专题5.2 等比数列及前n项和专项训练（10重难点题型+高分技法+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题为引领，通过9大重难点题型构建“方法提炼-典例解析-知识迁移”的等比数列专项训练体系，强化逻辑推理与数学运算核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本量计算|7题（含3道高考真题）|“知三求二”方程法、公比分类讨论|从等比数列定义出发，通过通项与前n项和公式建立量间关系| |判断与证明|4题|定义法、中项公式法、通项/求和公式法|基于等比数列本质属性，构建判定的多元逻辑路径| |中项应用|6题|性质“若m+n=p+q则aₘaₙ=aₚa_q”|连接等比数列项与项的关系，简化运算| |前n项和性质|8题|奇偶项和关系、Sₙ,S₂ₙ-Sₙ,S₃ₙ-S₂ₙ成等比|深化前n项和公式的延伸应用，体现整体思想| |综合应用|含错位相减、实际应用等10题|模型构建、分类讨论、转化化归|融合等差等比交叉、实际问题抽象，提升综合解题能力|

专题5-2 等比数列 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 3．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 4．（2026·全国二卷·高考真题）（多选题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.45 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 6．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【难度】0.86 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【详解】设数列的公比为，则，则. 7．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______； 【答案】189 【难度】0.94 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】由等比数列前项和公式求解， 【详解】由题意得， 故答案为：189. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 10．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 12．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 重难点题型1 等比数列基本量的计算 等比数列基本量运算的解题策略： （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论： 当时，；当时，． 1．（2026·海南三亚·一模）设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 【答案】D 【难度】0.76 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用 【分析】先根据已知条件求出等比数列公比的平方，再利用等比数列片段和的性质计算． 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 2．（2026·北京丰台·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列中项性质列方程，结合等比数列通项公式求出公比，再化简代入计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知，（）， 因为成等差数列，由等差中项性质可得， 由于，，代入上式得： ， 由于，整理得： 解得或， 又，故舍去，得，则， 将代入得. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【详解】设正项等比数列的首项为，公比为， 则，， 因为， 得，解得或（舍去），所以， 则． 4．已知等比数列的前 项和为，满足，，则______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【详解】设等比数列的公比为，由条件求出，再根据等比数列的求和公式计算即可． 【解答】设等比数列的公比为， 因为，所以， 即，即，解得或. 当时，，则 ； 当时，， 则． 5．（2026·安徽合肥·三模）已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 【答案】21 【难度】0.72 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ， ， 因为数列为等比数列， 所以有， 所以有，即. 又因为 所以，且 所以 6．（2026·安徽芜湖·二模）等比数列的前项和为，满足，，则公比__________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】因为，则， 故等比数列的公比为. 7．（2026·江西·模拟预测）设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__________． 【答案】120 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用 【分析】方法一：利用等比数列前项和的分段性质求解；方法二：用等比数列求和公式求解. 【详解】方法一： 等比数列中，仍成等比数列，公比为， ，，则， 所以， ， 所以, ， 所以. 方法二： ， 代入，, . 重难点题型2 等比数列的判断与证明 等比数列的判定方法： 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 1．（2026·四川广安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.66 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【详解】（1）已知且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 2．（2026·河北雄安·三模）已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.7 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和 【分析】（1）由可得，再利用等比数列定义即可证明； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，故， 则， 故， 则 ， 故. 3．（2026·安徽·模拟预测）已知数列中，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.57 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）整理可得，结合等比数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】（1）因为，则，可得， 且，则， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，则， 可得． 当时，； 当时， ； 综上所述：． 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.7 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）通过构造辅助数列，将原递推式转化为 ，再利用配凑法证明是等比数列； （2）先由 (1) 求出，将数列求和拆分为等差与等差乘等比两部分，对后者用错位相减法求和，再合并得到. 【详解】（1）因为，所以 ， 因为，所以，所以， 由，得 ， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则 所以， 令， 则， 两式相减得． 所以， 所以． 重难点题型3 等比中项的应用 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 1．在等比数列中，，是方程的两个解，则（    ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【详解】由韦达定理得，得，， 因为，所以. 由等比数列的性质得，得（正根舍去）. 2．（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.86 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】利用等差中项和等比中项可求答案. 【详解】因为是，的等差中项，所以，即； 因为是，的等比中项，所以，即，所以. 3．（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 4．（2025·湖南岳阳·三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】等比数列的性质可得，即，再结合题干条件，利用等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比即得的值. 【详解】由题意，设正项等比数列的公比为，其中， 由等比数列的性质可知，由题干可得，即， 若，则，不合题意，故， 所以， 解得或（舍去），故. 故选：C. 5．（2026·重庆江津·三模）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________. 【答案】12 【难度】0.82 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】根据等比中项性质，结合等差数列通项公式，建立等量关系，求出公差，从而求出. 【详解】解：由，，成等比数列，则， 又是公差不为零的等差数列，设公差为， 则，化简整理得，解得或（舍）， 所以. 6．（2026·河南周口·三模）在等比数列中，，，则________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 重难点题型4 等比数列的前n项和性质 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 1．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（   ） A．63 B．72 C．81 D．90 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用 【分析】根据等差数列性质计算出，再用求和公式计算即可. 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得，代入，故. 故选：C. 2．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列前n项和公式可得答案. 【详解】设等比数列公比为，首项为， 若，则，不合题意； 则， 则. 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【详解】设正项等比数列的公比为，由数列是正项等比数列可知，. ∵ 若，则，，此时，与矛盾，故. ∵ ，且等比数列前项和公式为， ∴ ， ∵ ，，故可约去，得， ∵ 且，得. ∵ ， ∴ ，解得， ∴ . 5．（2026·甘肃·模拟预测）若等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【详解】由题可知，，，则， 故，代入得：，解得. 6．（2026·福建厦门·模拟预测）已知数列是等比数列，若，，，则________． 【答案】/ 【难度】0.82 【知识点】求等比数列前n项和 【详解】在等比数列中，， 所以. 7．已知等比数列的前项和为，若，，求__________. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和求解即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，则， 又， 所以，，解得. 因为，所以. 所以. 8．（2026·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式计算的值. 【详解】设等比数列的公比为，通项公式为. 求公比：将代入，得 ，即， 由等比数列的定义可知，化简得，解得. 计算： 等比数列前项和公式为， 因此. 重难点题型5 求数列的通项公式 1．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 2．（2026·安徽·三模）设数列的前项和为，已知是公比大于0的等比数列，，． (1)求通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）设，结合已知条件构造方程求出，进而求出； （2）先求出，再利用裂项相消法求． 【详解】（1）设，则， 由题可设，则， 则，解得， ， ． （2）， ． 3．（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【难度】0.7 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． （2）略 4．（2026·重庆江北·模拟预测）已知满足，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) ， (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）用等差数列通项公式求解；利用等比数列通项公式列方程求解，再得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列，由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故，代入得： 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得，因此. （2）由题意得， ① ② ②①得： . 重难点题型6 奇偶项求和问题的讨论 求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类． 1．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【难度】0.54 【知识点】判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)答案见详解; (2). 【难度】0.56 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）要证明数列，是等比数列，需根据已知条件推导出与，与的关系，再结合等比数列的定义进行判断； （2）求数列的前项和，可将其拆分为奇数项和偶数项分别求和，再将结果相加. 【详解】（1）对任意正整数，为奇数，为偶数， 当时：为奇数，为偶数，命题成立， 假设当时命题成立，即为奇数，为偶数， 当时： 因为为偶数，所以为奇数， 又因为为奇数，所以为偶数， 由数学归纳法，对任意 ，为奇数，为偶数， 因为，则， 因为为偶数，根据递推公式，可得， 又因为为奇数，所以，那么， 所以， 因为，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因为已知，则， 因为为奇数，所以，又， 则，即， ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，数列，是等比数列，得证. （2）由(1)得：，， 令,错位相减： ， ： ， 故， 又,因此：. 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 4．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 重难点题型7 实际应用 与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点,弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）2025年11月9日，首届中国（国际）机器人辩论大赛决赛在北京举办．经过了初赛的“人机协同”，复赛的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式．最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管理和精准的反驳能力夺得冠军．某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，该模型每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列，且首项，公比．若第轮训练的模型参数的数量大于，则的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】根据题意，得到第轮训练的模型参数的数量的表达式，结合等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意知，设第轮训练的模型参数的数量为，则，当时，， 当时，令，则 ，即 ， 设 ，则1024， 当时，， 当时， ， 当时，， 所以 ，又 ， 所以满足 的最小正整数是14，即当第轮训练的模型参数的数量大于时，的最小值为14． 2．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列的简单应用 【分析】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包， ， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得. 故选：B. 3．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【难度】0.65 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】利用等比数列的定义，求和公式计算即可. 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个， 则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 4．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设，这个人走的第段距离为，则满足这个人走的前段距离的总和的的一个值可以为__________． 【答案】7（7、8、9，只需写出一个答案即可） 【难度】0.65 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】根据题意知数列是公比为，首项为的等比数列，求出前n项和，列出不等式即可求正整数n的取值. 【详解】由题意得且，当时，，所以，化简得， 由等比数列定义知数列是公比为，首项为的等比数列， 所以， 因为，所以， 即，所以，又， 所以的取值可以为7、8、9. 故答案：7（7、8、9，只需写出一个答案即可） 重难点题型8 等差数列与等比数列的综合应用 1．（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ， (2) 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . （2）由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 2．（2026·重庆·模拟预测）数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)， (2)因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由于数列的前项和为，所以，因为 对于恒成立，所以． 【难度】0.7 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用等差数列前项和公式及通项公式，联立方程求首项和公差得的通项公式；由知是等比数列，得的通项公式； （2）代入，整理得等比数列，求前项和证得. 【详解】（1）因为数列为等差数列，是其前项和，且，． 设数列的首项为，公差为，则， 解得，，所以数列的通项公式为． 因为数列满足：，， 所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为． （2）略. 3．（2026·河北衡水·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、二项式的系数和 【分析】（1）根据给定条件，借助等差数列、等比数列通项列出方程组求出首项即可. （2）利用错位相减法求出，按分段，并利用二项式系数的性质确定范围求出取值集合. 【详解】（1）依题意，，解得， 则， 所以数列，的通项公式分别为. （2）由（1）得， 则，， 两式相减得 ，因此， ，当时，； 而，当时，， 因此，，则， 所以的取值集合是. 4．（2026·山东泰安·二模）已知数列满足，等差数列满足. (1)求数列和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.69 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）通过构造等比数列可得的通项公式，进而可得的通项公式，由等差数列通项公式的逆向应用即可求得的通项公式； （2）由正弦函数的和差公式结合三角函数同角关系构造出裂项相消的形式即可求解. 【详解】（1），， 又，且，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，， ， 设等差数列的公差为，则， . （2） ， . 重难点题型9 数列求和-错位相减 1．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) （） (2) 【难度】0.62 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）变形递推式构造新数列，通过累加法结合裂项相消求新数列通项，进而得到的通项； （2）利用错位相减法以及等比数列公式求和即可. 【详解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 2．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 3．在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. (2)由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 【难度】0.55 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【详解】（1）略 （2）略 4．已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.66 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）先根据时，及已知等式求出. （2）利用错位相减法求和方法进行求解. 【详解】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 重难点题型10 综合应用 1．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题、等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 2．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【难度】0.28 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 3．（2026·四川泸州·三模）（多选题）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、图与形中的归纳推理 【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得. 【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，则，故A正确； 对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为的正三角形， 第3个图形在第2个图形外增加12个边长为的正三角形，而所有正三角形都相似， 则，故B正确； 对于C，由作法知，，而，则，故C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为，故D正确. 4．（2026·山东聊城·模拟预测）（多选题）已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则为等比数列 C．若，则，，成等差数列 D．若，则为等比数列 【答案】ABC 【难度】0.44 【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明等比数列 【分析】将代入，可得，从而得，即可判断Ａ；将代入，得，由等比数列的定义即可判断B，结合B，可得，分别求出，，的值，根据等差数列的定义判断C；将代入，求得，进而得，再根据等比数列的定义判断D． 【详解】对于A，当时，则，所以， 所以数列是每项均为0的等差数列，故A正确； 对于B，当时，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B可知当时，，所以， 所以，，， 所以，所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，当时，则，所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以， 所以，所以， 所以，此结果与有关，不是常数， 所以不是等比数列，故D错误． 5．（2026·安徽·模拟预测）已知数列满足，，是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为__________． 【答案】35 【难度】0.22 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、求等比数列前n项和 【分析】根据可得，由累加法可得，进而可得，由得，进而根据等比数列的求和可得，两种情况结合可得进而可求解. 【详解】由，得，由累加法，当时， ， 当时，， 因此， 即得，当时，，故， 由得，所以， 所以， 所以， 即，令， 则， 因为，所以，所以数列为递增数列， 当时，，所以， 综上可知，，故满足条件的正整数的所有可能取值的个数为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5-2 等比数列 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 3．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 4．（2026·全国二卷·高考真题）（多选题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 7．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______； 8．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则______. 10．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 12．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 重难点题型1 等比数列基本量的计算 等比数列基本量运算的解题策略： （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论： 当时，；当时，． 1．（2026·海南三亚·一模）设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 2．（2026·北京丰台·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 4．已知等比数列的前 项和为，满足，，则______． 5．（2026·安徽合肥·三模）已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 6．（2026·安徽芜湖·二模）等比数列的前项和为，满足，，则公比__________. 7．（2026·江西·模拟预测）设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__________． 重难点题型2 等比数列的判断与证明 等比数列的判定方法： 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 1．（2026·四川广安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 2．（2026·河北雄安·三模）已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 3．（2026·安徽·模拟预测）已知数列中，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和为，求证：． 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 重难点题型3 等比中项的应用 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 1．在等比数列中，，是方程的两个解，则（    ） A． B． C．25 D． 2．（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 4．（2025·湖南岳阳·三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2026·重庆江津·三模）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________. 6．（2026·河南周口·三模）在等比数列中，，，则________． 重难点题型4 等比数列的前n项和性质 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 1．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（   ） A．63 B．72 C．81 D．90 2．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃·模拟预测）若等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建厦门·模拟预测）已知数列是等比数列，若，，，则________． 7．已知等比数列的前项和为，若，，求__________. 8．（2026·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则________． 重难点题型5 求数列的通项公式 1．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 2．（2026·安徽·三模）设数列的前项和为，已知是公比大于0的等比数列，，． (1)求通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 4．（2026·重庆江北·模拟预测）已知满足，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 重难点题型6 奇偶项求和问题的讨论 求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类． 1．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 4．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 重难点题型7 实际应用 与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点,弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）2025年11月9日，首届中国（国际）机器人辩论大赛决赛在北京举办．经过了初赛的“人机协同”，复赛的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式．最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管理和精准的反驳能力夺得冠军．某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，该模型每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列，且首项，公比．若第轮训练的模型参数的数量大于，则的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 3．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 4．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设，这个人走的第段距离为，则满足这个人走的前段距离的总和的的一个值可以为__________． 重难点题型8 等差数列与等比数列的综合应用 1．（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 2．（2026·重庆·模拟预测）数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 3．（2026·河北衡水·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 4．（2026·山东泰安·二模）已知数列满足，等差数列满足. (1)求数列和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 重难点题型9 数列求和-错位相减 1．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 4．已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 重难点题型10 综合应用 1．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 2．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（2026·四川泸州·三模）（多选题）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 4．（2026·山东聊城·模拟预测）（多选题）已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则为等比数列 C．若，则，，成等差数列 D．若，则为等比数列 5．（2026·安徽·模拟预测）已知数列满足，，是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $