 取出球的号码和为4”，事件B2:“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（) A.P4)=月 B.P(B)+P(B2)=1C.A2,B2独立D.A,B独立 4.正整数倒数和1++++上已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当 23 n很大时，1+5+++上≈n+7,其中了称为歌拉马歌罗尼常数，Y0.57215…, 23 仍不确定Y是有理数还是无理数.设[)表示不超过x的最大整数，用上式计算 [+号+ 17 2026 的值为（参考数据：血2w0.693,h3≈1.099，血5≈1.609）（) A.7 B.8 C.9 D.10 试卷共2页，第1页 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+1)=1,且当xe[0,]时，f(x)=x2.若 f(x)的图象与曲线y=log.x(a>0且a≠1)恰有6个交点，则实数a=（) A.5 B.6 C.7 D.8 6.已知函数(x)的定义域为R,对于x,∈R,定义集合 D()=(d∈Rlf(x。+d)>()}, 若只要(：)≤f(:),就有D(名)sD()成立，则称函数(x)为“势函数”，给定下列三个 [2,x≤0 函数：①y=e*;②y=x-3x;③y=1 x>0 其中“势函数”的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） 7.数列{an}满足a1=3an+4,4=2,则an=一 8.如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6 次后质点对应的数为X,则P(X=4=一一，D()=一· 65432901234；6 9.直线1与函数y=血x和y=e*的图象分别相切于点P(:,)和点Q(x,y2), 则=（用为表示），(%-（名2+）=一。 10.数列(an}是等比数列，满足a=l,9>0,若存在m∈N,使得当1≤k≤m时，都有 ak≤k≤akH成立，则m的最大值为，此时g的取值范围是 试卷共2页，第2页 海淀区2026年高二年级学业水平调研 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)C (2)A (3)C (4)C (5)D (6)D (7)C (8)B (9)B (10)B 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分) (11)15 (12)1 3)(分 (答案不唯一) (14)(0,+o),(-1,1) (15)②④ 三、解答题（共4小题，共40分） (16)(共9分) 解：(I)由题意可得f"(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 解方程f'(x)=0,可得x=-1或x32=1, 当x变化时，在各区间上的正负情况，以及f(x)的单调性如下表所示. (-0,-1) -1 (-1,1)》 (1,+0) f'(x) 0 0 × f(x) 极大值 极小值 所以函数∫(x)单调递增区间为(-o-1]和[1，+∞)，单调递减区间为[-1，. …6分 (IⅡ)由(I)知，f(x)在[-1，)上单调递减，f(x)在L,4]上单调递增且f(x)在x=1 处取得极小值f(1)=-1. 又因为f(-1)=3,f(4)=53, 所以当x=1时，f(x)取得最小值-1；当x=4时，f(x)取得最大值53. …9分 高二数学参考答案第1页（共6页） (17)(共10分) 解：(I)根据题中数据，试验一共选取了100粒太空辣椒种子，其中发芽的种子数为90 粒，因此估计这批太空辣椒种子发芽的概率为100 90 =0.9. …2分 (Ⅱ)由（I)可得，这批太空辣椒种子发芽的概率为0.9，随机选取3粒新种子进 行发芽实验，发芽的种子数X的取值范围是{0,1,2,3}. PX=0)=C9×(0.9)°×(0.1)3=0.001， P(X=1)=C×(0.9)×(0.1)2=0.027, P(X=2)=C3×(0.9)2×(0.1)=0.243, P(X=3)=C3×(0.9)3×(0.1)°=0.729， 因此X的分布列如下表所示. X 0 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 所以E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7. 或X~B(3,0.9),E(X=3×0.9=2.7. …8分 (Ⅲ)①③. …10分 (18)(共11分) 解：（I)函数定义域为（←1，+o),∫=1-+习 (1+x)21 f0=0,∫0=1-n1=1 12 切线方程为y=x. …4分 (Ⅱ)方法一： 对任意的x∈[0，+o),都有f(x)≤a,也就是对任意的x∈[0，+o∞)， 高二数学参考答案第2页（共6页） 都有n1+四≤：，即对任意的x[0,+o）,都有ln(1+≤arl+w. 1+x ①当k≤0时，因为对任意的x∈(0，+o),ln(1+x)>0,a(1+x)≤0. 即n(1+x)>lax(1+x),不满足题意。 设g(x)=ln(1+x)-a(1+x)=ln(1+x)-ar2-c, 则g')=-2ar2-3c-k+1 1+x ②当0<k<1时， 设h(x)=-2x2-3a-k+1. 令h(x)=0,判别式△=k2+8k>0, 故)=0有两个实数根，设为，名，则x西=2<0， 故不妨设x<0<x2· 故对任意的x∈(0，x2),都有h(x)>0,所以g'(x)>0, 则g(x)在区间(0，x2)上是增函数，所以g(x2)>g(0)=0. 故0<k<1时不满足题意. ③当k≥1时， 对任意的x∈[0，+o),有-2x2≤0，-3c≤0，-k+1≤0， 所以-2x2-3x-k+1≤0，故g'(x)≤0，则g(x)在[0，+∞)上单调递减 因此对任意的x∈[0，+∞)，g(x)≤g(O)=0,故满足题意. 综上，k的最小值为1. …9分 高二数学参考答案第3页（共6页） (Ⅱ)方法二： ①当k≤0时，对任意的x∈(0，+o),n(1+)>0,1+x>0,则1+>0 1+x 且≤0，则fx)>c,不满足题意. 令g)=nl+功-e,则g的=1-ln0+)-k+ 1+x (1+x)2 ②当k≥1时，对任意的x∈[0，+o),有-k1+x)2≤-1，-ln(1+x)≤0， 则1-ln(1+x)-k(1+x)2≤0. 所以g'(x)≤0，当且仅当x=0时，g'(x)=0. 所以g(x)在[0，+o)单调递减，g(x)≤g(0)=0, 即当x∈[0，+o)时，g(x)≤0恒成立， 所以当x∈[0，+)时，f(x)≤c恒成立. @当0<k<1时，设)=1-n1+)-+x,则i()=-2k+-1 1+x 对任意的x∈[0，+o),有h'(x)<0,所以h(x)单调递减： 因为h(0)=1-k>0,h(e)=1-ln(1+e)-k1+e)2<0, 故存在唯一∈(0，e),使h(x)=0. g'(x)与g(x)变化情况如下表： (0,) Xo (x0,+0) g'(x) 0 g(x) 极大值 因为g0)=0,所以g(x)>g(0)=0, 也就是f(x)>,故不满足题意. 综上，k的最小值为1. …9分 高二数学参考答案第4页（共6页） (Ⅲ)设t=f(x). 因为x≥0，所以t=f(x)≥0. 由（Ⅱ）得f)≤t. 因此对任意x≥0，都有f(f(x)=f()≤t=f(x), …11分 (19)(共10分) 解：(I)b,的所有可能值为1,5. …2分 (Ⅱ)因为{an}为bn}的伴随数列，所以对任意整数n≥3， n=a =lb+b2n=an =16-1-b-21. 又因为{亿}各项均为非负实数，所以bn-1+bn-2=bn-1+bn-2≥bn-1-bn-2, bn-1+bn-2≥n. 从而b,+b2+…+bo =(b+b2)+(b+b4)+(b+b6)+(b,+b)+(b,+bo)≥3+5+7+9+11=35. 令6，=2n+3 3，则b1+6.上n=a,亿，)为6，)的伴随数列，且 b+b+…+b0=35.因此b+b2+…+o的最小值为35 …6分 (Ⅲ)对任何整数a,b,可知|a+b|与a+b的奇偶性相同，|a-b|与a-b的奇偶 性相同，又因为a+b=(a-b)+2b,即a+b与a-b的奇偶性相同， 因此la+b|与|a-b|的奇偶性相同. 由题意，{an}和bn}的各项的奇偶性由a,b,a2,b2决定，如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 奇 偶 偶 偶 奇 偶 终 偶 … br 奇 奇 奇 偶 偶 奇 奇 奇 … 根据上表可知，当且仅当n=3t+l(t∈N)时，an,bn奇偶性相同。 对任意正整数m,设3k+1≤m≤3k+3(k∈N), 高二数学参考答案第5页（共6页） 当a,=b,且n≤m时，an与bn奇偶性相同，所以n=3t+1(t∈N) 又因为3k+1≤m≤3k+3(k∈)， 所以{nan=bn,n≤m}c{1,4,7,…,3k+1}, 因此集合{nan=bn,n≤m}的元素个数小于等于k+1. 另一方面，构造数列{an}和{bn}如下： a=1,a2=2,a3=4,a4=6,a5=3,a6=4,ant6=an(n∈N). b=1,b2=3,b=3,b4=6,b=2,b6=3,bnt6=bn(n∈N). 可以验证{b}为{an}的伴随数列，{an}为b}的伴随数列， 且对任意的自然数I,都有a+1=b, 因为3k+1≤m≤3k+3(k∈)， 所以{nan=bn,n≤m}={1,4,7,…,3k+1}, 此时集合{nan=b,,n≤m}的元素个数等于k+1. 综上，Cm=k+1,这里k满足3k+1≤m≤3k+3(k∈). …10分 高二数学参考答案第6页（共6页） 人大附中2025-2026学年度第二学期高二年级数学期末练习 Ⅱ卷参考答案和评分标准2026.7.7 一、 选择题（本大题共6题，每小题5分，共30分） 题 号 20 21 22 23 24 25 答 c D C B c c 二、填空题（本大题共4题， 每小题5分，共20分) 题号 26 27 28 29 答案 4.3m--2 品 2=-hx,-2 5,[5,5] 注：双空题第一空3分，第二空2分