广东深圳市光明区高级中学2025-2026学年度第一学期高二12月月考数学试题

光明区高级中学2025一2026第一学期月考测试 高二数学参考答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 A B C B D A C A BCD ACD BD 12 (-10 13。 -3 14 2v5 8W5 5 35 8.A 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭 圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C,O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的 长半轴长为a,半焦距为c, 由OF⊥BC,|OF=OB=√2，得a+c=BF=2,∠FBC=45°，ABl=2a,BC=2W2, 在AA5C中，∠BAC-60则∠ACB=6,sin75-sin45+30y=号x9+号×3 √6+√2 4 由正弦定理得，，2a。=22 √2x6+W2 4 sin75°-sin.60 ,解得a= =1则=1 所以该椭圆的离心率e==5-1=2-√5. a√5+1 故选：A 11.BD 【详解】 对于4,5-5+1，a=3,6=6+1, 所以c2=V5+4,所以e=C=5+4≠5+L=3+5,故A错误： 3 2 2 时于B,若双曲线一1a>0,b>0是黄金双曲线，则e=e=5+1 a 2 由c2=a2+,所以=(5+1a2-a2=5,+1a2=ac,故B正确： 2 2 对于C,双线兰-号-1a>0,>0的条清近线为y合， 则F(c,0)到该渐近线的距离d= bc =b, √a2+b2 而由B可知，02=ac≠子c2,故C错误： 对于D,当x=e时，广-（号16 Q3, 令ae,Ne,2.则om=o.ON=o,8. 所以omO丽-e答-0，则-ac, 由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确. 425,851 【详解】椭圆号+寸=1和直线2x-y+5=0是相离的，设直线：2x-y+C=0, 则直线与原直线平行。联立直线方程与椭圆方程， 9+30z+2C2=0,令A=8C4xg×2 2x-y+C 解得C=±3， 由图象可知，当C=3时，此时直线与椭圆相切，且离原直线距离最近，所以 椭圆上离原直线距离最近的点，即是这个切点，此时最小距离为 _15-3L-2√5 dmin √22+12 5 当C=-3时，此时直线1与椭圆相切，且离原直线距离最远，所以 椭圆上离原直线距离最远的点，即是这个切点，此时最大距离为 15-（-31=8w5 √22+12 5 缘上，椭圆上的点到原直线的距离范闲为5,85]。 15.【详解】 (①)由直线1与直线m垂直，可得(+2)-23-)=0，解得A=专 将入=专代入直线1方程中，化简可得直线1方程为2如十y一4=0 2)由直线1与直线m平行，可得1+2-8≠，解得入=-7 将1=-7代入直线l方程中，化简可得直线1方程为x-2y-7=0 设直线l与直线m间的距离为d,由平行线间的距离公式可得： d=1-2-(-7-v5 W12+(-2)2 即：直线l与直线m间的距离为√5 16.【详解】 (1)若直线l斜率不存在，此时1方程为x=4,满足与圆C相切： 若直线l斜率存在，设它的斜率为k,则直线l的方程可表示为：y一3=(x-4), 即x-y+(3-4)=0 由直线1与圆C相切，根据点到直线的距离公式，设圆心到直线l的距离为d 则有d=7一提=4，解的=号，此时1的方程为：6x-7y-3=0 √1+2 综上可知1方程为：x=4或6x-7y-3=0。 (2)因圆C1:x2+(y+42=16,得圆心C1(0,-4),半径m=4. 又圆C2:(x-a)2+（y-2a-2)2=1,得圆心C2(a,2a+2),半径r2=1. 所以圆心距1CCl=√a2+(2a+2+47=V5a2+24a+36,m-r2=3, 因圆C与圆C内切，所以CC=-n得V5a+21o+6-3解得a=-3或a-号 故实数a的值为-3或-号 17.【详解】 (1)由题意知DP,DA,DC三线两两垂直 如图所示，以D为坐标原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D0,0,0),B(2,2,0),E(1,0,0). 设PD=a(a>0),则P(0,0,a),所以PB=(2,2,-a),P元=(1,0，-a). 易知平面CBED的一个法向量为=(0,0,1). ◇ 设平面PBE的法向量为72=(c,y,z, 则P丽=0即2x+2y02=0取z=1,得x=a,y=一号， D P2=0,x-az=0, 即=(a,2,1)为平面PBE的一个法向量 由于二面角P-BE-C的正切值为V5,则其余弦值为 6 则lcos〈m,n)|= =v6 1×Va2+(-号)+12 6 解得a=2(负值舍去)，故PB=（2,2,-2),则PB=2W3 (2)由(1)得，n=（2,-1,1),DB=(2,2,0), 设点D到平面PEB的距离为d,则 d=D:-2-6 m √63 18.【详解】 (1)设动点P(x,,则1PF=V(x-2)2+, 点P到直线x=号的距离d=o-号引，由题意知PF=2d,即Vc-2+寸=2r-引， 化简，得之苦-1，即自线r的方程为2兰-1 3 (2)(I)方法1： 证明：若直线l的斜率不存在，可设其方程为x=t,若设A(t,t),则B(t,一)，带入曲线T的方程中， oap+oa号 易得A9,5),(,-〉则此时Oa 若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kxc+t,A(x,出)，B(x2,), 联立方程，得 2-号-1，消去y并整理，得3-心)22--3=0， y=kx+t, 则3-k2≠0，且△=(-2kt)2-4(3-2)(-t-3)=12(t+3-k2)>0, 所以c十x2= 2kt t2+3 32,1,= 3-k2’ 所以h=(kx+)(kc+t)=kxD+kt(,+,)+R=-3足+2 3-k2 3-e+tP33 3-k2 因为0-0E=0,则有x十=0，所以号+等装=0，所以2=3农+3 3-%2 4k2t2 +3)= 好+(+P-2x2=6y-2×(9-2) 3k+6k2+27 (3-k2)2 16x7x=16- t+32_36k+216+324 3-k2 (3-2)2 所以 1 1 1 -1 +1 4(c+x)-6 OA 1OBP-x+千x+64-3千4号-3-(4？-3)(43-3) 4×3k+6k2+27-6 4(+)-6 (3-k2)2 16c-12(+x)+9 36k+2166+324-12×3k+662+27+9 (3-k2)2 (3-k2)2 6能80持-号=号即d+0为定有 综上可知， 0六+0方始终为定值号 方法2： 当OA,OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，OA,OB中有一条直线与曲线下不相交，所以 不符合题意 设OAy=kxk≠0，则0Ba=太， y=kx, 联立方程 3+3k2 2-=1, g3期O42-+- 解得x?-3 3-k21 3 用一右替换上式中的k即得OB= +( 3k2+3 3-（ 3%2-1 因此 1 1 -3-k2 +3-1=2K+2=2 OAPT1OB7-3+3k23+3k23+32 3’ 即OA+O 1 为定值是，综上可知， 1 IOAF+OBF 始终为定值号 (原点O到直线！的距离为定值5，证明如下： 设原点O到直线l的距离为d 由三角形面积公式可知： So0A-OA.OB=AB.d 化简可得d=OA:OB,从而d-=OOB=OOB 1 AB AB2 OA+OB2 JOAP T JOBP A+O=号，则ar= 由(I)知1 +1 是-号即：d= JOAOB 综上可知，原点0到直线1的距离为定值 19.【详解】 (1)设点D到平面ABCE的距离为h, 1 由Vh-cDe=%-BCe3 SAcEh,其中SARCE为定值， G 要使三棱锥D-BCE的体积最大时，则点D到平面BCE的距离取最， 取AE中点H,连接DH,则DH⊥AE, 即：当DH⊥平面BCE时，点D到平面BCE的距离最大， 此时，由DHC平面ADE,则平面ADE⊥平面ABCE, 连接BE,由题意得，AD=DE=2,∠ADE=60°， 则△ADE为等边三角形，AE=AD=2, 在△BCE中，EC=2,BC=2,∠BCE=180°-60°=120°， 由余弦定理得BE2-BC+EC?-2BC.ECcos∠BCB=4+4-2×2×2×(-号)=12， 所以BE=2√5，由BE=2√5，AE=2,AB=4, 则AE+BE=AB2,故BE⊥AE. 由平面ADE∩平面ABCE=AE,BEC平面ABCE,BE⊥AE, 则BE⊥平面ADE,DEC平面ADE,则BE⊥DE, 所以BD=√BE+DE=√2√5)2+22=4. (2)(I)由(1)知，BE⊥DE,则平面ADE⊥平面ABCE. 在平面ADE内过E作EG⊥AE, 由平面ADE∩平面ABCE=AE,EGC平面ABCE, 则EG⊥平面ABCE,BEC平面ADE,则EG⊥BE. 如图，以点E为坐标原点，以EA,EB所在直线分别为x,y轴， 过点E做垂直于平面ABCE的直线EG为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2W5,0),C(-1,√5,0)，D(1,0,W3), 故AE={-2,2W5,0},BD={1,-2W5,V3, 由EF=AED(0≤1≤1)， A=AB+BF=AB+B元=(-2,2W3,0)+(1,-2W5,W5)=(-2+1,2W5(1-),5A), 因为z轴垂直平面ABCE,故可取平面ABCE的一个法向量为元=(0,0,1)， 设直线AF与平面ABCE所成角为U,所以 i血6=oos(元，Ay=i.A √51 √51 =30 AFI √-2+)2+[2√3(1-]+（√3√162-281+16 40 化简可得36r+7-4-0,解得入-子或1-青舍) 故当BE⊥DE时，存在A=},使直线AF与平面ABCE所成角的正弦值为D, 40 (II)由(1)可知，BE⊥DE,△BED为直角三角形，BD=4. 则Sae=号BE-DE=号×23×2=25， 5nG=3AE-BE=×2×2W5=25, 5AB DH=x2xx2 在△ABD中，AB=4,AD=2,BD=4,取AD中点M, 则BM⊥AD,且BM=√4-1=√15， 所以SA4D-号AD:BM=号×2XV压=V5, 设内切球球心为I,内切球半径为？，由等体积法知， V-AVi-AV-A+V-A+VD) 其中，6s=号SDH=-写×25×万=2 故r= 3VD-ABE 2×3 =5W5-15 (S△M4BD十SAABET+SAADE十SABDE)2W3+√3+2W3+√15 10 故当三棱锥B-CDE的体积最大时，三棱锥D-ABE的内切球的半径为5√5√西 1000 2025~2026学年度第一学期高二12月月考 数学答题卡 准考证号 学 校 [01[0][0][0][0][0][0][0][0][0 [11[1][1][1][1][1][1][1][1][1 姓 名 [2][2][2][2][2][2][2][2][2J[2 [3][3][3J[3][3][3][3][3][3][3 [4][4][4][4][41[4][4][4][4][4 班 级 [5][5][5][5][5][51][5][5][5] ] [6][6][6][6[6[6[6[6][6][6 [7][7][7j[7][7J[7J[7][7][7][7 考场 [8][8][8J[8][8][8][8][8][8][8 [91[9][9][91[9][9][9][9][91[9 1.答题前，考生务必清楚地将白己的姓名、淮考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意2速择题必须使用2B船笔填徐：非连择题必领使用05笔米 事 黑色墨水签字笔作答，字体工整笔迹清楚。 贴条形码区 3.考生必须在答题卡各题目的规定容题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上容题无效 4.保持卡面清洁，不准折叠，不得弄破。 填涂样例 正确填涂：■ 错误填涂：中X四口口 缺考标记：☐ 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B]C][D] 2[A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][CJ[D] 8 [A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分)】 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二12月月考·数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) D 1E、 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二12月月考·数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！2025一2026学年度第一学期高二12月月考 数 学 考试时间：120分钟试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若A(一1,0,1)，B(1,4,7)在直线1上，则直线1的一个方向向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 2.如图，在正方体ABCD-A1BCD1中，下列各式运算结果为BD1的是 A.AD-AA+AB D B.BC+BB+C D B C.AD-AB-DD D.BD-AA+DD 3.已知双曲线方程为9x2一4y2=36,则该双曲线的渐近线方程为 Ay=± B土号x Cy=±多 D.y=t2 4.已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,一6)，C(5,2),则过A点的中线长为 A./10 B.2√/10 C.112 D.3√10 5.直线1：2x+y+1=0被圆C:x2+y2-2x-4y-4=0截得的弦长为 A.2 B.5 C.3 D.4 6.已知双曲线x2一y2=m与椭圆4x2+3y2=72有相同的焦点，则实数m的值为 A.-3 B.-6 C.3 D.6 7.已知两圆C:x2+y2-2a.x+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0有2条公切 线，则a的取值范围为 () A.(-o∞，-2)U(-1,+∞) B.(-∞，-5)U(2,十o∞) C.(-5,-2)U(-1,2) D.(-5,2) 【高二12月月考·数学第1页（共4页）】 8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市 文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在 户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞 柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分 时，北京的阳光与地面夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心 率为 ( A.2-5 B.√2-1 C.√3-1 D② 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知圆锥曲线C:亏+片-1的两个焦点为F,F,P为C上不与F1,R,共线的点，则下列说 m 法正确的有 A.若C是椭圆，则实数m的取值范围是(0，十∞) B.若C是双曲线，则F1,F2两点在x轴上 C.若m=8,则△PF1F2周长为8 D.若m=一9，则C的实轴和虚轴长度相等 10.在棱长为2正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别是A1D和CD1的中点，则下列结论 正确的是 A.A,C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEF C点D到直线CE的距离为2⑤ 3 D.点D到平面CEF的距离为号 1,我们把离心率为5,1的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为5，的双曲线称为黄 2 2 金双曲线，则 ( A用线号 3y2 =1是黄金双曲线 5+1 B如果双曲线号 无-发=1(a>0,b>0)是黄金双曲线，那么=ac(c为半焦距) C如果双曲线无一=1(a>0,b>0)是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等 于焦距的四分之一 D过双曲线C:爱芳-1。>0,6>0)的右焦点F且垂直于实轴的直线1交C于M,N两 点，O为坐标原点，若∠MON=90°，则双曲线C是黄金双曲线 【高二12月月考·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线x一一十y的焦点坐标为 13.已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A逆时针旋转45°得到直线m,则直线 m的斜率为 14.已知椭圆号+y2=1和直线2x一y十5=0，则该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 已知直线1：(+2)x十(3-)y-5λ=0（其中A∈R). (1)若直线1与直线m:x-2y-2=0垂直，求直线1的方程； (2)若直线l与直线m:x一2y一2=0平行，求它们之间的距离. 16.(本小题满分15分)》 已知圆C:x2+(y+4)2=16. (1)若直线1经过点(4,3)且与圆C相切，求直线1的方程； (2)若圆C与圆C2:(x一a)2十(y一2a一2)2=1有且只有一条公切线，求实数a的值 17.(本小题满分15分)》 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正 方形，且二面角P-BE-C的正切值为√5. 求：(1)线段PB的长； (2)点D到平面PEB的距离. 【高二12月月考·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知动点P到点F(2,0)的距离等于其到直线x=专距离的2倍，记点P的轨迹为曲线卫 (1)求曲线T的方程； (2)设直线1与曲线T分别交于点A和点B,且OA·OB=0. (I)求证：OA+1OB是定值： (Ⅱ)原点O到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由. 19.(本小题满分17分)》 如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4,∠ABC=60°，E为CD的中点.将△ADE沿 AE折起，连接BD与CD,如图2. 图1 图2 (1)当三棱锥B-CDE的体积最大时，求此时线段BD的长度； (2)当BE⊥DE时， (I)设BF=λB元(0≤A≤I),是否存在实数A,使得直线AF与平面ABCE所成角的正 弦值为？若存在，求出入的值若不存在，请说明理由： (Ⅱ)求三棱锥D-ABE的内切球的半径 【高二12月月考·数学第4页（共4页）】